(2025年)《统计学基础》习题参考答案

(2025年)《统计学基础》习题参考答案一、描述统计基础1.某班级50名学生《统计学》期末成绩如下（单位：分）：62,78,85,59,91,73,68,82,75,64,88,79,61,84,77,55,93,70,80,67,89,74,63,81,76,58,90,72,69,83,71,65,86,78,60,87,75,66,82,79,57,92,73,68,84,77,56,94,70,81要求：（1）计算该组数据的均值、中位数、众数；（2）计算方差、标准差、四分位数间距；（3）绘制频数分布直方图（组距10分，起始组为50-60）。解答：（1）均值计算：将50个数据求和后除以50。经计算，总和为3785，均值=3785/50=75.7分。中位数：数据从小到大排序后，第25和26个数的平均值。排序后第25位为75，第26位为76，中位数=(75+76)/2=75.5分。众数：出现次数最多的数值。观察数据，75、78、79、82、84各出现2次，73、68、70、81各出现2次，其余数值出现1次，因此该组数据为多众数，主要众数为75、78、79、82、84等（实际教学中可说明存在多个众数的情况）。（2）方差计算：首先计算每个数据与均值的离差平方和。离差平方和=Σ(xᵢ-75.7)²，经逐项计算后总和为5234.5，样本方差=5234.5/(50-1)≈106.83，样本标准差=√106.83≈10.33分。四分位数间距：Q1为第12.5个数（(50+1)/4=12.75，取第12和13个数的平均），排序后第12位为68，第13位为69，Q1=(68+69)/2=68.5；Q3为第37.5个数（3(50+1)/4=38.25，取第38和39个数的平均），排序后第38位为82，第39位为83，Q3=(82+83)/2=82.5；四分位数间距=Q3-Q1=82.5-68.5=14分。（3）频数分布直方图：组距10分，分组为50-60、60-70、70-80、80-90、90-100。统计各组频数：50-60：55,56,57,58,59→5个；60-70：60,61,62,63,64,65,66,67,68,68→10个（注意68出现2次）；70-80：70,70,71,72,73,73,74,75,75,76,77,77,78,78,79,79→16个；80-90：80,81,81,82,82,83,84,84,85,86,87,88→12个；90-100：90,91,92,93,94→5个。以组距为横轴，频数为纵轴，绘制矩形高度对应频数的直方图，直观展示成绩分布呈近似正态的单峰形态。二、概率分布应用2.某电子元件厂生产的元件寿命服从指数分布，平均寿命为1000小时。求：（1）元件寿命超过1500小时的概率；（2）元件寿命在500-1500小时之间的概率。解答：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)（x≥0），其中λ=1/μ，μ为均值。本题中μ=1000，故λ=1/1000。（1）寿命超过1500小时的概率P(X>1500)=∫₁₅₀₀^∞(1/1000)e^(-x/1000)dx=e^(-1500/1000)=e^(-1.5)≈0.2231。（2）寿命在500-1500小时的概率P(500<X<1500)=P(X>500)-P(X>1500)=e^(-500/1000)-e^(-1500/1000)=e^(-0.5)-e^(-1.5)≈0.6065-0.2231=0.3834。三、参数估计3.某城市随机抽取100户家庭，调查其月均用电量（单位：度），得到样本均值为320度，样本标准差为45度。（1）求该城市家庭月均用电量95%的置信区间；（2）若要求置信区间宽度不超过10度，至少需要调查多少户家庭（置信水平95%）？解答：（1）总体标准差未知，样本量n=100（大样本），可用z分布近似。95%置信水平对应的z临界值zα/2=1.96。标准误SE=s/√n=45/√100=4.5。置信区间=样本均值±zα/2×SE=320±1.96×4.5=320±8.82，即(311.18,328.82)度。（2）置信区间宽度=2×zα/2×(s/√n)≤10，即√n≥2×zα/2×s/10。代入数据得√n≥2×1.96×45/10=17.64，故n≥(17.64)²≈311.17，向上取整为312户。四、假设检验4.某企业声称其生产的电池平均续航时间不低于12小时。随机抽取25块电池测试，得到样本均值11.5小时，样本标准差1.2小时。检验该企业声明是否成立（α=0.05）。解答：（1）设定假设：H₀:μ≥12（企业声明成立），H₁:μ<12（单侧检验）。（2）检验统计量：总体标准差未知，用t检验，t=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(11.5-12)/(1.2/√25)=(-0.5)/(0.24)≈-2.083。（3）自由度df=n-1=24，α=0.05，单侧检验临界值t₀.₀₅(24)=-1.711（左侧检验）。（4）计算得t=-2.083<-1.711，落在拒绝域内，故拒绝H₀，认为该企业电池平均续航时间低于12小时。五、方差分析5.某公司为比较三种广告策略的效果，分别在三个区域投放，记录一周内的销售额（单位：万元）如下：策略A：18,22,20,24,19策略B：25,28,26,27,29策略C：15,17,16,14,18检验三种广告策略的销售额是否有显著差异（α=0.05）。解答：（1）计算各组均值：x̄A=(18+22+20+24+19)/5=20.6；x̄B=(25+28+26+27+29)/5=27；x̄C=(15+17+16+14+18)/5=16；总均值x̄=(20.6×5+27×5+16×5)/15=(103+135+80)/15=318/15=21.2。（2）计算平方和：组间平方和SSB=5×(20.6-21.2)²+5×(27-21.2)²+5×(16-21.2)²=5×(0.36)+5×(33.64)+5×(27.04)=1.8+168.2+135.2=305.2；组内平方和SSW=Σ(xᵢⱼ-x̄ᵢ)²：策略A：(18-20.6)²+(22-20.6)²+(20-20.6)²+(24-20.6)²+(19-20.6)²=6.76+1.96+0.36+11.56+2.56=23.2；策略B：(25-27)²+(28-27)²+(26-27)²+(27-27)²+(29-27)²=4+1+1+0+4=10；策略C：(15-16)²+(17-16)²+(16-16)²+(14-16)²+(18-16)²=1+1+0+4+4=10；SSW=23.2+10+10=43.2；总平方和SST=SSB+SSW=305.2+43.2=348.4。（3）计算均方：组间均方MSB=SSB/(k-1)=305.2/2=152.6；组内均方MSW=SSW/(n-k)=43.2/(15-3)=3.6。（4）F统计量=F=MSB/MSW=152.6/3.6≈42.39。（5）查F分布表，α=0.05，分子自由度2，分母自由度12，临界值F₀.₀₅(2,12)=3.89。由于42.39>3.89，拒绝原假设，认为三种广告策略的销售额有显著差异。六、相关与回归分析6.某地区10家企业的研发投入（x，万元）与年利润（y，百万元）数据如下：(10,5),(15,8),(20,10),(25,12),(30,15),(35,17),(40,20),(45,22),(50,25),(55,28)（1）计算研发投入与年利润的Pearson相关系数；（2）建立年利润对研发投入的线性回归方程；（3）检验回归系数的显著性（α=0.05）。解答：（1）Pearson相关系数r=[nΣxy(Σx)(Σy)]/√[nΣx²-(Σx)²][nΣy²-(Σy)²]计算得：Σx=325，Σy=162，Σxy=10×5+15×8+…+55×28=10×5=50,15×8=120,20×10=200,25×12=300,30×15=450,35×17=595,40×20=800,45×22=990,50×25=1250,55×28=1540，Σxy=50+120+200+300+450+595+800+990+1250+1540=6295；Σx²=10²+15²+…+55²=100+225+400+625+900+1225+1600+2025+2500+3025=12625；Σy²=5²+8²+…+28²=25+64+100+144+225+289+400+484+625+784=3140；代入公式：分子=10×6295325×162=62950-52650=10300；分母=√[(10×12625-325²)(10×3140-162²)]=√[(126250-105625)(31400-26244)]=√[(20625)(5156)]=√(106,312,500)≈10310.8；r=10300/10310.8≈0.999，高度正相关。（2）线性回归方程y=β₀+β₁x，其中β₁=(nΣxy-ΣxΣy)/(nΣx²-(Σx)²)=10300/(10×12625-325²)=10300/20625≈0.499；β₀=ȳ-β₁x̄=162/100.499×(325/10)=16.20.499×32.5≈16.2-16.2175≈-0.0175（近似为0）。故回归方程为y≈0.5x（简化后）。（3）检验β₁是否显著不为零：假设H₀:β₁=0，H₁:β₁≠0；计算t统计量：t=β₁/(Sₑ/√S_xx)，其中Sₑ为残差标准差，S_xx=Σx²-(Σx)²/n=12625-325²/10=12625-10562.5=2062.5；残差平方和SSE=Σ(yᵢ-ŷᵢ)²=Σy²-β₁²S_xx=3140-(0.499)²×2062.5≈3140-0.249×2062.5≈3140-513≈2627（实际更精确计算需用回归方程预测值计算，此