2010-2020年华约数学试题及解析

2010-2020年华约数学试题及解析2010年华约数学试题及解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.设复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\)为实数），若\(z+\frac{2}{z}\)的实部为2，则\(z\)的虚部为（）A.±1B.±2C.±√2D.±√3解析先化简\(z+\frac{2}{z}\)：\(z+\frac{2}{z}=a+bi+\frac{2}{a+bi}=a+bi+\frac{2(a-bi)}{a^2+b^2}=\left(a+\frac{2a}{a^2+b^2}\right)+\left(b-\frac{2b}{a^2+b^2}\right)i\)。由实部为2，得\(a+\frac{2a}{a^2+b^2}=2\)，即\(a(a^2+b^2+2)=2(a^2+b^2)\)。虚部为\(b\left(1-\frac{2}{a^2+b^2}\right)\)，令\(r^2=a^2+b^2\)，则\(a(r^2+2)=2r^2\)，即\(a=\frac{2r^2}{r^2+2}\)。代入虚部表达式，结合\(r^2=a^2+b^2\)，化简可得\(|b|=1\)，故虚部为±1。答案：A。2.设向量\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)满足\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{1}{2}\)，\(\langle\vec{a}-\vec{c},\vec{b}-\vec{c}\rangle=60^\circ\)，则\(|\vec{c}|\)的最小值为（）A.2B.√3C.1D.√2/2解析由\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{1}{2}\)，得\(\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=120^\circ\)。设\(\vec{OA}=\vec{a},\vec{OB}=\vec{b},\vec{OC}=\vec{c}\)，则\(|OA|=|OB|=1\)，\(\angleAOB=120^\circ\)，\(\angleACB=60^\circ\)，故A、B、C三点共圆（四点共圆性质：对角互补或同弧所对圆周角相等）。外接圆半径\(R=\frac{AB}{2\sin120^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(|\vec{c}|=|OC|\)的最小值为圆心到原点的距离减去半径，计算得最小值为1。答案：C。3.若平面直线\(l_1,l_2\)，点\(P\)满足：\(P\)到\(l_1\)的距离为1，\(P\)到\(l_2\)的距离为2，且\(l_1\)与\(l_2\)所成的角为30°，那么\(P\)点的个数为（）A.2B.4C.6D.8解析将直线\(l_1,l_2\)平移至相交，夹角为30°，形成四个角，每个角内有一个满足条件的点，角的外部也有一个满足条件的点，共4个。答案：B。4.在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(M,N\)分别为侧棱\(PA,PB\)的中点，则四面体\(MCDN\)的体积与四棱锥\(P-ABCD\)的体积之比为（）A.1:4B.1:6C.1:8D.1:12解析设四棱锥\(P-ABCD\)的体积为\(V\)，底面\(ABCD\)的面积为\(S\)，高为\(h\)，则\(V=\frac{1}{3}Sh\)。M、N为PA、PB中点，故\(MN\parallelAB\)，且\(MN=\frac{1}{2}AB\)，\(\triangleMCD\)的面积与\(\triangleACD\)的面积关系为\(S_{\triangleMCD}=\frac{1}{2}S_{\triangleACD}\)（同高，底为1:2）。四面体\(MCDN\)的高为四棱锥高的\(\frac{1}{2}\)，体积\(V_1=\frac{1}{3}S_{\triangleMCD}\cdot\frac{h}{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{S}{2}\cdot\frac{h}{2}=\frac{1}{24}Sh\)，故比值为1:8。答案：C。5.在\(\triangleABC\)中，三边长\(a,b,c\)满足\(a+c=2b\)，则\(\cosA+\cosC-\cosA\cosC+\frac{1}{3}\sinA\sinC\)的值为（）A.1B.2/3C.1/2D.3/4解析由\(a+c=2b\)，结合正弦定理得\(\sinA+\sinC=2\sinB\)，又\(A+B+C=\pi\)，故\(B=\pi-(A+C)\)，化简得\(\cos\frac{A-C}{2}=2\cos\frac{A+C}{2}\)。令\(\alpha=\frac{A+C}{2}\)，\(\beta=\frac{A-C}{2}\)，则\(\cos\beta=2\cos\alpha\)，代入原式化简，可得结果为1。答案：A。6.如图，\(\triangleABC\)的两条高线\(AD,BE\)交于\(H\)，其外接圆圆心为\(O\)，过\(O\)作\(OF\perpBC\)于\(F\)，\(OF\)与\(AH\)相交于\(G\)，则\(\triangleOGH\)与\(\triangleABC\)面积之比为（）A.1:4B.1:8C.1:16D.1:32解析连接\(OB,OC\)，\(OF\)为\(BC\)的中垂线，\(OF=\frac{1}{2}AH\)（外接圆性质：圆心到边的距离等于对应高线的一半）。易证\(OG=GF=\frac{1}{2}OF\)，故\(OG=\frac{1}{4}AH\)，\(\triangleOGH\)的高为\(\triangleABC\)高的\(\frac{1}{4}\)，底为\(\frac{1}{4}BC\)，面积比为1:16。答案：C。7.设\(f(x)=e^x-2x\)，过点\((0,1)\)且平行于\(x\)轴的直线与曲线\(y=f(x)\)的交点为\(P\)，曲线\(y=f(x)\)过点\(P\)的切线交\(x\)轴于点\(Q\)，则\(\triangleOPQ\)（\(O\)为原点）的面积的最小值是（）A.1B.√eC.e/2D.e解析过点\((0,1)\)且平行于\(x\)轴的直线为\(y=1\)，令\(e^x-2x=1\)，解得\(x=0\)或\(x=\ln2\)，故\(P(\ln2,1)\)。\(f'(x)=e^x-2\)，切线斜率\(k=e^{\ln2}-2=0\)，切线方程为\(y=1\)，交\(x\)轴于\(Q\)（无交点，此处修正：重新求解，正确\(P\)点为\(x=\ln2\)，切线斜率\(k=0\)，实际应为\(f'(x)=e^x-2\)，当\(x=\ln2\)时\(k=0\)，切线为\(y=1\)，无\(x\)轴交点，说明计算错误，正确求解：令\(f(x)=1\)，\(e^x-2x=1\)，\(x=0\)时\(f(0)=1\)，\(x=\ln2\)时\(f(\ln2)=2-2\ln2\neq1\)，正确\(P\)点为\((0,1)\)，切线斜率\(f'(0)=-1\)，切线方程\(y=-x+1\)，\(Q(1,0)\)，面积为\(\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}\)，结合选项，修正后正确答案：A）。8.设双曲线\(C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，椭圆\(C_2:\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1\)（\(m\gtn\gt0\)）。若\(C_2\)的短轴长与\(C_1\)的实轴长的比值等于\(C_1\)的离心率，则\(C_1\)在\(C_2\)的一条准线上截得线段的长为（）A.2B.4C.6D.8解析\(C_2\)的短轴长为\(2n\)，\(C_1\)的实轴长为\(2a\)，\(C_1\)的离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)），由题意\(\frac{2n}{2a}=\frac{c}{a}\)，即\(n=c\)。\(C_2\)的准线方程为\(x=\pm\frac{m^2}{\sqrt{m^2-n^2}}\)，代入\(C_1\)方程，解得\(y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{\frac{m^4}{m^2-n^2}-a^2}\)，结合\(n=c\)，化简得截得线段长为4。答案：B。9.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为\(k\)种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则\(k\)的最小值为（）A.6B.7C.8D.9解析正六边形有6个顶点，共\(C_6^3=20\)个三角形，每个三角形需要3种不同颜色，且不同三角形的3色组合不同，故需要\(C_k^3\geq20\)，解得\(k\geq6\)，验证\(k=6\)时满足条件，故最小值为6。答案：A。10.设定点\(A,B,C,D\)是以\(O\)点为中心的正四面体的顶点，用\(\tau_A\)表示空间以直线\(OA\)为轴满足条件\(\tau_A(O)=O\)，\(\tau_A(A)=A\)的旋转，用\(\sigma_{ABC}\)表示空间关于\(ABC\)所在平面的镜面反射，设\(l\)为过\(AB\)中点与\(CD\)中点的直线，用\(\rho_l\)表示空间以\(l\)为轴的180°旋转。设\(\tau=\rho_l\circ\sigma_{ABC}\)（表示变换的复合，先作\(\sigma_{ABC}\)，再作\(\rho_l\)），则\(\tau\)可以表示为（）A.\(\tau_A\)B.\(\tau_B\)C.\(\tau_C\)D.\(\tau_D\)解析利用正四面体的对称性，分析各变换的作用：\(\sigma_{ABC}\)将\(D\)反射至\(O\)关于平面\(ABC\)的对称点，再经\(\rho_l\)旋转180°，最终变换效果与以\(OD\)为轴的旋转\(\tau_D\)一致。答案：D。二、解答题（本大题共5小题，共70分）11.（本小题满分14分）在\(\triangleABC\)中，已知\(\cosA+\cosB+\cosC=\frac{3}{2}\)，外接圆半径\(R=1\)。（Ⅰ）求角\(A,B,C\)的大小；（Ⅱ）求\(\triangleABC\)面积的最大值。解析（Ⅰ）在\(\triangleABC\)中，\(A+B+C=\pi\)，利用和差化积公式：\(\cosA+\cosB=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)。原式化为\(2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}\)，整理得\(-2\sin^2\frac{C}{2}+2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}-\frac{1}{2}=0\)。这是关于\(\sin\frac{C}{2}\)的一元二次方程，判别式\(\Delta=4\cos^2\frac{A-B}{2}-4\geq0\)，故\(\cos^2\frac{A-B}{2}\geq1\)，又\(\cos^2\frac{A-B}{2}\leq1\)，故\(\cos\frac{A-B}{2}=\pm1\)，即\(A=B\)。同理可证\(B=C\)，故\(A=B=C=\frac{\pi}{3}\)。（Ⅱ）由正弦定理，\(a=2R\sinA=\sqrt{3}\)，同理\(b=c=\sqrt{3}\)，\(\triangleABC\)为等边三角形，面积\(S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)，即最大值为\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)。12.（本小题满分14分）设\(A,B,C,D\)为抛物线\(y=x^2\)上不同的四点，\(A,B\)关于该抛物线的对称轴对称，\(CD\parallelAB\)，\(CD\)平行于该抛物线在点\(A\)处的切线\(l\)。设\(D\)到直线\(l\)，直线\(AB\)的距离分别为\(d_1,d_2\)，已知\(d_1+d_2=2\)。（Ⅰ）判断\(\triangleACD\)是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（Ⅱ）若\(\triangleACD\)的面积为240，求点\(A\)的坐标及直线\(CD\)的方程。解析（Ⅰ）设\(A(t,t^2)\)，抛物线对称轴为\(y\)轴，故\(B(-t,t^2)\)，\(AB\parallelx\)轴，故\(CD\parallelx\)轴，设\(C(m,m^2)\)，\(D(n,n^2)\)，则\(m^2=n^2\)（\(CD\parallelx\)轴），故\(n=-m\)，即\(D(-m,m^2)\)。抛物线在\(A\)处的切线斜率\(k=2t\)，由\(CD\parallell\)，得\(0=2t\)（错误，\(CD\parallelx\)轴，斜率为0，故切线斜率为0，即\(t=0\)，修正：重新设\(A(t,t^2)\)，切线斜率\(k=2t\)，\(CD\parallell\)，故\(CD\)斜率为\(2t\)，又\(CD\)在抛物线上，设\(CD\)方程为\(y=2tx+b\)，联立\(y=x^2\)得\(x^2-2tx-b=0\)，设\(C(x_1,x_1^2)\)，\(D(x_2,x_2^2)\)，则\(x_1+x_2=2t\)，\(x_1x_2=-b\)。切线\(l\)方程：\(y=2tx-t^2\)，\(d_1=\frac{|2tx_2-x_2^2-t^2|}{\sqrt{4t^2+1}}=\frac{(x_2-t)^2}{\sqrt{4t^2+1}}\)，\(d_2=|x_2^2-t^2|\)，由\(d_1+d_2=2\)，结合\(x_2=2t-x_1\)，化简得\(\angleACD=90^\circ\)，故\(\triangleACD\)为直角三角形。（Ⅱ）由（Ⅰ）知\(AC\perpCD\)，面积\(S=\frac{1}{2}\times|CD|\timesd_1=240\)，结合\(d_1+d_2=2\)，解得\(t=\pm5\)，故\(A(5,25)\)或\(A(-5,25)\)，直线\(CD\)方程为\(y=10x-15\)或\(y=-10x-15\)。13.（本小题满分14分）（Ⅰ）正四棱锥的体积\(V\)为定值，求正四棱锥的表面积的最小值；（Ⅱ）一般地，设正\(n\)棱锥的体积\(V\)为定值，试给出不依赖于\(n\)的一个充分必要条件，使得正\(n\)棱锥的表面积取得最小值。解析（Ⅰ）设正四棱锥的底面正方形边长为\(a\)，高为\(h\)，则体积\(V=\frac{1}{3}a^2h\)，表面积\(S=a^2+2a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+h^2}=a^2+a\sqrt{a^2+4h^2}\)。由\(V=\frac{1}{3}a^2h\)得\(h=\frac{3V}{a^2}\)，代入表面积公式，令\(t=a^2\)（\(t\gt0\)），则\(S=t+\sqrt{t^2+4\times\frac{9V^2}{t^2}}\)，求导求最值，得当\(t=\sqrt[3]{18V^2}\)时，表面积最小值为\(3\sqrt[3]{12V^2}\)（化简得4，当\(V=\frac{1}{3}\)时，此处统一按定值体积计算，最小值为\(3\sqrt[3]{12V^2}\)）。（Ⅱ）设正\(n\)棱锥的底面正\(n\)边形的中心到各边的距离为\(r\)，高为\(h\)，底面边长为\(a\)，则体积\(V=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\timesn\timesa\timesr\timesh=\frac{1}{6}nahr\)，表面积\(S=\frac{1}{2}nahr+\frac{1}{2}n\timesa\times\sqrt{r^2+h^2}\)。由（Ⅰ）的推导，当\(h=r\)时，表面积取得最小值，故充分必要条件为：正\(n\)棱锥的高等于底面正\(n\)边形的边心距（中心到各边的距离）。14.（本小题满分14分）假定亲本总体中三种基因型式：\(AA,Aa,aa\)的比例为\(p:2q:r\)（\(p+2q+r=1\)）且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个。（Ⅰ）求子一代中，三种基因型式\(AA,Aa,aa\)的比例；（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由。解析（Ⅰ）亲本交配的组合有6种，分别计算每种组合产生子一代的基因型式比例：1.\(AA\timesAA\)：概率\(p\timesp=p^2\)，子一代全为\(AA\)；2.\(AA\timesAa\)：概率\(2\timesp\times2q=4pq\)，子一代\(AA:Aa=1:1\)；3.\(AA\timesaa\)：概率\(2\timesp\timesr=2pr\)，子一代全为\(Aa\)；4.\(Aa\timesAa\)：概率\(2q\times2q=4q^2\)，子一代\(AA:Aa:aa=1:2:1\)；5.\(Aa\timesaa\)：概率\(2\times2q\timesr=4qr\)，子一代\(Aa:aa=1:1\)；6.\(aa\timesaa\)：概率\(r\timesr=r^2\)，子一代全为\(aa\)。子一代\(AA\)的比例：\(p^2+4pq\times\frac{1}{2}+4q^2\times\frac{1}{4}=(p+q)^2\)；子一代\(Aa\)的比例：\(4pq\times\frac{1}{2}+2pr+4q^2\times\frac{2}{4}+4qr\times\frac{1}{2}=2(p+q)(q+r)\)；子一代\(aa\)的比例：\(4q^2\times\frac{1}{4}+4qr\times\frac{1}{2}+r^2=(q+r)^2\)；令\(p'=(p+q)^2\)，\(2q'=2(p+q)(q+r)\)，\(r'=(q+r)^2\)，故子一代比例为\((p+q)^2:2(p+q)(q+r):(q+r)^2\)。（Ⅱ）相同。由（Ⅰ）知，子一代比例为\(p':2q':r'\)，其中\(p'=(p+q)^2\)，\(q'=(p+q)(q+r)\)，\(r'=(q+r)^2\)，则子二代中\(AA\)的比例为\((p'+q')^2=[(p+q)^2+(p+q)(q+r)]^2=(p+q)^2(p+q+q+r)^2=(p+q)^2\)（因\(p+2q+r=1\)），同理可证子二代\(Aa\)、\(aa\)的比例与子一代相同，故比例不变。15.（本小题满分14分）设函数\(f(x)=x^2+ax+b\)，且存在函数\(g(x)\)，满足\(f(g(x))=g(f(x))\)对所有实数\(x\)成立。（Ⅰ）证明：存在函数\(h(x)\)满足\(g(x)=f(h(x))=h(f(x))\)；（Ⅱ）设\(f(1)=2\)，\(f(2)=5\)，证明：\(g(n)=n\)对所有正整数\(n\)成立。解析（Ⅰ）令\(h(x)=x-\frac{a}{2}\)，则\(f(x)=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+b-\frac{a^2}{4}\)，即\(f(x)=h^{-1}(k(h(x)))\)，其中\(k(t)=t^2+c\)（\(c=b-\frac{a^2}{4}\)）。由\(f(g(x))=g(f(x))\)，代入\(f(x)=h^{-1}(k(h(x)))\)，得\(h^{-1}(k(h(g(x))))=h^{-1}(k(h(g(x))))\)，故\(k(h(g(x)))=h(g(h^{-1}(k(h(x)))))\)，令\(g(x)=h^{-1}(m(h(x)))\)，则\(k(m(t))=m(k(t))\)，取\(m(t)=t\)，则\(g(x)=h(x)\)，满足\(g(x)=f(h(x))=h(f(x))\)，故存在这样的\(h(x)\)。（Ⅱ）由\(f(1)=2\)，\(f(2)=5\)，得\(\begin{cases}1+a+b=2\\4+2a+b=5\end{cases}\)，解得\(a=2\)，\(b=-1\)，故\(f(x)=x^2+2x-1=(x+1)^2-2\)。用数学归纳法证明：1.当\(n=1\)时，\(f(1)=2\)，由\(f(g(1))=g(f(1))=g(2)\)，若\(g(1)=1\)，则\(f(1)=g(2)\)，即\(g(2)=2\)；2.假设当\(n=k\)时，\(g(k)=k\)，则\(f(g(k))=f(k)\)，又\(f(g(k))=g(f(k))\)，故\(g(f(k))=f(k)\)，而\(f(k)=k^2+2k-1\)，当\(k\)为正整数时，\(f(k)\)为正整数，故\(g(f(k))=f(k)\)，即\(n=f(k)\)时成立；3.又\(f(x)\)在正整数范围内单调递增，且覆盖所有大于等于2的正整数（可验证），故对所有正整数\(n\)，\(g(n)=n\)。2011年华约数学试题及解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.设复数\(z\)满足\(|z|=1\)且\(z\neq\pm1\)，则\(\frac{z-1}{z+1}\)是（）A.实数B.纯虚数C.非纯虚数D.不能确定解析令\(z=x+yi\)（\(x^2+y^2=1\)，\(y\neq0\)），则\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{(x-1)+yi}{(x+1)+yi}=\frac{[(x-1)+yi][(x+1)-yi]}{(x+1)^2+y^2}=\frac{x^2-1+y^2+2yi}{(x+1)^2+y^2}\)。因\(x^2+y^2=1\)，故分子实部为0，虚部为\(2y\neq0\)，故为纯虚数。答案：B。2.在正四棱锥\(P-ABCD\)中，\(M、N\)分别为\(PA、PB\)的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为\(\sqrt{2}\)，则异面直线\(DM\)与\(AN\)所成角的余弦值为（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)解析设底面边长为2，底面中心为\(O\)，则\(PO\perp\)底面\(ABCD\)，侧面与底面所成二面角的平面角为\(\anglePEO\)（\(E\)为\(AB\)中点），\(\tan\anglePEO=\frac{PO}{OE}=\sqrt{2}\)，\(OE=1\)，故\(PO=\sqrt{2}\)。建立空间直角坐标系：\(O(0,0,0)\)，\(A(1,-1,0)\)，\(B(1,1,0)\)，\(D(-1,-1,0)\)，\(P(0,0,\sqrt{2})\)，\(M(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)，\(N(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)。\(\vec{DM}=(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)，\(\vec{AN}=(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)，夹角余弦值\(\cos\theta=\frac{|\vec{DM}\cdot\vec{AN}|}{|\vec{DM}|\cdot|\vec{AN}|}=\frac{1}{3}\)。答案：A。3.设集合\(S=\{1,2,3,4,5\}\)，\(A、B\)都是\(S\)的真子集，\(A\capB=\emptyset\)，\(A\cupB=S\)，则集合\(A、B\)中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数（）A.对任意\(A、B\)都成立B.存在\(A、B\)不成立C.对任意\(A、B\)都不成立D.无法确定解析\(S\)中元素两两之和为完全平方数的组合：\(1+3=4\)，\(1+8=9\)（8不在\(S\)），\(2+7=9\)（7不在），\(3+6=9\)（6不在），\(4+5=9\)，\(2+2=4\)（重复）。假设\(A=\{1,4\}\)，\(B=\{2,3,5\}\)，\(A\)中\(1+4=5\)不是完全平方数，\(B\)中\(2+3=5\)，\(2+5=7\)，\(3+5=8\)，均不是完全平方数，故存在\(A、B\)不成立。答案：B。4.设\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，方程\(x^2+ax+2b=0\)和\(x^2+2bx+a=0\)的两个根是\(x_1,x_2\)和\(x_3,x_4\)，且\(x_1+x_2+x_3+x_4=-a-2b\)，\(x_1x_2x_3x_4=2ab\)，又\(x_1+x_2=-a\)，\(x_3+x_4=-2b\)，试比较\(a\)与\(b\)的大小（）A.\(a\gtb\)B.\(a=b\)C.\(a\ltb\)D.无法确定解析由韦达定理，\(x_1+x_2=-a\)，\(x_3+x_4=-2b\)，故\(x_1+x_2+x_3+x_4=-a-2b\)（已知成立），\(x_1x_2=2b\)，\(x_3x_4=a\)，故\(x_1x_2x_3x_4=2ab\)（已知成立）。两方程判别式均非负：\(a^2-8b\geq0\)，\(4b^2-4a\geq0\)，即\(a^2\geq8b\)，\(b^2\geqa\)，故\(a^4\geq64b^2\geq64a\)，即\(a^3\geq64\)，\(a\geq4\)，同理\(b\geq2\)。假设\(a=b\)，则\(a^2-8a\geq0\)，\(a^2-a\geq0\)，解得\(a\geq8\)，成立；若\(a\gtb\)，取\(a=5\)，\(b=3\)，\(25-24=1\geq0\)，\(36-20=16\geq0\)，也成立，故无法确定。答案：D。5.求函数\(f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+\cdots+|x-2011|\)的最小值（）A.505515B.505020C.505015D.505520解析绝对值函数\(f(x)=\sum_{k=1}^{2011}|x-k|\)，当\(x\)取中间值时取得最小值，中间值为\(x=1006\)（2011为奇数，中间项为第1006项）。最小值\(f(1006)=(1005+1004+\cdots+0)+(1+2+\cdots+1005)=2\times\frac{1005\times1006}{2}=1005\times1006=505515\)。答案：A。6.已知\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的不恒为0的函数，且对于任意的\(x,y\in\mathbb{R}\)，有\(f(xy)=xf(y)+yf(x)\)，则（）A.\(f(x)\)是奇函数B.\(f(x)\)是偶函数C.\(f(x)\)既是奇函数又是偶函数D.\(f(x)\)既不是奇函数也不是偶函数解析令\(x=y=1\)，得\(f(1)=f(1)+f(1)\)，故\(f(1)=0\)；令\(x=y=-1\)，得\(f(1)=-f(-1)-f(-1)\)，故\(f(-1)=0\)。令\(y=-1\)，得\(f(