2026年上海高考数学最后冲刺复习题号猜押06 上海卷高考数学选填压轴题（第12,16题等）（原卷版）

题号猜押06上海卷高考数学选填压轴题（第12,16

题）

溯源

考点3年考题考情分析

2025年分段函数，向量的数量积，向量模的取值范围

填空第12题2024年等比数列基本量运算，通项公式

2023年棱锥的结构特征，计数原理

2025年数列不等式恒成立问题，利用导数研究方程的根

函数新定义，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，极

选择第16题2024年

值与最值的综合

2023年圆锥曲线新定义

预测

1.能以实际问题为背景，考查数学抽象与模型构建能力。

2.如“函数+数列”“几何+代数”，需灵活转换视角。

3.答案可能不唯一，或需分类讨论得出完整结果。

4.定义新概念或规则，考查即时学习与应用能力。

备考核心

1.梳理各章节间的联系，如函数、方程、不等式之间的转化。

2.选填题压轴题难度未必极高，但对思维严谨性要求高，需避免漏解。

3.对填空题的错误，要区分是“知识漏洞”“方法不熟”还是“思维定势”。

考点1​复合函数零点，参数范围与函数性质综合

【典例1】已知函数fxcos2xmsinxm1，若函数yfx在区间0,nπ上恰有2026个零点，则所

有可能的正整数n的值组成的集合是______．

【变式1】（2026·上海浦东新·期末）已知函数fxx2axblnx,x0,，若fx0恒成立，则实

数a的最小值为_____________.

【变式2】（2026·上海徐汇·期末）已知奇函数yf(x)的定义域是R．当x0时，f(x)x24x．设函

数h(x)f(x)4，则函数yh(x)的零点个数为（）

A．0个B．2个C．4个D．6个

考点2平面向量综合问题;

【典例2】（2026·上海杨浦·二模）设a、b、c是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若

(ab):(bc):(ca)1:1:2，则ab的值为_______.

【变式1】平面非零向量a,b,c，满足ab,c为单位向量，已知abab2c0且|ac|3，则|ab|

的最大值是______.

【变式】（上海徐汇期末）若平面向量满足，且，则

22026··aiai1(i1,2,3,4)aiai10(i1,2,3)

a1a2a3a4可能的值有______个.

考点3​数列综合问题

mm1，

【典例3】（2026·上海浦东新·期中）设f0xamxam1xa1xa0am0,m10mZ，记

fnxfn1x(n1,2,,m1)，令有穷数列bn为fnx零点的个数n1,2,,m1，则有以下两个结论：

①存在f0x，使得bn为常数列；②存在f0x，使得bn为公差不为零的等差数列.那么（）

A．①正确，②错误B．①错误，②正确

C．①②都正确D．①②都错误

【变式1】艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作

fxn

切线”的方法求函数fx零点时给出一个数列xn：xn1xn，我们把该数列称为牛顿数列．如果

fxn

x2

2n

函数fxaxbxca0有两个零点1，2，数列xn为牛顿数列．设anln，已知a11，an的

xn1

前n项和为Sn，则S20221等于（）

A．2022B．2023C．22023D．22022

b

nn

【变式2】已知数列an的前n项和为Sn，其中a11,Sn12anSn1,bnan121，若恒成

bn1

立，则实数的取值范围为（）

13

A．,B．1,C．,D．2,

22

考点4​解析几何综合问题

【典例4】（2026·上海·期末）在平面直角坐标系中，当Px,y不是原点时，定义Px,y的“伴随点”为

yx

P,；当Px,y是原点时，定义Px,y的“伴随点”为它自身；平面曲线C上所有点的“伴随

x2y2x2y2

点”构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”，则下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；

②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

真命题的序号是______.

A．①②B．②③C．③④D．①④

【变式1】2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中

2

（O为坐标原点），把到定点F1(c,0)和F2(c,0)距离之积等于c(c0)的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已

知Px0,y0为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：

2

①双纽线Γ的方程为x2y22c2x2y2；

1

②FPF面积最大值为c2；

122

cc

③y；

202

④PO的最大值为2c．

其中所有正确命题的序号是（）

A．①②B．①②③

C．②③④D．①②③④

x2y2

【变式2】（2026·上海金山·期中）已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别是F1(c,0),F2(c,0)，

a2b2

c51

若，则称椭圆C为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的序号是（）

a2

①在黄金椭圆C中，a,b,c成等比数列；

0

②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E,B，则F1EB90；

③在黄金椭圆C中，以A(a,0),B(a,0),D(0,b),E(0,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1,F2．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

考点5函数与导数综合

【典例5】已知M{|f0},N{|g0},若存在M，N，使得n，则称函数

fx与gx互为“n度零点函数”.若fx32x1与gxx2aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值

范围为

94144249

．．．．

A3,2B,2C2,D3,3

eeeeeeee

【变式1】拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数fx在a,b上连续，且在a,b上可导，则必有

x1fbfa

a,b，使得fbafbfa．已知函数fx,a,b0,2,，那么实

exba

数的最大值为（）

1

A．1B．eC．D．0

e

【变式2】（2026·上海松江·月考）定义域均为D的三个函数fx，gx，hx满足条件：对任意xD，

点x,gx与点x,hx都关于点x,fx对称，则称hx是gx关于fx的“对称函数”．已知函数

gx1x，hx3x，hx是gx关于fx的“对称函数”，记fx的定义域为D，若对任意sD，

都存在tD，使得2fst22ta2a1成立，则实数a的取值范围是（）

A．1,01,2B．11,2C．12,0D．2,10,1

考点6排列组合综合问题

【典例6】（2026·上海金山·一模）已知四边形A1A2A3A4为平行四边形，集合

∣、、

ΩAiAjij,ij1,2,3,4,M1,M2,,Mk均为集合的四元子集，若对于任意mn1,2,,k，当

mn时，MmMn中的元素个数都不超过2个，则正整数k的最大值为___________．

1

【变式1】函数fxx0绕原点逆时针旋转，每旋转15得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲

x

线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图象的概率是__________．

【变式2】已知“a、b、c、d、e、f”为“1、2、3、4、5、6”的一个全排列，设x是实数，若“(xa)(xb)0”可推出

“(xc)(xd)0或(xe)(xf)0”则满足条件的排列“a、b、c、d、e、f”共有_______个.

3x,x0

1．已知函数yfx，其中fx，若函数gxfxa在区间2,2上有两个不同的零点，

2x,x0

则实数a的取值范围为_______．

2．（2026上海松江·期末）对于实数x，用x表示不超过x的最大整数，并记xxx，例如10，

1.230.23，关于x的方程xx10在区间0,2025上解的个数为______．

3．（2026·河北衡水·一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a11，a22，Snan1an21(nN)，

a

n1

记bn，数列{bn}的前n项和为Tn，若对xN，kTn恒成立，则k的取值范围为

(an21)(an11)

__________．

2

4．（2026·湖南常德·开学考试）已知公比q1的等比数列{an}满足a5a10，2anan25an1．若

*

bnnannN，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是___．

5．（2026·河北保定·期中）勒让德三平方和定理（Legendre’sThree-SquareTheorem）是数论中关于自然数

表示为三个整数平方和的重要定理，其核心内容为：如果一个自然数n符合下述条件时，则可以表示为三个

s

整数平方之和，其中s，t均为非负整数：nx2y2z2，n48t7．例如：正整数13322202，

6221212，设29a2b2c2，其中a，b，c均为自然数，则满足条件的有序数组a,b,c的个数是

______．（用数字作答）

6．（2025·上海浦东新·三模）对于函数yf(x)，若关于x的方程f(Kx)Kf(x)，（KZ，K1）恰有K

个实数根，则称函数为“K”函数.①函数的定义域Dx1x9,xZ且Dyyfx,xD；②函数是

“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有__________个.

7．（2026·广东广州·月考）在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30，在一条侧棱上有

A，B两点，OA4，OB3，以A，B为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），

则此绳在A，B之间的最短绳长为________.

8．（2026·安徽·一模）程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最

早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计

算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表

示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：

图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为__________.

9．（2026·上海闵行·一模）已知平面向量a、b、c和实数满足abab2，acbc0，

acbc0，则acbc的取值范围是______．

10．（2026·海南省直辖县级单位·开学考试）在数列an中，Sn为其前n项和，首项a11，且函数

3

fxxan1sinx2an1x1的导函数fx有唯一零点，则S4（）

A．26B．63C．57D．25

2

11．（2026·江苏常州·月考）已知曲线C：x2y29x2y2是双纽线，则下列结论正确的是（）

A．曲线C的图象不关于原点对称

B．曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）