2026年陕西省榆林市高考数学模拟试卷（五）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年陕西省榆林市高考数学模拟试卷（五）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=(1−i)(a+i)(a∈R)为纯虚数，则a=(

)A.−1 B.0 C.1 D.2.若全集U={1,2,3,4,5,6,7}，M={2,3,4}，N={1,4,5}，则M∩(∁UN)=A.⌀ B.{2} C.{2,3} D.{2,3,4}3.如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量a与b的夹角为π4，则c⋅d=A.−2−2

B.2−2

C.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2,tanC=24，则△ABC外接圆的半径为A.1 B.3 C.4 D.65.甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜.已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为(

)A.15 B.13 C.256.如图所示，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=CC1=2，D，E分别为线段BB1，A1A.24

B.13

C.17.将双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)绕原点O逆时针旋转3π8后，得到函数f(x)=x+A.1 B.2 C.6 D.8.已知函数f(x)的定义域为Z，若f(x+y)=f(x)f(1−y)+f(y)f(1−x)，且f(1)=−f(−1)=1，则i=110f(2i)=A.0 B.1 C.10 D.20二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，点M(x0,y0)在抛物线CA.x0=33 B.y0=±62

C.|OM|=610.已知直线y=1与函数f(x)=tan(ωx+π6)(ω>0)的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为x1，xA.ω=12

B.函数f(x)的定义域为{x|x≠π6+kπ2,k∈Z}

C.点(5π12,0)是函数f(x)11.一封闭圆锥容器(容器厚度忽略不计)的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为3的小球在该容器内自由运动，则(

)A.该圆锥的侧面积为50π

B.小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2

C.小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4

D.小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为20π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=f(−x),x<01x−lnx,x>0，则f(−1)=

13.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，nS14.若∀x∈R，4cos3x+2cos2x−1−a>0恒成立，则实数a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为[40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]，(单位：克)，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估算样本的中位数；

(2)已知[60,70)上的平均重量是65克，方差是6，[70,80)上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差s2．16.(本小题15分)

如图所示，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，AB=BE=1．

(1)求点B17.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=9，S4=30．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列18.(本小题17分)

在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)，B(0,−1)，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为−12．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)直线l1：x−2y+1=0与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长|CD|；

(3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点T(2,0)，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得∠MTN恰好被x轴平分，求△MTN19.(本小题17分)

已知函数f(x)=x−2a−alnx(a∈R．

(1)讨论函数f(x)在区间(1,+∞)内极值点的个数．

(2)设函数g(x)=f(x)+exx+(a−1)lnx，若函数g(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1<x2．

(i)求实数参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.C

7.B

8.A

9.BC

10.BCD

11.AC

12.1

13.2n

14.(−∞,−3)

15.解：(1)由频率分布直方图，得10×(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)=1，解得a=0.030，

数据在[40,70)的频率为0.05+0.1+0.2=0.35，在[40,80)的频率为0.65，

所以样本的中位数约为70+0.5−0.350.3×10=75．

(2)由(1)知数据在[60,70)上与[70,80)上的频率之比为2：3，

因此样本数据的总平均重量z−=65×25+75×35=71(克)，

所以总方差s2=[6+(65−71)2]×25+[3+(75−71)2]×35=1415=28.2．

16.解：(1)设点B1到平面A1EC1的距离为d，

因为ABCD−A1B1C1D1是正四棱柱，E为BB1的中点，AB=BE=1，

因此A1E=C1E=A1C1=1+1=2，

则S△A1EC1=34×(2)2=32,S△A1B1C1=12×1×1=12，

由VB1−A1EC1=VE−A17.解：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=9，S4=30，

设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列的通项公式和求和公式可得a1+2d=9,4a1+6d=30,

解得a1=3，d=3，

则{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d=3n；

(2)由(1)得Sn=n(3+3n)2=32n(n+1)，

所以1Sn=23n(n+1)=23(1n−1n+1)，

数列{1Sn}的前n项和为23[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=2n3(n+1)；

证明：(3)由(2)知1Si=23i(i+1)<23i2，其中i=4，8，⋯，2n，

当n≥2时，1S1+1S2+1S4+1S8+⋯+1S2n<23(12+16+124+126+⋯+122n)

=23(12+16+124(1−14n−1)1−14)<2319.解：(1)因为f(x)=x−2a−alnx(a∈R)的定义域为(0,+∞)，

所以f′(x)=1−ax=x−ax，

若a>1，当x∈(1,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在(1,a)上单调递减；

当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(a,+∞)上单调递增，

故x=a是函数f(x)的极小值点，且函数f(x)无极大值点；

若a≤1，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0恒成立，

则函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，无极值点．

综上可知，当a≤1时，函数f(x)在区间(1,+∞)内极值点的个数为0；

当a>1时，函数f(x)在区间(1,+∞)内极值点的个数为1．

(2)(i)因为g(x)=f(x)+exx+(a−1)lnx=exx−lnx+x−2a,x>0，

所以g′(x)=(x−1)exx2−1x+1=(x−1)ex+x(x−1)x2=(x−1)(ex+x)x2．

当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0．

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

则g(x)min=g(1)=e+1−2a，

因为函数g(x)存在两个不同的零点，所以e+1−2a<0，即a>e+12，

所以实数a的取值范围为(e+12,+∞)；

(ii)证明：下面找两个点m，n(0<m<1<n)，使得g(m)>0，g(n)>0，

注意到4a2−2a−12a−1=2a−12a−1，且0<12a−1<1<2a，于是考虑找点2a,12a−1，

下面我们证明：g(2a)>0,g(12a−1)>0．

①要证g(