2026年广东中考数学二轮复习 专题01 数与式综合运算(题型专练)(广东专用)

Page专题01数与式综合运算内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01实数的分类题型02相反数、绝对值、倒数的相关概念和计算题型03实数的混合运算题型04比较大小问题题型05科学记数法题型06整式的混合运算与化简求值问题题型07整式与几何面积的综合运算题型08规律探究问题题型09因式分解题型10分式有/无意义，值为0的条件题型11分式的混合运算与化简求值题型12二次根式的混合运算题型13非负性的应用第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01实数的分类典例引领【典例01】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（

）A． B． C．0 D．3【答案】A【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可．【详解】解：选项A：是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数．选项B：是整数，属于有理数，不符合无理数的条件．选项C：是整数，属于有理数，且非负数．选项D：是正整数，属于有理数，且非负数．综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件，故选A．【典例02】（2025·广东广州·二模）下列四个实数中，是无理数的为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．【详解】解：、是有理数，故此选项不符合题意；B、是有理数，故此选项不符合题意；C、是无理数，故此选项符合题意；D、是有理数，故此选项不符合题意；故选：．方法透视考向解读1.判断有理数与无理数，给出一组数，区分哪些有理、哪些无理，是中考最常考题型。2.辨别带根号的数是否为无理数，开得尽方是有理数，开不尽方才是无理数。3.区分有限小数、无限循环小数与无限不循环小数，前两类是有理数，最后一类是无理数。4.理解非负数、非正数、整数、自然数等概念，非负数含0和正数，非正数含0和负数；0是整数、自然数，不是正数也不是负数。5.易错点判断，π是无理数；3.14是有理数，不等于π。方法技能有理有限和循环，无理无限不循环；根号先算再判断，带π一律是无理；非负非正包含0，分类看清不丢分。变式演练【变式01】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可．【详解】解：，∵是无理数，故答案为：C．【变式02】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；B、是无理数，故此选项符合题意；C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；故选：B．【变式03】（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（）A． B．0 C．2 D．【答案】D【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案．【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数，故选：D．题型02相反数、绝对值、倒数的相关概念和计算典例引领【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）2025的相反数是（

）A． B． C．2025 D．【答案】A【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答．【详解】解：2025的相反数是，故选：A．【典例02】（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可．【详解】解：的绝对值是2，故选：D方法透视考向解读1.直接求一个数的相反数/绝对值/倒数，已知具体实数（有理数/无理数），求其相反数、绝对值或倒数。2.利用“互为相反数/倒数的性质”求值，知a、b互为相反数/倒数，求含a、b的代数式的值。3.绝对值的化简，绝对值内是含无理数的式子（如|1−2|）或字母代数式（如|4.结合“非负性”求值，几个非负数的和为0，求字母的值，常结合：|a|+b+方法技能相反数：变号就完事，0仍为0，多重负号数个数，偶正奇负记清楚；绝对值：先判正负，再去符号，结果必非负，无理数比大小靠近似；倒数：0无倒数，同号不变，小数带分先化整，无理数倒数要有理化；性质应用：相反数和为0，倒数积为1，非负和0各为0，整体代入省时间。变式演练【变式01】（2025·青海西宁·中考真题）相反数等于它本身的数是___________．【答案】【分析】本题考查了相反数，根据的相反数是，即可求解．【详解】解：相反数等于它本身的数是，故答案为：．【变式02】（2025·江苏无锡·中考真题）___________．【答案】【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，根据绝对值的含义可得答案．【详解】解：，故答案为：【变式03】（2025·山东东营·中考真题）的倒数是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．根据倒数的定义计算即可．【详解】解：∵，∴的倒数是．故选：A．题型03实数的混合运算典例引领【典例01】（2025·西藏·中考真题）计算：．【答案】1【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可．【详解】解：．【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：．【答案】4【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可．【详解】解：，，，．方法透视考向解读1.基础型混合运算：融合绝对值+开方+零指数幂+负整数指数幂四大基础模块，无三角函数，数字以整数、简单无理数（√4、√9、√16等能开得尽方的数）为主，计算量小，侧重运算顺序和公式记忆。2.三角函数融合型运算，在考向1的基础上，加入30°、45°、60°特殊角的三角函数值，是中考最主流的命题形式，数字会结合简单的无理数（如3、2），需注意三角函数值与无理数的乘法计算。3.立方根融合型运算，在考向1或考向2的基础上，加入立方根的计算，立方根以能开得尽方的数为主（如38、3−27、30），偶尔出现34.乘方拓展型运算，在基础融合模块中，加入有理数的乘方运算（如(−1)2025、(−2方法技能熟记“常考数值”，直接口答；“先化简，再计算”，减少步骤；同级运算“凑整计算”，简化加减。变式演练【变式01】（2025·四川广元·中考真题）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可．【详解】解：．【变式02】（2025·陕西·中考真题）计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答．【详解】解：．【变式03】（2025·广东深圳·中考真题）计算：．【答案】7【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可.【详解】原式.题型04比较大小问题典例引领【典例01】（2025·广东惠州·模拟预测）下列实数最大的是（）A． B． C．2025 D．【答案】C【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵，故选：．【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）下列各数中，绝对值最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值表示数到原点的距离，非负．是解题的关键计算各选项的绝对值并比较大小．【详解】A：，B：，C：，D：，比较得：．故选：D．方法透视考向解读1.纯有理数比较：考正负、倒数、乘方的大小判断，直接用“正数＞0＞负数，绝对值大的负数更小”；

2.有理数与无理数比较：高频考整数和2/3/5的比较，用“平方法”或熟记近似值（2≈1.414、3≈1.732、5≈方法技能1.纯有理数：正数＞0＞负数，负数比绝对值（绝对值大的更小）；

2.有理vs无理/两无理数：高频用平方法（被开方数大则根式大），或熟记2/3/5近似值快速判；

3.含符号/特殊运算：先化简（如去绝对值、算相反数），再归为上述类型比较。

核心原则：统一形式，化繁为简，优先用平方法/近似值，简单直接。变式演练【变式01】（2025·广东韶关·三模）小于的无理数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了实数大小比较，根据，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵是有理数，∴小于的无理数是故选：A．【变式02】（2025·广东广州·二模）下面各数中最小的是（）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正实数大于零，负实数小于零，两个负实数进行比较绝对值大的反而小即可得解，熟练掌握实数的大小比较方法是解此题的关键．【详解】解：∵，，且，∴，故最小的数为，故选：A．【变式03】（2025·广东江门·模拟预测）下列实数中，绝对值最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了实数的大小比较；计算各选项的绝对值，比较后找出最大值，即可求解．【详解】解：∵，，，，∵，∴绝对值最大的是．故选：A．题型05科学记数法典例引领【典例01】（2025·广东深圳·二模）中国的太空空间站离地球大约米，则近似数用科学记数法表示，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：，故选：．【典例02】（2025·广东揭阳·三模）华为某型号手机的芯片采用的是水平，，数据用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了科学记数法．原数的小数点需向右移动9位才能得到5，因此表示为．【详解】．故选：A．方法透视考向解读1.正整数的科学记数法：考大于10的数表示（a×10n，1≤a<10，n为整数位数减1），是高频考向；

2.小数的科学记数法：考小于1的正数表示（a×10−n方法技能1.大于10的数：a取原数首位非0数开头的一位小数，n=整数位数−1；

2.小于1的正数：a同上，n=负的（第一个非0数字前0的总个数）。

关键：先定a变式演练【变式01】（2025·广东·二模）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为，即．数据“”用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：,故选A．【变式02】（2025·广东韶关·二模）韶州体育馆是广东省第十三届中学生运动会主场馆，该体育馆建筑面积约为27360平方米，数据27360用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．【详解】解：∵，故选：C．【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）年1月日，广东省统计局发布年广东经济运行简况．年，广东全省地区生产总值迈上万亿元新台阶，达万亿元，总量连续年居全国首位．数据万用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较大数．根据用科学记数法表示绝对值较大数方法求解．【详解】解：万=，故选：D．题型06整式的混合运算与化简求值问题典例引领【典例01】（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可．【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误；B．，原计算正确，符合题意；C．，原选项计算错误，故不符合题意；D．，原选项缺少项，故D错误．故选：B．【典例02】（2025·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【详解】解：，当，时，原式．方法透视考向解读1.纯整式混合运算：融合幂的运算、整式加减乘除，必考平方差、完全平方公式，考查运算法则和符号把控；2.整式化简求值：先通过因式分解、公式化简整式，再代入数值计算，偶尔结合整体代入法，考查化简步骤和代入前的条件验证。常结合同类项、去括号等基础知识点，核心是公式准确应用和运算顺序遵循。方法技能先遵运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先），活用幂的运算法则和平方差、完全平方公式，去括号变号、合并同类项；化简求值需先通过因式分解、公式法化到最简，再代入计算，遇整体代换条件直接套，代入前检验取值合理性，全程严控符号错误。变式演练【变式01】（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性．【详解】解：A．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误．B．积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误．C．二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误．D．同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确．综上，正确答案为D．故选：D．【变式02】（2025·广东汕头·模拟预测）先化简再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运算．先根据整式的运算法则进行化简，再将，代入即可得解．【详解】解：，，，，当，时，原式．【变式03】（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值．【答案】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先由乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代入法求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴原式．题型07整式与几何面积的综合运算典例引领【典例01】（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．6【答案】B【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．根据正方形的面积和勾股定理即可求解．【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，由题意可知：，，，因为，即，，所以，的值是8，故选：B．【典例02】（2025·甘肃白银·一模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查勾股定理，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为、，斜边为，∵图中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为，∴，∵小正方形的面积为，∴，∴，∵将这四个直角三角形拼成图，∴图2中最大的正方形的面积为：．故选：A．方法透视考向解读中考整式与几何面积综合运算为基础融合考点，多以选择、填空或解答基础题呈现，核心考向为用整式表示几何图形的周长、面积，结合整式运算、乘法公式化简求值，常考矩形、正方形、拼接/分割图形，通过图形边长的整式表达，考查整式乘除、公式活用及几何与代数的转化，侧重用代数方法解决几何量计算问题。方法技能整式与几何面积综合运算核心技能：先根据几何图形（矩形、正方形、拼接/分割图形）的周长/面积公式，用整式表示边长并列出代数式；再活用整式乘除、平方差/完全平方公式化简式子；最后结合题意代入数值求值，关键是找准图形边长的整式关系，实现几何量到代数量的转化，化简时严控符号和公式应用。变式演练【变式01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可．【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c，则，∴，∴，故选：A．【变式02】（2025·四川宜宾·模拟预测）第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】该题主要考查了勾股定理和完全平方公式，解题的关键是掌握勾股定理的应用．根据勾股定理得出，结合完全平方公式求出，即可求解．【详解】解：∵是直角三角形，，∴，∵，∴，∴，∴直角三角形的面积，故选：D．题型08规律探究问题典例引领【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第个图形中“”的个数为______．【答案】【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中“”的个数，发现规律即可解决问题．能根据所给图形发现“”的个数依次增加是解题的关键．【详解】解：由所给图形可知，第个图形中“”的个数为：，第个图形中“”的个数为：，第个图形中“”的个数为：，∴第个图形中“”的个数为个．故答案为：．【典例02】（2025·广东汕头·一模）如题图，将，，0，，，3，，5，6填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是______．5【答案】【分析】本题考查了乘方，零指数幂绝对值和数字类规律，找到规律是解决问题的关键：先化简，，，得到一组常规有理数，计算这组有理数总和，除以得出每行、列、对角线三数之和（幻和），利用幻和，根据第三行已知数求出第三行第三个数，再依据第三列已有的两个数求出的值．【详解】因为，，，所以这组数据为，，，，，，，，．这个数总和为．∵九宫格三行（或三列）和等于这个数总和，且每行、每列、每条对角线三个数和相等，∴每行、每列、每条对角线三个数和均为，∴第三行的第三个数为，∴第三列中间数a为，故答案为：．方法透视考向解读中考数与式规律探究是基础拓展考点，多以选择、填空压轴小题呈现，核心考向分两类：一是数字规律，围绕有理数、正整数列，考查等差、等比或递推型规律推导；二是代数式/等式规律，结合整式、分式、乘方形式，考查式子结构、系数、指数的变化规律。常结合图形、新定义融合考查，侧重观察数式特征、归纳递推关系，核心是从特殊到一般的推导能力。方法技能先观察特征（数字/系数/指数/符号的变化、式子结构），标序号找“项数n与对应项”的关联；再尝试归纳（等差/等比直接套公式，递推/结构型拆分为数字、符号、代数式部分分别找规律）；最后验证规律（代入前几项检验），结合图形的先转化为数式关系再推导，符号规律优先看奇偶项判定。变式演练【变式01】（2025·广东韶关·一模）观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（

）A．20241 B．20251 C．20201 D．20261【答案】A【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示等式的规律是解题的关键．观察前4个等式，并依此类推，第个等式为，再代入即可得出答案．【详解】解：第1个等式为，第2个等式为，第3个等式为，第4个等式为，……依此类推，第个等式为，当时，．故选：A．【变式02】（2025·广东广州·二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（

）第1列第2列第3列第4列…第1行12910…第2行43811…第3行56712…第4行16151413…第5行17…………A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44【答案】B【分析】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键．由表格得：第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为，根据此规律即可得到，，即可得到答案．【详解】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，，数字2025出现在第行第列的位置，，故选：B．【变式03】（2025·广东广州·二模）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（

）A．19 B．17 C．15 D．13【答案】C【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有个正方形是解题的关键．根据图形的变化规律得出第n个图形中有个正方形即可．【详解】解：由题知，第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，第④个图案中有7个正方形，…，第n个图案中有个正方形，∴第⑧个图案中正方形的个数为，故选：C．题型09因式分解典例引领【典例01】（2025·广东·中考真题）因式分解：______．【答案】【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．【详解】解：a2b+ab2=．故答案为：．【典例02】（2025·广东汕头·一模）把分解因式，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法分解因式即可．【详解】解：，故选：A．方法透视考向解读中考因式分解为基础工具性考点，少单独命题，多融合在分式化简、整式运算、解方程中考查，核心考向为两类常规分解：一是提公因式法，二是公式法（平方差、完全平方公式），部分考区加考十字相乘法；侧重“一提二套三查”的步骤应用，要求分解彻底，核心考查公式活用与因式分解和整式乘法的互逆应用能力。方法技能遵循一提二套三查原则，先提公因式（含符号、系数最大公约数、相同字母最低次幂），再套平方差/完全平方/十字相乘法，最后检查是否分解彻底；熟记公式特征，找准公式适用条件，注意因式分解与整式乘法的互逆验证。变式演练【变式01】（2025·广东茂名·模拟预测）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．利用提公因式法和公式法分解因式，对选项一一进行分析，即可得出结论．【详解】解：A、不能进行因式分解，故原写法错误，不符合题意；B、不能进行因式分解，故原写法错误，不符合题意；C、，因式分解正确，符合题意；D、，故原写法错误，不符合题意；故选：C．【变式02】（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________【答案】【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解．【详解】解：，故答案为：．【变式03】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：______．【答案】【分析】观察到与互为相反数，将其统一为后提取公因式，再应用平方差公式分解．本题考查了分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键．【详解】解：．故答案为：．题型10分式有/无意义，值为0的条件典例引领【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母.【详解】∵分式有意义需分母，∴，故选：A．【典例02】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．且且【答案】D【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得且且，故选：D．方法透视考向解读中考分式有/无意义、值为0的条件是基础考点，多以选择/填空小题呈现，极少单独大题考查，常融合在分式化简求值、解方程前置条件中；核心考向为三类条件判断：分式有意义（分母≠0）、无意义（分母=0）、值为0（分子=0且分母≠0，二者缺一不可），部分考区结合整式、二次根式综合考查分母取值范围，侧重概念辨析和细节把控，避免忽略分母不为0的核心前提。方法技能分式条件判断核心技能：紧扣分母核心前提，分三类判定：1.有意义：直接令分母≠0**求解；2.无意义：直接令分母=0**求解；3.值为0：需同时满足**分子=0且分母≠0**，两步验证缺一不可。遇分母含整式/二次根式，先化简再列式，注意结合不等式求解取值范围，杜绝漏验分母不为0。变式演练【变式01】（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答．【详解】解：∵有意义，∴，且，∴，∴，故选：D【变式02】（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____．【答案】【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围．【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0，因此，解得．故答案为：．【变式03】（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是____．【答案】【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，二次根式有意义的条件；掌握“分式的值为0，则分子为0，分母不为0”是解本题的关键．根据题意可得且，即可求解．【详解】解：分式形式的代数式的值为0，即分子为0，分母不为0．则有且，解得且．故．故答案为：题型11分式的混合运算与化简求值典例引领【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法.由已知条件得出，代入化简后的式子求值即可．【详解】解：由题意得，分母且，解得且.解方程得或，均满足分式有意义的条件，∵，∴，∴，原式将代入得，原式．【典例02】（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先根据分式通分计算括号里的，同时运用把除法转化为乘法并因式分解，进而约分即可，最后把字母的值代入计算即可得到答案．【详解】解：．当时，原式．方法透视考向解读中考分式混合运算与化简求值是核心基础考点，多以解答题呈现，核心考向分两类：一是分式四则混合运算，融合因式分解、通分约分，考查运算法则应用；二是分式化简求值，先通过因式分解、公式法化简，再代入数值计算，常结合分式有意义条件筛选取值，部分考向会整体代入求值，侧重因式分解与分式运算的结合，以及计算中对分母不为0前提的把控。方法技能分式混合运算与化简求值核心技能：先因式分解分子分母，再按“先乘除（约分）后加减（通分）”运算，括号优先；化简求值需化到最简分式，代入前必验分母≠0（排除使分母为0的取值），遇整体代换条件直接套，全程紧扣因式分解约分、最简公分母通分的关键，严控符号与取值前提。变式演练【变式01】（2025·广东韶关·模拟预测）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤．先对分式进行通分，再进行化简，最后代入求值即可．【详解】解：原式，将代入得，原式．【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）化简并求值：，其中．【答案】；【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，先化简分式再代入求值．先对括号内的分式进行通分计算，将减法转化为同分母分式的减法；再把除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，约分后得到最简分式；最后将代入最简分式计算结果．【详解】解：原式；当时，原式【变式03】（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中．【答案】，．【分析】先计算括号内，并对各项分式分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法，通过约分完成化简，再把的值代入化简后的式子计算求值即可．本题主要考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键．【详解】解：原式．当时，原式．题型12二次根式的混合运算典例引领【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查二次根式的乘除；根据二次根式的乘除法运算法则进行求解逐一判断即可．【详解】A．，故本选项错误；B．，故本选项错误；C．，正确；D．，故本选项错误．故选：C．【典例02】（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：．【答案】【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键．根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，再利用二次根式加减运算法则计算，即可解题．【详解】解：原式．方法透视考向解读中考二次根式混合运算为基础考点，多以选择、填空或解答基础题呈现，常融合实数运算考查；核心考向为二次根式的四则混合运算，含化简、乘除、加减及与乘方、绝对值、幂运算的综合，侧重先将根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式、按实数运算顺序计算，考查根式化简能力与运算顺序的遵循。方法技能二次根式混合运算核心技能：先将所有根式化为最简二次根式，再遵循实数运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先），乘除运算化根式为单根式计算后再化简，加减运算仅合并同类二次根式，全程注意被开方数非负，结果需为最简形式。变式演练【变式01】（2025·广东东莞·二模）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．根据二次根式的加法，减法，乘法法则，性质进行计算，逐一判断即可解答．【详解】解：A、：根据二次根式乘法法则，，则，但选项A结果为，显然A错误；B、：直接计算得，，故，而，因此选项B错误；C、：合并同类二次根式，系数相减：，与选项C结果一致，故正确；D、：先计算被开方数：，则，但选项D结果为，显然D错误；故选：C【变式02】（2025·甘肃天水·模拟预测）计算：；【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先计算二次根式的乘法并化简二次根式，再算加减，即可解答．【详解】解：．题型13非负性的应用典例引领【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（

）A．8 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，得：，∴的平方根是；故选：C．【典例02】（2025·广东韶关·二模）若，则（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、负整数指数幂、求代数式的值，熟知绝对值和算术平方根具有非负性是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，求出的值，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，解得：，，∴．故选：C．方法透视考向解读中考非负性应用为基础综合考点，多在选择、填空及解答题条件中考查，核心依托绝对值、平方（偶次幂）、二次根式三类非负形式，考向分两类：一是直接利用“非负数和为0则各非负数均为0”求字母值；二是结合整式、方程、几何求值综合应用，侧重非负形式的识别与条件转化，考查多知识点融合运用能力。方法技能非负性应用核心技能：先识别绝对值、平方（偶次幂）、二次根式三类非负形式，若和为0则每一项均为0，列方程求解字母值；综合题中先通过变形构造非负和为0的形式，再结合整式、方程、几何条件代值计算，关键是精准识别非负形式，巧用“和为0则各项为0”的核心结论转化条件。变式演练【变式01】（2025·广东梅州·一模）已知，则（）A．2025 B．1 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，几个非负数的和的结果为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，解方程组即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∴，解得，∴，故选：D．【变式02】（2025·广东汕头·一模）已知，则______．【答案】【分析】此题主要考查了非负数的性质，负整数幂，直接利用绝对值的非负性，偶次幂的非负性得出a，b的值，进而得出答案．【详解】解：，，，解得：，，故．故答案为：．【变式03】（2025·广东广州·模拟预测）若x、y为实数，且，则的值为_____．【答案】1【分析】本题考查了非负数的性质，求算术平方根，由非负数的性质求出，，再代入计算即可得解．【详解】解：由题意可得，，解得：，，则，答案为：1．题●型●训●练1．（2025·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可．【详解】解：，则A不符合题意，，则B不符合题意，，则C符合题意，与不是同类项，无法合并，则D不符合题意，故选：C．2．（2025·广东深圳·一模）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【答案】D【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根．【详解】解：由题可得：方程化为，即，∵，∴方程没有实数根，故选D．3．（2025·广东韶关·模拟预测）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，解得：在数轴上表示为：故选：D．4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（

）求的值解：令，则故，因此A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：根据题意，设，∴，得：，∴，故选：A．5．（2025·广东揭阳·模拟预测）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解．【详解】解：由题意得，，∴，故选：C．6．（2025·广东东莞·模拟预测）已知代数式，则代数式的值是______．【答案】【分析】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是将转化为．根据已知条件将所求代数式变形，然后整体代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．故答案为：．7．（2025·广东潮州·模拟预测）已知，则的平方根为______．【答案】【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答．【详解】解：∵，∴故，∴，∴，∴4的平方根为，故答案为：．8．（2025·广东佛山·模拟预测）若与的和是单项式，则__________．【答案】【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键；根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可．【详解】解：∵与的和是单项式，∴与是同类项，∴，，解得：，，∴；故答案为：；9．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则_____．【答案】【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据题目中的新定义可以计算出所求式子的值．【详解】解：∵，∴，故答案为：．10．（2025·江苏南通·模拟预测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是_______．【答案】【分析】本题考查二次根式的应用．模仿材料中的方法，将写成一个差的完全平方的形式，然后根据算术平方根的定义即可求解．【详解】解：∵，∴的算术平方根是．故答案为：．11．（2025·广东肇庆·一模）已知实数，满足，则______．【答案】【分析】本题考查了分式求值，分式运算，由，得，则，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．12．（2025·广东湛江·模拟预测）观察下面习题的解答过程．题目：先化简，再求值：，其中解：原式．(1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程；(2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值．【答案】(1)①，加括号时，括号内