2026年广东中考数学二轮复习 热点04 尺规作图与几何证明(热点专练)(广东专用)

Page热点04尺规作图与几何证明热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01尺规作图作角与几何证明题型02尺规作图作角平分线与几何证明题型03尺规作图作垂线与几何证明题型04尺规作图画圆与几何证明第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：根据近几年广州中考试题，“尺规作图与几何证明”部分的考试方向是突出操作性与推理性的统一。试题严格依据课标，高度关注基本作图与几何证明的融合考查，要求“依图证理”——先作出图形，再基于作图痕迹进行推理证明。在题型上，该板块通常出现在解答题的中档位置（近年多在第22-23题），分值占比较高。近四年考题覆盖了角平分线、垂直平分线、对称点、旋转作图等核心类型，且每年设问均为“作图+证明”的双重要求，如2024年考查作中线并证明矩形，2023年考查旋转作图与三角形相似。试题不仅检验尺规操作的规范性，更深入考查等腰三角形、菱形、相似等核心几何性质的综合运用。预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在旋转变换或复杂图形中考查作图能力与逻辑推理。试题可能进一步创新情境，例如将尺规作图与圆的切线判定或最值问题相结合。考试题型预计保持稳定：第22-23题位置仍会设置“作图+证明”的组合题，作图类型可能涉及旋转作图或综合型作图（如作三角形的外接圆），后续证明则紧密围绕特殊四边形的判定、三角形全等与相似展开，重在检验学生“操作直观—演绎推理”的完整思维链条。题型01尺规作图作角与几何证明解｜题｜策｜略1.掌握基本作图方法：作一个角等于已知角的关键是运用“三弧法”，以原角顶点画弧，再以相同半径在新射线上画弧，最后以特定半径画弧确定另一边。2.保留清晰作图痕迹：所有弧线必须保留，这是判断作图正确与否的重要依据，切勿擦除。3.结合几何推理证明：完成作图后需证明所作角与已知角相等，依据是全等三角形的对应角相等（SSS）。广东卷常将此与平行线、相似三角形等知识综合考查。例1（2025·广东中山·三模）如图，在中，．(1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)若（1）中的射线交于D，，，求长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．（1）根据尺规作图的方法，以为一边，在的内部作即可；（2）由题意求出，得，代入边长即可求出，进一步求解即可．【详解】（1）解：如图，射线即为所作；（2）解：∵，，∴，∴，即，解得，∴．例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，请在下方尺规作图：过点作，且，连接．(1)按照题目的要求补全图形．(2)判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)见详解(2)四边形是菱形，理由见详解【分析】本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）在点处作，则得，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于一点，即点，然后连接，即可作答．（2）先证明四边形是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形，∵矩形的对角线，相交于点，∴∴四边形是菱形，【变式1】（2025·广东惠州·二模）如图，是的外接圆，直径．(1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图中，求证：是的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）以及切线的判定．解题关键在于掌握尺规作图的基本方法完成（1）小题；对于（2）小题，要熟练运用圆的性质（同弧所对圆心角与圆周角的关系、半径相等得出角相等），通过计算角度来证明直线与半径垂直，从而判定切线．（1）题要求用尺规作图作出．需要利用尺规作图的基本方法，比如作一个角等于已知角的方法来完成．具体操作是先以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，然后以点为圆心，同样长为半径画弧，再通过一定的操作确定．（2）要证明是的切线，根据切线的判定定理，需证明．连接后，通过圆的性质求出相关角度，进而证明．已知，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得，又根据，在中通过角度计算得出．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）证明：连接：∵（同圆半径相等），∴．∴．∵，，，∴，即．∵是的半径，∴是的切线．【变式2】（2025·广东东莞·二模）如图，菱形的对角线，相交于点O．(1)尺规作图：在边的左侧，作，使．(2)在（1）的条件下，连接．求证：四边形为矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的性质，矩形的判定等知识，掌握菱形的性质，正确作出图形，是解答本题的关键．（1）作一个角等于已知角，再取，即可；（2）根据菱形的性质有：，，，再证明，问题即可证明．【详解】（1）如图，即为所求．（2）证明：∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是矩形．题型02尺规作图作角平分线与几何证明解｜题｜策｜略1.掌握基本作图步骤：以顶点为圆心画弧交两边，再分别以两交点为圆心画弧相交于一点，连接顶点与该点即得角平分线。作图痕迹必须清晰保留。2.牢记证明依据：证明所作射线为角平分线时，依据是三角形全等（SSS），对应角相等。3.结合几何性质应用：完成作图后，常结合平行线、等腰三角形或圆的性质进行角度计算或位置关系的推理证明。例1（2025·广东珠海·三模）如图，在中，(1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹(2)在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值．【答案】(1)见解析(2)【分析】作平分，作线段的垂直平分线交于点D，点D即为所求；过点E作于点M，于点证明，利用三角形的面积公式求解．本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．【详解】（1）解：如图，则点D即为所求．（2）解:过点E作于点M，于点平分，，．例2（2025·广东·二模）如图，点C在以为直径的上．(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，圆周角定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据题意，作的平分线交于点D，即可作答．（2）根据直径所对的圆周角是直角，再结合角平分线的定义，得出，因为等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可作答．【详解】（1）解：的平分线交于点D，如图所示：（2）解：依题意，连接，∵点C在以为直径的上，∴，∵的平分线交于点D，∴，∵，∴，即．【变式1】（2025·广东佛山·二模）如图，四边形是平行四边形．(1)尺规作图：作线段，且点在边上，作的平分线交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接．证明：四边形是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据角平分线的作图方法作出图形即可；（2）先证明，再证明四边形是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立．【详解】（1）解：如图，、为所求作；（2）证明：四边形是平行四边形，，，平分，，，，，且，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形．【变式2】（2025·广东汕尾·二模）如图，点E是矩形的边上的一点，且，．(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，则______．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；（2）求出，，证明，则，设，由得到方程，解方程即可．【详解】（1）如图，即为所求，（2）连接∵点E是矩形的边上的一点，∴，，∴，∴∵平分，∴∵，∴，∴，设则∵∴，解得，即故答案为：题型03尺规作图作垂线与几何证明解｜题｜策｜略1.掌握两种基本作法：过直线外一点作垂线，运用“三点法”以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的中垂线；过直线上一点作垂线，则需先以点为圆心画弧确定两点，再分别以这两点为圆心画弧相交。2.保留清晰作图痕迹：所有画弧的交点必须清晰可见，这是评分的重要依据，切勿擦除。3.结合几何推理证明：完成作图后常需证明垂直关系，依据是中垂线的性质或等腰三角形“三线合一”定理。广东卷常将此与矩形、菱形等图形综合考查。例1（2025·广东茂名·模拟预测）如图所示，在中，．(1)【实践与操作】用尺规作图法确定的中点．（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)【应用与证明】在（1）的条件下，以点D为圆心、的长为半径作．求证：点C在上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查线段垂直平分线的作法，直角三角形斜边中线的性质，（1）作线段的垂直平分线即可；（2）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半解答即可【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求．（2）证明：连接，点D为的中点，，为直角三角形的斜边上的中线，，为的半径，点C在上．例2（2025·广东江门·三模）如图，在中，(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若，且，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）根据线段的垂直平分线的尺规作图法作图即可；（2）连接，由等腰三角形的性质可得，进而可得．由线段垂直平分线的性质可得，进而可得，，根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”即可得解．本题考查了线段垂直平分线的尺规作图法，以及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】（1）解：如图，D点即为所求；（2）解：如图，连接，∵中，∴，∴，∵D点在的垂直平分线上，∴，∴，∴，∴．【变式1】（2025·广东惠州·三模）如图，在中，对角线与相交于点O．(1)用尺规作图法，以O点为圆心画圆，使与边相切；(2)在（1）的条件下，若与边相切，求证：四边形为菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】题目主要考查垂线的作法，角平分线的判定和性质，菱形的判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．（1）根据题意，过点O作AB的垂线，然后以垂线长度为半径画圆即可；（2）设与边相切于点P，与边相切于点N，连接，根据角平分线的判定和性质得出平分，，再由平行四边形的性质及等量代换确定，结合等角对等边及菱形的判定即可证明．【详解】（1）解：如图所示即为所求；（2）设与边相切于点P，与边相切于点N，连接，如图所示：∴，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形为菱形．【变式2】（2025·广东揭阳·三模）如图，在矩形中，点为边上一点，且(1)实践与操作：请用尺规作图法作于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作图——作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定，掌握相关知识点是解题关键．（1）根据垂线的作法画图即可；（2）利用“”证明全等即可．【详解】（1）解：如图，为所求作图形．（2）证明：在矩形中，，，，，，又，．题型04尺规作图画圆与几何证明解｜题｜策｜略1.掌握两类基本作图：三角形的外接圆（作任意两边垂直平分线找圆心）和内切圆（作两角平分线找圆心）。近五年广东卷常以填空题、解答题形式考查这两种画圆方法。2.保留清晰作图痕迹：所有弧线和交点必须保留，这是评分的重要依据。作图中要体现找圆心的过程（垂直平分线或角平分线的交点）。3.结合几何性质证明：完成作图后常需证明直线与圆相切或求半径。证明切线常用“连半径，证垂直”；求半径则需运用勾股定理、相似三角形或三角函数进行计算。例1（2025·广东佛山·三模）如图，在中，．(1)尺规作图：以点为圆心，为切线作；(2)与相切于点，与相交于点，连接，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定和性质．（1）过点A作于点D，以A为圆心，为半径作即可；（2）如图，过点A作于点H，证明即可．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）证明：如图，过点A作于点H，∵，，∴，∵是的切线，∴，∴，∵，∴．例2（2025·广东·模拟预测）如图，在中，．(1)实践与操作：用尺规作图法在下方求作，使得，且；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与证明：在（1）的条件下，是的中点，连接．求证：．【答案】(1)图见解析(2)详见解析【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键；（1）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交下方于一点，以该点为圆心，长为半径画圆，再以为圆心，长为半径画弧，与前述圆的交点即为点，连接，得到．（2）设，则，根据等腰直角三角形的性质得出，，即可得出，根据，即可证明．【详解】（1）解：如图所示，即为所求作．（作法不唯一）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交下方于一点，以该点为圆心，长为半径画圆，再以为圆心，长为半径画弧，与前述圆的交点即为点，连接，得到．（2）证明：如图，是的中点，．设，则，，，，，．，．【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在中，，点P是的中点．

(1)尺规作图：以线段为直径作，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接，求证：是的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，为半径作即可；（2）连接，，．证明即可．【详解】（1）解：如图所示，，为所求

（2）证明：如图，连接，，为直径，，点为斜边上的中线，，，，，，，是的切线．【变式2】（2025·广东珠海·一模）如题图，在中，是钝角．(1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接，若．求证：是的切线；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，切线的判定，圆周角定理及等腰三角形的性质，，掌握线段垂直平分线的性质及切线的判定是解题的关键．（）根据作线段垂直平分线的作法和画圆的作图即可；（）连接，由是直径，可得，根据等边对等角可得，再根据，推出，即，即可证明．【详解】（1）解：作出垂直平分线，作出，如图即为所求；（2）证明：连接，∵是直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是半径，∴是的切线．（20分钟限时练）一、单选题1．（2025·广东清远·一模）如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（

）A．平分 B．C． D．【答案】A【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．【详解】解：由作图可知平分，故选项A正确，则，在平行四边形中，，，∴，，故B不正确，则，∴，∴，则，故无法判断选项C，D是否正确．故选：A．二、填空题2．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为__________．【答案】/65度【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出的度数，再由平分即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，由题意知：平分，∴，故答案为：．3．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为________．【答案】16【分析】通过题干的尺规作图得出是的角平分线，直线是的垂直平分线，再通过证明，则，所以四边形是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答．【详解】解：∵，，，∴，如图：∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，∴是的角平分线，∴，∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，∴直线是的垂直平分线，∴，，，∴，∵，，∴，∴，即∴四边形是菱形，则中，，即，∴，∵，∴，∴，∴即菱形的周长是，故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．三、解答题4．（2025·广东·模拟预测）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，．求作：，使圆心在边的中线上，且与、边相切．【答案】图见解析【分析】本题考查尺规作图——垂直平分线、角平分线.先找到的中点D，连接即为边的中线，圆与、边相切，根据切线的性质：圆心到、距离相等，所以圆心还在的平分线上，即圆心为中线和角平分线的交点，最后找到圆心到边的距离，以此距离为半径画圆，即为所求.【详解】解：如图，先作线段的垂直平分线，交于点，连接，再作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，交于点E，以点E为圆心，以长为半径画弧分别交、于点G、F，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求．5．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，．(1)尺规作图：作的平分线交于点．(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）直接运用尺规作图作角平分线即可；（2）如图：过点D作于点E，由角平分线的性质可得，易得可得；再说明，根据等角对等边可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答．【详解】（1）解：如图即为所求．（2）解：如图：过点D作于点E，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∴．6．（2024·广东·模拟预测）如图，是等边三角形．(1)请用尺规作图法，作出的中点D，并在的延长线上找一点E，使得；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在（1）的条件下，连接，则．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，尺规作图线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识点．（1）先作出线段的垂直平分线与交点即为点，然后在的延长线上截取即可；（2）由等腰三角形得到，由等边三角形得到，再由三角形的外角性质即可求解．【详解】（1）解：如图，即为所求：（2）解：如图：∵，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，故答案为：．7．（2024·广东·模拟预测）已知如图所示．(1)用尺规作图法在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)在（1）的作图下，若，求的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查作图—基本作图，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）证明出，得到，然后代数求解即可．【详解】（1）如图所示，点即为所求．（2），，，，即，解得．8．（2025·广东深圳·二模）如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧．(1)尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹；(2)在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）延长交于F点，再作交于E点，然后延长交于D点，则满足条件；（2）过O点作于Q点，于P点，连接，根据垂径定理