北师大版初中数学七年级下册概率初步专题复习教案

北师大版初中数学七年级下册概率初步专题复习教案

一、教学目标

1.知识与技能目标：学生能够准确叙述必然事件、不可能事件与随机事件的定义，并能在具体情境中加以判别。学生能够运用概率的古典定义，即P（A）=事件A发生的可能结果数÷所有可能发生的结果总数，进行简单古典概型概率的计算。学生能够运用列表法或树状图法，系统、不重不漏地列举出事件所有可能的结果，并据此计算涉及两步或简单三步试验的随机事件发生的概率。学生能够理解频率与概率的区别与联系，认识通过大量重复试验可以用频率估计概率。

2.过程与方法目标：通过丰富的生活实例与数学活动，经历“具体情境抽象概念实际应用”的认知过程，发展从数学视角观察、分析现实世界中随机现象的能力。在运用列举法求概率的过程中，体会有序思考、分类讨论的数学思想，提升逻辑思维的条理性和严密性。通过对比不同解题方法，优化解题策略，提炼数学模型，增强应用意识和模型思想。

3.情感态度与价值观目标：感受概率知识与日常生活的紧密联系，体会数学的实用价值与应用魅力。在探究活动中，培养严谨求实、合作交流的科学态度。通过了解概率论的发展简史及其在诸多领域的广泛应用，激发学习数学的持久兴趣与探索精神。

二、教学重难点

1.教学重点：随机事件的概念辨析；概率的古典定义及其简单应用；用列表法或树状图法求等可能事件的概率。

2.教学难点：理解概率的古典定义中“等可能性”这一前提；在面对复杂情境时，如何正确、有序、完整地利用列表法或树状图法列举所有等可能结果；区分频率与概率的概念。

三、学情分析

本专题面向初中七年级下学期学生。学生已经学习了有理数、代数式、方程、不等式、基本平面图形、变量关系等知识，具备了一定的抽象思维、逻辑推理和运算能力。生活中，学生对“可能性”有丰富的感性认识，但尚未形成系统的概率观念。他们的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，善于接受直观、活动化的学习方式，但在面对需要严谨分类和有序枚举的复杂问题时，容易出现遗漏或重复。部分学生可能将“不太可能”与“不可能”混淆，对概率值的理解停留于直觉判断。因此，教学需从学生熟悉的情境出发，通过大量实例和动手操作，引导他们实现从生活经验到数学概念的飞跃，并特别注重思维严谨性的训练。

四、教学策略

1.情境创设策略：广泛采用抽奖、游戏、天气预测、遗传现象等生活与科学情境，使抽象概念具体化、形象化。

2.探究式学习策略：设计层层递进的问题串和探究活动，引导学生主动观察、比较、归纳、概括，自主建构知识体系。

3.变式训练与对比教学策略：围绕核心知识点设计多角度、多层次的变式练习，通过对比不同题型、不同解法，深化理解，提升迁移能力。

4.信息技术整合策略：利用随机数模拟软件或在线工具，动态演示大量重复试验，直观展现频率的稳定性，帮助学生理解频率估计概率的内涵。

5.合作学习策略：在复杂枚举和问题解决环节，组织小组讨论，促进思维碰撞，培养合作与交流能力。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件（内含丰富的生活实例图片、动画演示）、实物教具（如不同颜色的球、骰子、扑克牌）、学案（包含知识梳理框架、典型例题、变式练习）。学生准备：复习教材相关章节，准备绘图工具（直尺、铅笔）。

六、教学过程

（一）创设情境，导入专题（预计用时：8分钟）

教师活动：展示一组图片与问题：①太阳从东方升起；②掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；③在标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾；④购买一张彩票，中特等奖；⑤明天本市最高气温为-50摄氏度。提问：这些事件的发生，有什么不同的特点？你能将它们分分类吗？

学生活动：观察、思考并尝试分类，发表自己的看法。可能根据“一定发生”、“一定不发生”、“可能发生也可能不发生”进行分类。

教师活动：聆听学生发言，引出数学中对于事件的严格分类，并指出我们本章研究的核心，正是那些“可能发生，也可能不发生”的事件——随机事件。其发生的可能性大小，便是概率。本节课，我们将对“概率初步”这一章进行系统梳理与深化复习。

设计意图：从学生绝对熟悉的生活和自然现象切入，激活其已有经验认知，通过对比鲜明的实例引发认知冲突，自然引出必然事件、不可能事件和随机事件的概念，明确本专题复习的核心对象，激发学习兴趣。

（二）知识体系构建与核心概念辨析（预计用时：25分钟）

1.事件类型的再认识

1.2.教师引导：请用严格的数学语言定义必然事件、不可能事件和随机事件。并指出：必然事件与不可能事件本质上都是确定性的，可视为随机事件的特例（概率为1或0）。

2.3.学生活动：回顾并口述定义。完成针对性判断练习，如：“拔苗助长”是不可能事件；“守株待兔”是随机事件；“水中捞月”是不可能事件等。

3.4.易错警示（一）：情境变化导致事件类型转变。例如：“在标准大气压下，水加热到100℃沸腾”是必然事件；若去掉“在标准大气压下”这一条件，则变为随机事件。强调定义中“在一定条件下”的前提重要性。

5.概率的古典定义

1.6.教师引导：如何定量刻画随机事件发生的可能性大小？回顾概率的古典定义。关键前提是什么？

2.7.学生活动：齐答：P（A）=m/n。强调前提：所有可能结果有限且等可能。

3.8.典例精析（题型一：直接应用公式求概率）：一个不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球是红球的概率是多少？

4.9.学生活动：独立完成。P（红球）=3/5。

5.10.教师追问：若再加入1个蓝球呢？概率变为多少？为什么分母是6而不是5？强化“所有等可能结果”的确定。

11.频率与概率

1.12.教师活动：播放或描述历史上数学家所做的抛硬币试验数据统计表（如德·摩根、蒲丰、皮尔逊等人的实验）。展示随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.5附近的现象。

2.13.引导学生讨论：频率与概率有何区别与联系？

3.14.学生归纳：频率是试验值，随试验次数变化；概率是理论值，是确定的。大量重复试验下，频率会稳定在概率附近，可以用频率估计概率。

4.15.易错警示（二）：混淆频率与概率。例如：抛一枚硬币10次，正面朝上7次，则说“正面朝上的概率是0.7”是错误的。只能说“这10次试验中，正面朝上的频率是0.7”。概率仍是0.5。

16.几何概型初步感知（渗透）

1.17.教师活动：展示问题：在如图所示的圆形转盘上，红色区域圆心角为120°，转动转盘，指针落在红色区域的概率是多少？

2.18.学生活动：尝试解答。可能与古典概型公式类比，得出P=120°/360°=1/3。

3.19.教师点明：当试验结果无限且等可能时，需用区域几何度量（长度、面积、角度等）之比求概率，此为几何概型，高中将深入学习，此处仅作初步感知。

设计意图：本环节旨在系统回顾本章核心概念，构建清晰的知识网络。通过基础练习巩固概念，通过典例引入基本题型，并通过两个“易错警示”提前聚焦常见误区。渗透几何概型，建立知识发展的联系。

（三）核心方法突破：枚举法的系统运用（预计用时：40分钟）

教师活动指出：求等可能事件概率的关键，在于准确求出m和n。当事件涉及多个步骤或因素时，系统、不重不漏地列举所有等可能结果至关重要。列表法和树状图法是两大法宝。

1.树状图法——展现步骤与层次

1.2.典例精析（题型二：两步试验，用树状图求概率）：小明和小红玩“石头、剪刀、布”的游戏。求在一次游戏中，（1）两人出相同手势的概率；（2）小明获胜的概率。

2.3.教师活动：引导学生分析试验分几步？每步有哪些等可能结果？师生共同完成树状图绘制。

3.4.学生活动：跟随老师步骤，理解树状图的画法：从“树根”开始，第一层表示小明可能出的三种手势，第二层在每个分支下再列出小红可能出的三种手势。总共得到9种等可能结果。

4.5.计算概率：（1）相同手势有（石，石）、（剪，剪）、（布，布）共3种，P=3/9=1/3。（2）小明获胜的结果有（石，剪）、（剪，布）、（布，石）共3种，P=1/3。

5.6.解题秘籍（一）：“分步析，树状图，枝叶全，数清楚。”适用于步骤清晰、层次分明的试验。

7.列表法——呈现组合与对称

1.8.典例精析（题型三：两步试验，用列表法求概率）：掷两枚质地均匀的骰子，求：（1）点数之和为8的概率；（2）至少有一枚骰子点数为2的概率。

2.9.教师活动：引导学生思考，能否用列表法？如何设计表格？展示列表法：第一行第一列分别列出第一枚、第二枚骰子的可能点数1-6，表格内部填入对应点数之和（或记为有序数对）。

3.10.学生活动：观察列表，理解列表法能清晰展示所有36种等可能结果。在表格中找出满足条件的结果。

4.11.计算概率：（1）点数之和为8的有（2，6）、（3，5）、（4，4）、（5，3）、（6，2）共5种，P=5/36。（2）至少有一个2的情况较多，可考虑其对立事件“两个骰子都没有2”，其结果为5×5=25种，故事件概率为1-25/36=11/36。

5.12.教师强调：当正面情况复杂时，善用“对立事件”概率公式P（A）=1-P（A不發生），可简化计算。这是重要的解题策略。

6.13.解题秘籍（二）：“两因素，列表格，对应对，找目标。正面繁，转反面，巧用一减更简单。”

14.方法对比与选择

1.15.变式训练（题型四：枚举方法的选择）：从甲、乙、丙三人中选两人担任正副组长，求甲被选中的概率。

2.16.学生活动：尝试用树状图或列表法解决。发现若用树状图，步骤为“选正组长→选副组长”，但需注意“选到甲”这一事件与职务无关，且当选人不能重复。引导思考更优方法：直接枚举所有等可能的两人组合：{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}。共3种，甲被选中有2种，P=2/3。

3.17.教师总结：列表法与树状图本质都是枚举工具，选择取决于问题情境。有时直接列举基本事件组合更简洁。核心原则是：确保枚举的等可能性、完整性和不重复性。

18.枚举法的深化应用

1.19.典例精析（题型五：有放回与无放回问题）：一个袋子中有红、白两球，摸球两次。（1）第一次摸出后放回，再摸第二次；（2）第一次摸出后不放回，再摸第二次。分别求两次都摸到红球的概率。

2.20.学生活动：分组探究。第一组用树状图解决（1），第二组用树状图解决（2）。对比两个树状图及结果。

3.21.师生共同归纳：“有放回”时，第二次摸球的条件与第一次完全相同，所有可能结果数为2×2=4。“无放回”时，第一次摸走一球后，袋中球的数量和组成改变，第二次摸球的条件依赖于第一次的结果，所有可能结果数为2×1=2（或理解为基本事件（红，白）、（白，红））。P（两红）在（1）中为1/4，在（2）中为0（若只有一红一白）或需重新计算（若有多球）。强调审题时必须明确“放回”与“不放回”这一关键条件。

4.22.典例精析（题型六：涉及顺序与不涉及顺序）：从标号1，2，3的三张卡片中抽取两张，组成一个两位数。求这个两位数是偶数的概率。

5.23.学生活动：分析“组成两位数”意味着抽取结果有顺序，（1，2）与（2，1）是不同的结果。用树状图或列表列出所有6种等可能的两位数：12，13，21，23，31，32。其中偶数有12，32两个，P=2/6=1/3。

6.24.教师深化：若问题改为“抽取两张，求其数字之和为偶数的概率”，则结果（1，2）与（2，1）在求和时被视为同一种情况，但作为基本事件是否等可能？仍需按有序抽取来保证等可能性，计算满足“和為偶數”的有序对数目。

设计意图：本环节是教学的核心与难点突破环节。通过两大类枚举方法的详细讲解与对比，结合六种关键题型的层层递进剖析，使学生彻底掌握求概率的系统方法。引入“对立事件”策略和“放回与否”、“顺序与否”的辨析，提升思维的深度与灵活性。两个“解题秘籍”朗朗上口，便于学生记忆核心要领。

（四）综合应用与能力提升（预计用时：35分钟）

教师活动：概率知识绝非孤立的数学公式，它广泛应用于游戏设计、决策分析、科学实验等诸多领域。下面我们通过几个综合性强、联系实际的问题，来提升应用能力。

1.典例精析（题型七：概率与游戏公平性）：小明和小亮用如图所示的两个转盘（A盘被分成面积相等的3个扇形，数字为1，2，3；B盘被分成面积相等的4个扇形，数字为1，2，3，4）做游戏。规则如下：同时转动两个转盘，停止后，将指针所指数字相乘。若积为奇数，则小明胜；若积为偶数，则小亮胜。判断游戏是否公平。

1.2.学生活动：小组讨论。需计算小明获胜（积为奇数）的概率。列表分析：所有等可能结果数为3×4=12。积为奇数，要求两个因数均为奇数。A盘奇数为1，3；B盘奇数为1，3。满足条件的有（1，1）、（1，3）、（3，1）、（3，3）共4种。P（小明胜）=4/12=1/3。P（小亮胜）=1-1/3=2/3。两者不等，游戏不公平。

2.3.教师拓展：如何修改规则使游戏公平？学生可能提出：修改为“积为质数小明胜，积为合数小亮胜”（需检查）；或修改转盘数字等。培养创新与批判思维。

4.典例精析（题型八：概率与代数知识综合）：已知一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红球x个，白球5个。随机摸出一个球是红球的概率为1/3。（1）求x的值。（2）若再放入若干个红球，使摸到红球的概率达到1/2，求需放入的红球个数。

1.5.学生活动：独立完成。（1）根据概率定义：x/(x+5)=1/3，解得x=2.5？球个数必须为正整数，x=2.5不符合实际。哪里出问题了？反思：概率公式成立的前提是每个球被摸到的可能性相同。如果x不是整数？不可能。重新审题：P（红球）=红球可能结果数/总结果数=x/(x+5)。方程无误。但x必须为整数，说明题目数据可能假设了概率值为精确值，但在实际摸球中，只有当球数满足一定关系时，理论概率才可能为1/3。若x=2，P=2/7≈0.286；若x=3，P=3/8=0.375。均非精确1/3。此处是一个理想化的数学模型。按模型解方程：3x=x+5=>2x=5=>x=2.5。在实际应用题中，需指出x应为正整数，原题数据可能为近似或需调整。此处按数学模型，接受x=2.5，但强调实际意义需检验。

2.6.（2）设放入y个红球。此时红球数为(2.5+y)，总球数为(2.5+5+y)。列方程：(2.5+y)/(7.5+y)=1/2。解得：2(2.5+y)=7.5+y=>5+2y=7.5+y=>y=2.5。同样需注意实际意义。

3.7.教师总结：概率与方程结合是常见题型。需注意概率模型自身的合理性及解的实际情况检验。

8.典例精析（题型九：概率与统计初步结合）：为了估计某鱼塘中鱼的数量，先捕上100条做上标记后放回。一段时间后，再捕上200条，发现其中有标记的鱼10条。据此估计该鱼塘中原有鱼约多少条？第二次捕鱼中，捞到有标记鱼的概率约为多少？

1.9.学生活动：阅读理解，这是一个用频率估计概率的实际问题。设鱼塘原有鱼x条。标记鱼占总鱼数的比例约为100/x。第二次捕捞200条是一个样本，其中有标记鱼10条，频率为10/200=0.05。用这个频率估计标记鱼的比例，即100/x≈0.05，解得x≈2000。

2.10.第二问：根据估计值，鱼塘中鱼约2000条，标记鱼100条，故捞到有标记鱼的概率约为100/2000=0.05（与频率一致，体现了频率的稳定性）。

3.11.教师强调：这是“捉放法”估计总体数量，体现了概率统计在科学研究中的应用。

12.典例精析（题型十：情境复杂的概率决策问题）：某校七年级组织秋游，现有甲、乙两家旅行社报价均为每人200元。甲旅行社承诺：老师全价，学生半价；乙旅行社承诺：师生一律按报价的七五折优惠。若师生总人数为a人，其中学生人数为b人。（1）分别写出两家旅行社的收费总额W甲、W乙（元）与a、b的关系式。（2）现有一名老师带领若干名学生（学生人数多于老师）去秋游，应选择哪家旅行社更划算？请用概率知识说明，若老师随机从该校七年级学生中邀请学生参加，应如何决策？

1.13.学生活动：第一问代数建模：W甲=200×(a-b)+100×b=200a-100b；W乙=200×0.75×a=150a。

2.14.第二问：比较W甲与W乙。W甲-W乙=(200a-100b)-150a=50a-100b=50(a-2b)。令其等于0，得a=2b。即当总人数是学生人数的2倍时，两家一样；当a>2b（即学生比例小于1/2）时，W甲>W乙，选乙划算；当a<2b（即学生比例大于1/2）时，W甲<W乙，选甲划算。

3.15.在老师随机邀请的情境下，学生人数b不确定，但已知学生总人数远多于老师（仅1名），故被邀请的学生人数b可以是从1到某个较大数的随机值。从概率角度看，b越大，a=1+b越小于2b（因为2b=2b，比较1+b与2b，当b>1时，1+b<2b恒成立），即条件a<2b几乎总是成立（除非b=1，a=2，此时a=2b，两者相同）。因此，随机邀请时，选择甲旅行社更划算的可能性极大。

4.16.教师点评：本题综合了代数、不等式、概率判断，展现了数学作为决策工具的强大力量。决策依赖于关键数量关系，而随机情境下的决策则需要基于概率大小的分析。

设计意图：本环节通过十大题型中的后四种综合题型，将概率知识与游戏公平、代数方程、统计估计、生活决策等深度融合，极大地拓展了学生的视野，提升了综合应用能力与数学建模素养。问题设计具有挑战性和开放性，促使学生进行高阶思维。

（五）课堂小结与反思（预计用时：7分钟）

教师活动：引导学生回顾本节课梳理的知识主线和能力要点。请学生从以下方面进行总结：

1.知识层面：事件的分类、概率的两种求法（理论计算与频率估计）、核心方法（树状图、列表法）。

2.方法层面：有序枚举、正难则反（对立事件）、数学建模（方程、不等式）、决策分析。

3.易错点：忽视“等可能性”前提；混淆频率与概率；“放回”与“不放回”辨别不清；枚举时重复或遗漏。

4.解题秘籍：再诵口诀“分步析，树状图，枝叶全，数清楚”与“两因素，列表格，对应对，找目标。正面繁，转反面，巧用一减更简单”。

学生活动：自主梳理，构建个人化的知识方法体系图，并分享收获与困惑。

（六）分层作业设计（预计用时：课后完成）

1.基础巩固题（必做）：

1.2.完成学案上的10道概念辨析与直接应用概率公式的题目。

2.3.教材复习题中关于列举法求概率的3道基础题。

4.能力提升题（选做）：

1.5.设计一个公平的两人游戏，并用概率知识说明其公平性。

2.6.调查生活中一项与概率有关的现象（如某种彩票的中奖率、天气预报中的降水概率含义），写一篇简短的数学笔记。

7.探究挑战题（供学有余力者）：

1.8.研究“生日悖论”：一个班级至少需要多少人，才能使其中至少有两人生日相同的概率大于50%？（提示：从对立事件“所有人生日都不同”的概率入手计算，可借助计算器）。

七、教学反思