2026年中考数学一轮专题复习 一元二次方程实际应用 专项综合提优训练（含答案）

一元二次方程实际应用专项综合提优训练题型一：增长率问题随着电商的发展，某小区菜鸟驿站去年10月份每日平均接收快递64件，12月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，若去年月每个月日均接收快递件数的增长率不变．求每个月日均接收快递件数的增长率．2．2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？3．暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个．(1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？(2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率；(3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单．题型二：营销问题（商品利润问题）4．2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个．(1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______；(2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？5．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．(1)写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？(2)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？(3)商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？6．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价不低于进价时，月销售量（条）与销售单价（元）是一次函数关系：(1)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(2)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于3700元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？7．北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个．(1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？(3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？8．某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元．(1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案）(2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？9．文化与情感的共燃、创意设计和温情表达的相辅相成使得中国传统节日文创产品出圈．某商店经销一种文创书签，该书签的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该书签每天的销售量y(个)与每个的售价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求y关于x的函数关系式；(2)在每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润为元，则该书签每个的售价是多少？(3)该商店决定这种书签的售价每个不能高于元，且每销售1个这种书签就向某文化机构捐款n元，捐款后发现，该商店每天销售这种书签所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．题型三：10．如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为m．(1)的长为，的取值范围是；(2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？(3)当为何值时，矩形花园的面积取得最大值，并求出此时面积的最大值．11．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．(1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？(2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度．12．如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为．(1)的长为________m，的取值范围是________；(2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？(3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由．13．如图是某小型停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为21米，宽为18米，停车场内车道宽度都相等，若停车位的占地面积为180平方米，求车道宽度．14．某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡．(1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案；(2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．

15．随着城郊乡村休闲游持续升温，不少农户在自家院内打造特色菜园吸引游客体验农事．某农户计划借助自家院内、两面墙（墙长足够），用栅栏围建一块梯形菜园，已知，，．(1)如图1，若段墙的长度为，求此时与间的距离（结果精确到）；(2)如图2，该农户计划购买的栅栏进行围建，并在边上留一个宽的门．若围建的梯形菜园的面积为，求此时的长．（参考数据：，，）

16．综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务．[素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品．[素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板．

[素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒．纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②．

[任务1]熟悉材料(1)按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________．利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究[任务2]初步应用(2)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．[任务3]储物收纳(3)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．(4)题型四：数字问题17.若两个连续奇数的积为，则这两个数的和为多少?18．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数．

19．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）．(1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示）(2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由．(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数．20．第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份．(1)把八进制数换算成十进制数是_________；(2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值．21．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；．【解决问题】(1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天(2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制）例如；写出________________(3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．

答案解析：1．每个月日均接收快递件数的增长率为．【分析】设每个月日均接收快递件数的增长率为．根据题意列一元二次方程，取正数解即可．【详解】解：设每个月日均接收快递件数的增长率为．则，解得：，（舍），答：每个月日均接收快递件数的增长率为．2．(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；(2)不能实现目标．【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可；（2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答．【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，，解得或（舍去），答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；（2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元，答：不能实现目标．3．(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个(2)这个增长率为(3)还需3天就可交货完成此订单【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个，列出方程，解方程即可；（2）设小明每周的增长率为m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个，列出方程，解方程即可；（3）设还需n天就可交货完成此订单，根据需要完成3600个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解．【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据题意得：，解得：，∴（个）．答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个．（2）解：设小明每周的增长率为m，根据题意得：，解得，（舍去）．答：这个增长率为；（3）解：设还需n天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作100个，小明每天制作72个，则：，解得：，答：还需3天就可交货完成此订单．4．(1)；(2)售价应定为50元【分析】（1）根据“吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个”列函数关系式即可．（2）设售价上涨x元，根据“超市要实现平均每月10000元的销售利润”列方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意可得，∵售价在40元至60元范围内，∴，则y与x的函数关系式为；（2）解法一：设售价上涨x元．依题意得：，解得：，．∴当时，售价为元；当时，售价为元，又∵售价在40元元范围内，∴不符合题意，舍去．∴售价应定为50元．解法二：设售价应定为x元．依题意得：，解得：，，又∵售价在40元元范围内，∴不符合题意，舍去．∴售价应定为50元．5．(1)(2)每个定价为70元，应进货200个(3)每个定价65元，获得的最大利润是6250元【分析】本题主要考查一元二次方程，二次函数的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．（1）根据利润售价进价直接列式；（2）根据总利润每个利润销售量列方程，解方程后选择进货量较小的解；（3）将总利润表示为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值．【详解】（1）解：每个进价为40元，销售定价为50元，设每个定价增加x元，∴每个获得的利润为（元）；（2）解：设每个定价增加元，则销售量为个，总利润为，化简得，即，两边除以得，解得或，当时，进货量（个），当时，进货量（个），∵要使进货量较少，∴取，定价为元，进货200个；（3）解：总利润，∵，∴抛物线开口向下，有最大值，顶点横坐标，定价为元，最大利润元．6．(1)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元(2)当销售单价定为60元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、列出函数关系式和方程是解题的关键．（1）由题意得：该网店每月获得的利润为，再根据二次函数的性质求最值即可解答；（2）由题意得：解得：，再结合（1）的函数解析式可得当时，符合该网店要求，最后根据让消费者得到最大的实惠确定x的值即可解答．【详解】（1）解：由题意得：该网店每月获得的利润为：

∵，，∴当时，W有最大值4500．∴元.答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元．（2）解：由题意得：解得：，∵的抛物线开口向下，对称轴为直线∴当时，符合该网店要求，∵为了让消费者得到最大实惠，∴.答：当销售单价定为60元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．7．(1)(2)(3)【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用．（1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可；（2）根据题意可知利润为，根据获得利润8000元，列出方程，解方程即可；（3）求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，取得最大值，求出m的值即可．【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，∴，∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元，∴，∴．即，其中．（2）根据题意，得，解得，，；（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，的对称轴为直线，，，当时，随的增大而增大，时，取得最大值，，解得．8．(1)，(2)【分析】（1）令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，根据题意列出方程组，求解即可；（2）根据题意，根据总利润列出方程，求解即可．【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，由题意可得方程组，解得，故答案为：，．（2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元，根据题意可得，∴，化简得，解得（舍去）或．当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元．9．(1)(2)元(3)【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意，设，利用待定系数法可得解析式；（2）由题意列方程，解得，而每天的销售量不低于个，则，则可求出该书签每个的售价；（3）依据题意，设捐款后每天所获得的利润为元，从而可得，结合二次函数的性质得当时，随的增大而增大，进而得到，再结合题目条件最后计算可以得解．【详解】（1）解：由题意，设，又∵图象过，，．．；（2）解：由题意得：，整理得：，解得：，∵每天的销售量不低于个，∴，，故，则该书签每个的售价元；（3）解：设捐款后每天所获得的利润为元，根据题意得：，∴抛物线的对称轴为直线，∵，当时，随的增大而增大．物价部门规定这种书签的售价每个不能高于元，即在范围内函数都要递增，则对称轴才能保证在时函数递增，，解得，又，．10．(1)；(2)当时，矩形花园的面积为(3)当时，面积取得最大值，此时【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式组求解；（2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可；（3）根据矩形花园面积列二次函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得解．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：根据题意得整理得解得（舍），答：当时，矩形花园的面积为（3）解：依题意，∵∴当时，面积取得最大值，此时11．(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克(2)道路宽度为【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，然后根据题意列分式方程求解即可；（2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，依题意得，解得，经检验，是原方程的解．答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克．（2）解：设道路宽度为．依题意得，解得（不合实际，舍去）．答：道路宽度为．12．(1)，(2)(3)亮亮的说法不正确，理由见解析【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式求解；（2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可；（3）根据矩形花园面积列一元二次方程，再结合根的判别式确定方程无解，即可得解．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：根据题意得，整理得，解得（舍），，答：当时，矩形花园的面积为；（3）解：亮亮的说法不正确，理由如下：根据题意得，即，，该方程无实数根，矩形花园的面积不可以为，即亮亮的说法不正确．13．车道宽度为6米【分析】设车道宽度为x米，依题意列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可．【详解】解：如图设车道宽度为x米，依题意，得，，解得（不符合题意，舍去），答：车道宽度为6米．14．(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意(2)面积不能达到，见解析【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可；（2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可．【详解】（1）解：设，则．由题意得：．解得，．，即，∴，，∴，∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意；（2）解：设，则，，由题意得：，整理得，，方程无解，∴面积不能达到．15．(1)(2)3m【分析】（1）过点作于点，求出，再利用余弦值求解即可；（2）过点作于点，连接．证明四边形是矩形．设，利用正切值得到，再根据梯形面积列方程求解即可．【详解】（1）解：如图1，过点作于点，，，，在中，，，答：此时与间的距离约为．（2）解：如图2，过点作于点，连接，，，四边形是矩形，，在中，，设，则，，，整理得，，解得，答：当围建的梯形菜园的面积为时，的长约为．16．(1)40(2)储物盒的容积为(3)玩具机械狗不能完全放入该储物盒，理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键．（1）根据储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题；（2）设裁去的小正方形的边长为，储物盒的底面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；（3）设小长方形的宽为，长为，根据“和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．【详解】（1）解：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域，∴图①中的四角裁去小正方形的边长为，；（2）解：由图①知，设小正方形的边长为，由题意可得，解得（舍去），，容积为答：储物盒的容积为．（3）解：设小长方形的宽为，长为，由题意可得，解得（舍去）或，小长方形的宽为．当，两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高为，玩具机械狗不能完全放入该储物盒．17．或【分析】此题考查了一元二次方程的应用；要注意题目中给出的等量条件，列出方程细心求解即可．关键是用代数式表示两个连续奇数的方法，两个连续奇数的差为，故设较小的奇数