2026年安徽中考数学二轮复习 专题04 函数实际应用(知识清单)

Page试卷第=page22页，共=sectionpages100100页专题04函数实际应用（必备知识&二级结论清单+技法清单）内●容●导●航第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向►考向聚焦►考查形式►能力清单第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法►知识必备/二级结论►母题精讲&答题技法►变式应用技法01解决营销问题技法02函数方案问题技法03一次函数行程问题技法04一次函数其他应用问题技法05二次函数图形问题技法06二次函数实物建模问题技法07二次函数的其它应用问题技法08与反比例函数有关的跨学科问题技法09反比例函数与其它函数的实际应用第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁命●题●解●码考向聚焦技法01解决营销问题：主要考查将销售中的数量关系抽象为函数模型的能力。常以求一次函数或二次函数解析式为基础，结合不等式求自变量取值范围，最终利用函数性质求最大利润。技法02函数方案问题：重点考查方案设计与择优的建模能力。常以“租车方案”“进货方案”等形式出现，要求根据限制条件列出函数关系式，通过不等式组确定可行方案，并从中选择最优解。技法03一次函数行程问题：考查从函数图象中获取信息解决行程问题的能力。常以两车（或两人）运动为背景，图象表示距离与时间的关系，要求求速度、相遇时间、相距距离等。技法04一次函数其他应用问题：涉及用其它等实际情景。常考查分段函数的理解与应用，要求根据图象写出解析式，比较函数值。技法05二次函数图形问题：考查利用二次函数解决几何图形中的面积最值问题。常见类型：用篱笆围矩形场地、在三角形或矩形内截取图形等，要求确定边长使面积最大。技法06二次函数实物建模问题：以抛物线形实物（如拱桥、喷泉、投篮轨迹）为背景，考查建立坐标系求二次函数解析式的能力。常要求计算高度、宽度或判断是否通过某点。技法07二次函数的其它应用问题：包括二次函数运动轨迹综合问题等。常与方程、不等式结合，考查综合应用能力。技法08与反比例函数有关的跨学科问题：常与物理（压强与受力面积、电流与电阻）、化学等学科知识结合，考查反比例函数模型的跨学科应用。技法09反比例函数与其它函数的实际应用：考查反比例函数与一次函数综合的实际问题。如工程问题（工作量一定，人数与时间关系）、行程问题（路程一定，速度与时间关系），常要求比较两种函数的差异或求交点意义。考查形式函数应用是中考数学的核心应用板块，考查呈现“建模+计算+解释”的完整流程。一次函数应用（技法01-04）侧重方案设计与行程问题，强调从图象获取信息；二次函数应用（技法05-07）侧重最值问题与实物建模，强调顶点坐标的实际意义；反比例函数应用（技法08-09）常与其他学科或函数综合，强调积为定值的模型特征。命题趋势上，注重真实情境创设，考查学生将实际问题转化为函数模型并解释结果的能力。能力清单数学建模能力：从实际问题中抽象出函数关系，建立数学模型。运算求解能力：准确求函数解析式，解方程（组）与不等式（组），计算最值。数形结合能力：从函数图象中读取信息，利用图象分析问题。逻辑推理能力：分析自变量取值范围，分类讨论不同方案，检验解的合理性。跨学科综合能力：将物理、化学等学科知识与函数模型结合。实际意义解释能力：将数学结果还原为实际问题的答案，判断解的合理性。技●法●清●单技法01解决营销问题知识必备一次函数、二次函数的解析式与性质、一元一次不等式（组）、利润公式、最值问题、自变量取值范围的确定。答题技法牢记利润问题核心公式：总利润＝(售价－进价)×销售量。先根据“每涨价x元，销量减少y件”等条件确定销售量与售价的函数关系，再代入利润公式得到二次函数，最后在自变量取值范围内利用顶点坐标求最值（注意顶点是否在范围内）。母题精讲【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱．③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示：售价（元/瓶）

④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2．(1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式．(2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由．(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润．【答案】(1)；(2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大(3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题；（1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解；（2）根据，根据二次函数的性质，即可求解；（3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解．【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱∴，，根据信息③可得与售价的乘积相等，设，代入得，，∴，，（2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下，依题意，，∴∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大；（3）解：依题意，当该矿泉水需求量与供给量相等时，解得：（舍去）当时，，，解得：，总利润为（元）答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元【典例02】（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？【答案】(1)(2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键．（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可；（2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可．【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是，把代入得，，解得，当时，与之间的函数关系式是；当时，设与之间的函数关系式是，则，解得，当时，与之间的函数关系式是．；（2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，，解得，，，随的增大而减小．当时，W最小，最小值为（元），种非遗文创用品：（件）．答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元【典例03】（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数．(1)基础知识考察：在反比例函数，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．(2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事．北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表：降雪量(毫米）销售单价（元）474544日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为．请你根据以上材料，回答以下问题：①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式．②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？【答案】(1)；或；(2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键．（1）根据反比例函数的性质即可解答；（2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解；②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解；③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可．【详解】（1）解：反比例函数，，函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小，当时，，当时，y的取值范围是；当时，，当时，x的取值范围是或；故答案为：；或；（2）解：①设将，代入，得，解得，∴；②设销售利润为，则依题意得，，∵，∴在时，随着的增大而减小，∴当时，取得最大值，最大值为元，答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元．③∵降雪量为毫米，∴原售价为44元，∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋，∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋；设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，，解得，答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元．变式应用【变式01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某公司销售一种新型节能产品，现准备从线上和线下两种销售方案中选择一种进行销售．若只在线上销售，每件售价y（元）与月销量x（件）之间的函数表达式为，每件成本为20元，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为（元）（利润＝销售额成本广告费）．若只在线下销售，每件售价为150元，受各种不确定因素影响，每件成本为a元（a为常数，且），当月销量为x件时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为（元）（利润＝销售额成本附加费）．(1)当件时，_____；_____；(2)分别求出、与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围）；(3)当x为何值时，的值最大？若的最大值与的最大值相同，求a的值；(4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策：选择在线上销售还是在线下销售才能使所获月利润较大？【答案】(1)140元，57500元(2)，(3)当时，取得最大值，(4)见解析【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键．（1）将代入得，将代入解析式，即可求解；（2）根据题中给出的线上和线下销售的利润构成关系，分别列出函数表达式即可；（3）根据二次函数的最值求法求解即可；（4）当时，（元），故当时，，然后进行比较即可．【详解】（1）解：将代入，得（元），，故，当时，（元）．（2）解：根据题意，得，，其中．（3）解：根据题意，得，故当时，取得最大值，且为360000元，由，得其最大值为又的最大值与的最大值相同，故，整理得，故或，解得或，又，则舍去，故．（4）解：根据题意，得，故当时，（元），故当时，，当时，则，解得，当时，则，解得，当时，则，解得，又，故当时，在线下和线上销售都一样；当时，选择线下销售获利更多；当时，选择线上销售获利更多．【变式02】（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人．材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆．材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折．材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆．任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?任务二：求m的取值范围；任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少?【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人任务二：m的取值范围是，且m为整数任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键．任务一：设A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答；任务二：根据租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，列不等式求解，结合租车公司最多提供6辆A型客车，即可解答；任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可．【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y．根据题意得解得答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，则即解得因为租车公司最多提供6辆A型客车，所以m的取值范围是，且m为整数；任务三：根据题意得即函数图像开口向下，关于对称，因为所以当时取最小值答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元．【变式03】（2024·湖北·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？【素材1】某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．【素材2】据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低x元，平均每天就可以多售出件．【素材3】该公司在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件．问题解决：【任务1】确定函数模型：求网上每天销售该商品的毛利润y（单位：元）关于x的函数关系式；求该公司每天销售该商品的总毛利润W（单位：元）关于x的函数关系式．（总毛利润网上毛利润实体店毛利润）【任务2】探究函数最值：当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？最大总毛利润是多少？【任务3】拟定价格方案：经综合分析，该公司认为总毛利润在元时，是每天销售这种商品的最佳方案．请求出该商品在网上销售的价格，并指出相应的总毛利润．【答案】任务1：①；②；任务2：当该小商品的网上销售价是每件元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是元；任务3：当符合均可，例如网上销售价为元，总毛利润为元【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键．任务1：①根据毛利润单件利润销售量，计算即可得解；②根据总毛利润网上毛利润实体店毛利润，计算即可得解；任务2：根据二次函数的性质求解即可；任务3：由题意可得：，求出，由此即可得解．【详解】任务1：解：①由题意可得：；②由题意可得：；任务2：，∵，∴当时，最大为元，∴（元），故当该小商品的网上销售价是每件元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是元；任务3：由题意可得：，∴，∴当符合均可，例如网上销售价为元，总毛利润为元．技法02函数方案问题知识必备一次函数解析式与性质、一元一次不等式（组）、整数解的实际意义、方案设计、最优化选择。答题技法第一步设未知数并表示相关量；第二步根据“总费用不超过…”等限制条件列出不等式组，求出整数解得到方案数；第三步列出总利润（或总费用）与变量的函数关系式；第四步利用一次函数的增减性确定最大值（或最小值）对应的方案。母题精讲【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元．(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？(2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元(2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元．【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出方程组、不等式是解题的关键．（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设购买A型放大镜a个，再根据题意列出不等式求得a的最小值，然后再根据题意列出购买费用w与a的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得，解得：，答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元．（2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个，根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为，所以购买费用为：，∵，∴w随a的增大而增大，∴当时，最少费用2712元．∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元．【典例02】（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，试销情况如下：第1天第2天第3天第4天第5天售价（元/千克）181512109销售量（千克）50607590100(1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）;(2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？【答案】(1)(2)新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键．（1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可．【详解】（1）与之间满足反比例函数关系，设解析式为．把代入，得．关于的函数表达式为．（2）试销6天共销售苹果千克苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克，销售10天后，还剩下苹果（千克）．由，得．把代入中得，，随的增大而减小，当时，，新的售价最高可以定为6元/千克，答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完．【典例03】（25-26九年级上·河北·期末）为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数（人）与检票时间（分钟）、开放检票通道数量（个）之间的关系，有以下发现：发现：候车总人数（人）；发现：已检票人数（人）；发现：排队人数（人）候车总人数已检票人数．（其中，且为整数）请你结合调配团队的发现，完成下面问题：(1)当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为；(2)在（）的条件下，排队人数（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？(3)若要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？【答案】(1)；(2)排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是；(3)至少应打开条检票通道．【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．（）根据题意即可求解；（）由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为，然后通过二次函数的性质即可求解；（）根据题意可得，，因为要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，所以当，即，然后解不等式即可．【详解】（1）解：当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：，故答案为：；（2）解：由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：，∴，∵，∴当时，排队人数达到最大值，最大值是，∴排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是；（3）解：根据题意可得，，∵要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，∴当，即，整理得：，解得：，∵为正整数，∴，∴至少应打开条检票通道．变式应用【变式01】（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠．活动一：所购商品均按原价八折出售；活动二：所购商品按原价每满200元减50元．(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元．(2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱．【答案】(1)256，270(2)活动一：；活动二：当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱．【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键．（1）根据活动一的八折规则和活动二每满200减50的规则，分别计算购买原价320元商品的实付金额．（2）先分别写出两种活动实付金额与原价x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种活动更省钱．【详解】（1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元），，则选择活动二时需付（元），故答案为：256，270；（2）当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为，活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为，当时，得，解得500，当时，得，解得500，当时，得，解得500，∴当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱．【变式02】（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系．(1)求与的函数关系式；(2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？(3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字）【答案】(1)(2)用桶装纯净水花钱少(3)元，感想见解析【分析】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力．（1）设，根据题意得出，的值即可求出与的函数关系式．（2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得．（3）设该班每年购买纯净水的费用为元，解出二次函数求出的最大值可求解．【详解】（1）解：设，时，；时，．解之，得与的函数关系式为．（2）解：该班学生买饮料每年总费用为元，当时，，得．该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为元．显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．（3）解：设该班每年购买纯净水的费用为元，则，当时，，要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则，即，解之，得元．所以至少为元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．【变式03】（2025·广东深圳·三模）随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：信息1A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆信息2B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为，但受限于B区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过信息3每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入问题1在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元），并写出x的取值范围问题2在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值．问题3公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案：方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元．方案二：一次性给予运维团队800元奖励．请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？【答案】问题1：；问题2：；W的最大值为208；问题3：当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同【分析】本题主要考查了不等式的应用，求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数解析式．问题1：根据信息一写出y关于x的函数解析式即可；问题2：根据日租借率最高不超过，求出，列出函数解析式，然后根据二次函数性质进行求解即可；问题3：分别求出当时，，当时，，当时，，然后进行回答即可．【详解】解：问题1：调配这些滑板车的总成本为：；问题2：∵日租借率最高不超过，∴，解得：，，抛物线的对称轴为直线，∴当时，W随x的增大而增大，∴公司日租借收入W的最大值为：；问题3：当时，，当时，，调配数量不能超过20辆，∴这种情况不存在；当时，，∴当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同．技法03一次函数行程问题知识必备一次函数图象与性质、待定系数法、行程问题中的路程＝速度×时间、相遇与追及问题、分段函数。答题技法遵循“识图→析图→用图”三步。先明确横纵轴意义（如距离与时间），注意图象的起点、终点、拐点含义；再根据图象上的点用待定系数法求解析式；最后将行程问题中的等量关系（相遇：路程和＝总距离；追及：路程差＝初始距离）转化为方程求解。母题精讲【典例01】（2025·黑龙江·模拟预测）甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程与时间的函数图象．(1)分别写出甲、乙的行驶路程与时间的函数表达式；(2)求途中甲乙相遇时的时间；(3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为，图2是关于的函数图象，则______，______．【答案】(1)甲的行驶路程与时间的函数表达式为：；乙的行驶路程与时间的函数表达式为(2)分(3)1850，【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的实际应用，根据图象得出未知的条件是解题的关键．（1）根据图1得出甲行驶的时间和路程，计算出甲行驶的速度，即可得到甲的行驶路程与时间的函数表达式，再分别求得乙行驶两段的时间和路程，计算两段路程的速度，即可得到乙的行驶路程与时间的函数表达式；（2）根据图1得出当甲、乙行驶的路程一样的时候是甲乙两人相遇的时候，即与相交时，求得交点的坐标即为甲乙相遇时的时间；（3）先根据图2得出a，b两点表示的意义，再结合图1对应的最远距离和相遇时间求解即可．【详解】（1）解：由题意，∵乙比甲晚4分钟到校，再结合乙所用时间24分钟，∴甲所用时间为20分钟，∴甲的速度（米／分），∴甲的行驶路程与时间的函数表达式为：，由图1知，乙的行程分成、两段，当时，乙的速度（米／分），∴此时表达式为，当时，乙的速度（米／分），∴此时可设表达式为：，将点代入表达式，即，∴乙的行驶路程与时间的函数表达式为，故：甲的行驶路程与时间的函数表达式为：，乙的行驶路程与时间的函数表达式为；（2）解：由题意，设甲行驶了分钟后与乙相遇，∴，∴（分）；（3）解：根据图2得，5分钟时两人相距最大，当时，两人相遇，∴当时，根据乙的行程减去甲的行程可以得；∵当甲到达图1中时，两人相遇，∴，故答案为：1850，．变式应用【变式01】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填空：①图中_______，_______；②甲出发离A地的距离是______；③乙骑行的速度为______．(2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围；(3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可）【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2；(2)；(3)或．【分析】（1）①根据题意可直接得到a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出甲骑行的路程，即b的值；②根据“路程＝速度×时间”计算即可；③根据“路程＝速度×时间”计算即可；（2）分段用待定系数法求出函数解析式即可；（3）根据题意，作出乙离A地的距离与时间的图象，根据甲、乙之间的距离列绝对值方程并求解即可．【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地，；∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为，∴．故答案为：40，5．②甲骑行的速度为，甲出发离A地的距离是，故答案为：7.5；③乙骑行的速度为，故答案为：0.2；（2）解：当时，设函数解析式为，将代入得：，求得，当时，函数解析式为；当时，函数解析式为；当时，设函数解析式为，将代入得：，解得，当时，综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为；（3）解：设乙的解析式为，把代入，得，解得，∴，乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为．根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示：当时，，解得（舍去）；当时，，解得（舍去）或；当时，，解得或（舍去）；当时，，解得（舍去）或（舍去）；综上，或70．∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或．【变式02】（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：(1)点的坐标是______；(2)请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；(3)直接写出为何值时，两人相距米．【答案】(1)(2)，图象见解答(3)分钟或分钟或分钟【分析】（1）分别求出小明和妈妈的速度，再求出妈妈到家所用时间和在家停留的时间，从而求出点的横坐标，求出此时小明离开家的距离，即的纵坐标，进而得到的坐标即可；（2）根据路程速度时间写出与的函数关系式，写出与的函数关系式并画出其图象即可；（3）根据的取值范围，当两人相距米时分别列关于的方程并求解即可．本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．【详解】（1）解：小明的速度为米分钟，则妈妈的速度为米分钟，妈妈到家所用时间为分钟，妈妈在家停留的时间为分钟，分钟，点的坐标为，米，点的纵坐标为．点的横坐标是．故答案为：．（2）解：，米与时间分钟的函数关系式及自变量的取值范围为．当时，，当时，，当时，，与的函数关系式为，在图中画出妈妈和商店的距离米与时间分钟的函数关系的图象如图所示：（3）解：当时，两人相距米时，得，解得或，当时，两人相距米时，得，解得舍去或舍去，当时，两人相距米时，得，解得．答：为分钟或分钟或分钟时，两人相距米．【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中路程、速度、时间的关系，以及分段函数的构建与求解．熟练掌握路程公式（路程=速度×时间）、分段分析运动过程、准确构建函数关系式是解题的关键．技法04一次函数其他应用问题知识必备一次函数解析式、分段函数、待定系数法、方程（组）与不等式（组）、方案比较。答题技法对于分段函数，关键找准分界点对应的函数值。方案比较问题，先列出两种方案的函数解析式，再通过解方程求临界值，最后结合图象或不等式确定不同范围内的最优选择。母题精讲【典例01】（2026·陕西·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到下表：供水时间x（小时）箭尺读数y（厘米）(1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数关系式；(2)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米）【答案】(1)(2)下午点【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键．（）用待定系数法求解即可；（）把代入（）中所求解析式，求出x值即可求解．【详解】（1）解：设与之间的函数关系式，由，得，解得，∴．（2）解：当时，，∴，则，∴下午点．变式应用【变式01】（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度(千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．(1)求y关于x的函数关系式；(2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时．①求该时刻高架路上每百米车的数量；②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？【答案】(1)(2)①该时刻高架路上每百米车的数量为15辆，②最晚10分钟需启动限流措施．【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．（1）设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式求解即可；（2）①令，列方程求解即可；②令，求出，再计算即可．【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式，得，解得，关于x的函数解析式为；（2）解：①当时，得，解得，答：该时刻高架路上每百米车的数量为15辆；②当时，得，解得，（分钟），答：最晚10分钟需启动限流措施．【变式02】（25-26八年级上·山东济南·期中）函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，号水杯为厚底圆柱形，号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图描述的是号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离的函数图象；(1)求与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）(2)号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系如下表所示．在图中，画出与之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）(3)求出当为多少时，号杯和号杯中水的体积相差？【答案】(1)与之间的函数表达式为(2)作图见解析，与之间的函数表达式为(3)当为或时，号杯和号杯中水的体积相差【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、函数图像绘制以及一元一次方程的应用，掌握一次函数的性质与方程分类讨论思想是解题的关键．（1）通过观察函数图像确定一次函数的两组对应值，利用待定系数法求出与的函数表达式；（2）根据表格数据判断与的函数类型，代入数据求出表达式并绘制图像；（3）分“”和“”两种情况，列方程求解满足体积差为时的值．【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且），将和分别代入，得，得，解得：，把代入①得，解得：，二元一次方程组的解为，与h之间的函数表达式为；（2）解：描点并连线如图所示：与之间的函数表达式为；（3）解：根据题意：，①当时，，，②当时，，，，答：当为或时，号杯和号杯中水的体积相差．技法05二次函数图形问题知识必备几何图形周长、面积公式、二次函数的解析式与最值、自变量取值范围的确定、数形结合思想。答题技法先用变量表示相关边长（注意利用围墙等条件简化表达式），再列出面积与变量的二次函数关系式，化为顶点式，结合自变量取值范围（通常由几何边长非负确定）求最值。母题精讲【典例01】（2024·湖北·模拟预测）问题探究：（1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________；（2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大．问题解决：（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？【答案】（1）（2）（3）绿化改造所需费用至少为【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键．（1）由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案；（2）由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题；（3）由二次函数的性质求出矩形面积的最大值即可解决问题；【详解】解：（1）∵，∴，∵∴，∴和的相似比是，∴与的高之比等于相似比是．故答案为：．（2）作于N，交于M，∵，∴，∴，∵的面积，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴矩形的面积，∴当时，矩形的面积最大；（3）延长交于E，作于F，交于点G，则∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴四边形的面积当矩形的面积最大时，费用最小，设，则，∵，∴，∴，即，∴，矩形的面积，∴当时，矩形的面积最大，最大值为，则花卉的面积最小值为，所以，绿化改造所需费用至少为元变式应用【变式01】（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下：第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹；第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．(1)求花坛所在抛物线的函数表达式；(2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长．【答案】(1)(2)的长为4米，的长为2米【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解；（2）在中，，则得到，根据题意，得，得到，即可求解．【详解】（1）解：如图②，所在直线是的垂直平分线，且，，点的坐标为，，点的坐标为，点是抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，点在抛物线上，解得：抛物线的函数表达式为；（2）解：点在抛物线上，设点的坐标为，，交轴于点，，，在中，，，.，根据题意，得，，解得：(不符合题意，舍去)，，答：的长为4米，的长为2米．【变式02】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为．(1)关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________；(2)求菜园面积的最大值，并求此时的长；(3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围．【答案】(1)，(2)菜园面积的最大值为，此时的长为(3)【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．（1）设，则，根据可得解析式，根据可得的取值范围；（2）将（1）中解析式化为顶点式，结合的取值范围求最值；（3）设，则，用含a的式子表示出矩形和矩形的面积，再根据，“乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍”，列出关于a的不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：由题意知，，且，解得，，故答案为：，；（2）解：，对称轴为直线，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，，当时，取最大值，最大值为：，此时，即菜园面积的最大值为，此时的长为；（3）解：设，则，矩形的面积为，矩形的面积为，，，由题意得：，即，化简得，解得，乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍，，解得，的取值范围为．技法06二次函数实物建模问题知识必备二次函数的图象与性质、待定系数法、点的坐标、实际问题的数学建模。答题技法根据题意合理建立平面直角坐标系（常以顶点为原点或对称轴为y轴），设出合适的解析式形式（顶点式或一般式），代入已知点坐标求待定系数。注意检查实际意义（如高度为正、宽度为正）。母题精讲【典例01】（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑．某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．【建立模型】（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；【初步应用】（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；【拓展应用】（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3）【分析】（1）根据坐标系特点，图2中设解析式为，图3中设函数表达式为，确定顶点坐标，待定系数法解答即可，（2）根据函数的解析式，计算时的函数值即可；（3）设抛物线的解析式为，则其顶点为，则，．把，代入，得；把，代入，得，解答即可．本题考查了待定系数法，抛物线的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，把代入，得：，解得．∴抛物线的函数表达式为．选图3，则，，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把，得：，解得．∴抛物线的函数表达式为．（2）解：选择图2，抛物线为．因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．从左到右第3根吊杆对应的x值为．把代入，得所以从左到右第3根吊杆的长度是．选择图3，抛物线为．因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．从左到右第3根吊杆对应的x值为．把代入，得所以从左到右第3根吊杆的长度是．（3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为，的顶点在正方形内，，，，，则，．，∴当和时，，把代入，得：，，把代入，得：，，当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．把，代入，得；把，代入，得，∴抛物线二次项系数的取值范围为．解法2如果以点B为原点建立坐标系，则，设抛物线的解析式为，则其顶点为，的顶点在正方形内，，，，则，．，∴当和时，，把代入，得，，把代入，得，，当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．把，代入，得；把，代入，得；∴抛物线二次项系数的取值范围为．变式应用【变式01】（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与探究【问题情境】甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间近似满足函数关系．【问题解决】比赛中，甲同学连续进行了两次发球．（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表：水平距离x/m0123456竖直高度y/m12.7544.755n4根据以上数据，回答下列问题：①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________；②在水平距离5处放置一个高1.55的球网，羽毛球________（填“能”或“不能”）过网；【综合应用】（2）根据表格数据，求出二次函数的解析式；（3）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，请比较，的大小关系，并说明理由．【答案】（1）①；②能（2）（3），理由见解析【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式．（1）①利用二次函数的对称性求出其对称轴，即可解题；②根据图象和二次函数性质推出，再结合题干条件分析，即可解题；（2）由（1）得到的顶点，再选择表格中的一组数据代入解析式求解，即可解题；（3）当时，分别代入（2）、（3）中的解析式中求出和，再进行比较，即可解题．【详解】解：（1）①由表格可知，当和时，，二次函数对称轴为直线，当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是，故答案为：；②当时，，当时，，当时，，，羽毛球能过网；故答案为：能；（2）解：当时，，，，过点，，解得，二次函数的解析式为；（3）解：当时，有，解得，乙同学在函数对称轴右侧，；当时，有，解得，乙同学在函数对称轴右侧，；，．【变式02】（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务：【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究．【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型．【项目任务】如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题：任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象；任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值；任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围．【答案】任务一：时间为，图象见解析；任务二：；任务三：水流速度的取值范围为．【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（1）根据二次函数的性质即可求解，再作图即可．（2）把代入二次函数解析式中，可得，进一步即可求解．（3）根据最大高度为时或者最大高度，分别求出水流速度即可求解．【详解】解：任务一：当时，，令，解得（舍去），，∴水流从喷出到落地需要的时间为．画出函数图象如图所示；任务二：令，则，即v随t的增大而增大，∴当时，；任务三：∵，∵，当最大高度为米时，有，解得（不合题意，舍去）或；当最大高度为米时，有，解得：（不合题意，舍去）或；故水流速度的取值范围为．技法07二次函数的其它应用问题知识必备二次函数的图象与性质、一元二次方程与不等式、实际问题建模、数形结合思想。答题技法审题时抽象出变量间的等量关系，建立二次函数模型。若涉及“利润不低于某值”等问题，需解一元二次不等式或利用函数图象求解。注意检查解的合理性。母题精讲【典例01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）．【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：刹车后行驶的时间0124刹车后行驶的距离s0274872发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：(1)求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围；(2)当汽车刹车后行驶了时，求的值；(3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由．【答案】(1)(2)当汽车刹车后行驶了时，(3)该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由见解析【分析】本题主要考查二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．（1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可；（2）求出时，t的值即可得到答案；（3）利用二次函数的性质求出s的最大值即可得到结论．【详解】（1）解：设，则，解得，∴．（2）解：由题意可得，，解得，∵，∴，∴．答：当汽车刹车后行驶了时，．（3）解：该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由如下：∵，，∴当时，有最大值，最大值为，∵，∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车．变式应用【变式01】阅读下列材料：实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低．小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）．下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（）的变化情况．饮酒后的时间x（小时）…123456…血液中酒精含量y（毫克/百毫升）下面是小带的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；(2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式；(3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)当时，；当时，(3)不能，见解析【分析】本题主要考查二次函数与反比例函数的应用，解题的关键是掌握函数图象的画法及待定系数法求函数解析式的能力．（1）将坐标系中的点按照自左向右的顺序用平滑的曲线顺次连接即可得；（2）由图象知左侧符合二次函数关系、右侧符合反比例函数关系，利用待定系数法求解可得；（3）求出反比例函数中时x的值，据此可判断．【详解】（1）解：图象如图所示，（2）解：根据题意得：当时，y与x成二次函数关系；当时，y与x成反比例函数关系，当时，此时二次函数的图象的对称轴为直线，∴二次函数的图象的顶点坐标为，设y与x的函数关系式为，把点代入得：，解得：，此时的函数解析式为；当时，设y与x的函数关系式为，将点代入，得：，∴此时的函数解析式为；（3）解：不能．理由如下：把代入反比例函数得．∵晚上经过小时为第二天早上，∴第二天早上以后才可以驾车上路，∴第二天早上不能驾车去上班．【变式02】（2025九年级下·广东佛山·学业考试）综合与实践【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化．【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数x12345…杯子的总数y1361015…然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．【解决问题】(1)直接写出y与x的关系式；(2)现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；(3)杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．【答案】(1)(2)第一层杯子的个数为7个(3)杯子最多能叠放9层和此时杯子的总数为45个；杯子叠放达到的最大高度是【分析】（1）将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式；（2）将代入（1）中的解析，即可求解；（3）根据弧长公式先求得，根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子9个，进而求得总数，根据得出，勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质得出的长，进而即可求解．【详解】（1）解：依题意，；（2）解：当时，，解得：（舍去），答：第一层杯子的个数为7个；（3）解：∵，解得：；∵第一层摆放杯子的总长度不超过，设第一层杯子的个数为个，则，解得：取最大值为9，即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9，∴杯子的总数为（个），在图4中，，∵，，，在中，，，，∴最大高度为：．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．技法08与反比例函数有关的跨学科问题知识必备反比例函数的图象与性质、跨学科公式（物理、化学）、待定系数法、实际意义检验。答题技法理解跨学科背景中的公式（如压强P＝F/S、欧姆定律I＝U/R），将其转化为反比例函数关系。根据已知条件代入求k值，再解决相关问题。注意单位统一。母题精讲【典例01】（2025·宁夏·模拟预测）【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体．(1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N．(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为，的长度为．则：①关于的函数解析式是____________．②完成下表：…1020304050……8a

2b…_______；______．③在图的直角坐标系中画出该函数的图象．【答案】(1)(2)①；②，；③见解析【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键．()根据公式进行计算即可；()①根据公式即可得到；②根据①所求求出的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可；【详解】（1）解：∵，∴，∴重物所受拉力为，故答案为：．（2）解：①∵，∴，即，故答案：，②由①得：当时，；当时，，答案：，．③函数图象如图所示：变式应用【变式01】（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题．(1)该容器内氧气的质量为______．(2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式．(3)若该容器的体积为，求氧气的密度．【答案】(1)8(2)(3)氧气的密度为【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．（1）根据代入，可求m；（2）运用待定系数法求解即可；（3）把代入（2）中解析式可求结果．【详解】（1）解：，故答案为：8；（2）根据题意，设所求的函数解析式为，由图可知，该函数过点，．所求函数的解析式为．（3）该容器的体积V为，．答：氧气的密度为．【变式02】（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．表一：地面所受压强与接触面积之间的关系地面所受压强…………接触面积…………表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系地面材质玻璃木地板大理石能承受的最大压强（）(1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；(2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细．（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值．（2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积．【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．将代入，得，地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．（2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，，答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米．【变式03】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为．(1)当放置物体质量为时，求总电阻的值；(2)求关于总电阻的函数表达式；(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式．（1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值；（2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可；（3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解．【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式，设，将，代入解析式，得：，解得，，当时，，此时，即总电阻的值为；（2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为，由（1）知时，，，关于总电阻的函数表达式为；（3）解：，，随的增大而减小，，当时，取最小值，最小值为：，此时取最小值，最小值为：，，随x的增大而减小，取最小值2时，x取最大值，令，解得，即该电子秤所称物品质量的最大值为．技法09反比例函数与其它函数的实际应用知识必备反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、方程组求交点、实际问题的数学建模。答题技法先根据题意判断是反比例关系（积为定值）还是一次关系（差为定值）。用待定系数法分别求出解析式，联立方程组求交点坐标，理解交点在实际问题中的含义（如两人完成任务时间相等时）。母题精讲【典例01】（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比.(1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值；(2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？【答案】(1)，(2)有效制冷时间是9分钟【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键．（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可；（2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解．【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为，由图象可知，点在函数图象上，，解得，，当时的反比例函数关系式为．当时，，解得，；（2）解：当时，，解得：，设当时的一次函数关系式为，由图象可知，点，点在函数图象上，则，解得：当时的一次函数关系式为，当时，，解得，，（分钟）．答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟．变式应用【变式01】（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表：跳绳持续时间（单位：秒）0306090140…平均相对心率（%）4060707682…(1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由．(2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式．(3)该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的；减脂运动合适的心率范围是最大心率的；有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的；无氧耐力运动