2026年辽宁中考数学二轮复习 热点02 方程与不等式(热点专练)

Page热点02方程与不等式热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01一元一次方程的解法与应用题型02二元一次方程组的解法与应用题型03分式方程的解法与应用题型04一元二次方程的解法与根的判别式题型05一元一次不等式（组）的解法与应用第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：方程与不等式是辽宁省中考数学核心必考模块，每年考查分值约20-25分，覆盖选择、填空、解答全题型。核心考查一元一次方程的解法与实际应用（如工程、行程问题）、二元一次方程组的解法（代入消元、加减消元）、分式方程的解法与检验（重点考查分母不为0的隐含条件）、一元二次方程的根的判别式与简单解法、一元一次不等式（组）的解法与解集在数轴上的表示。试题难度以基础和中档为主，解答题多结合实际情境命题，如销售利润、节约用水、行程规划等，侧重考查学生的建模能力与计算准确性。预测2026年：该模块考查形式将保持稳定，命题将更注重情境化与实际应用，可能结合辽宁地方特色（如文体旅项目、农业生产）设计问题。分式方程的检验、一元二次方程根的判别式、不等式组的整数解仍为考查重点，解题过程中需强化“建模思想”“检验意识”，避免因忽略隐含条件（如分式方程分母不为0、实际问题中未知数的取值范围）丢分。备考时应熟练掌握各类方程（组）、不等式（组）的解题步骤，多练习实际情境应用题，提升数据提取与模型构建能力。题型01一元一次方程的解法与应用解｜题｜策｜略1、解法核心：遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤，注意去分母时不含分母的项也要乘最小公倍数，移项要变号；2、实际应用解题步骤：①设未知数（直接设或间接设）；②找出等量关系；③列方程；④解方程；⑤检验解的合理性（符合实际情境）；3、常见等量关系：-行程问题：路程=速度×时间；相遇问题：路程和=总路程；追及问题：路程差=初始距离；-工程问题：工作量=工作效率×工作时间；总工作量=各部分工作量之和；-计费问题：总费用=基础费用+超出部分费用；4、易错提醒：去分母漏乘、移项不变号、忽略实际问题中未知数的取值范围（如人数为正整数）。例1小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．（1）求种文创产品每件的进价；（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？【答案】（1）种文创产品每件的进价为元（2）小张最多可以购进50件种文创产品【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确地列出方程组和不等式，是解题的关键：（1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；（2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．【小问1详解】解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元，由题意，得：，解得：，答：种文创产品每件的进价为元；【小问2详解】设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元，由题意，得：，解得：；答：小张最多可以购进50件种文创产品．例2．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可．【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，由，可得：，解得：；所以这只风筝的骨架的总高．答：这只风筝的骨架的总高．【变式1】．（22-23七年级上·四川泸州·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完，设共有x根竹竿，根据题意，列方程得（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设共有x根竹竿，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”列一元一次方程即可求解．【详解】解：设共有x根竹竿，根据题意得，，故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．【变式2】．（2023·江苏连云港·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．题型02二元一次方程组的解法与应用解｜题｜策｜略1、解法选择：-代入消元法：适用于其中一个方程能快速用一个未知数表示另一个未知数的情况；-加减消元法：适用于两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或成倍数关系的情况；2、实际应用解题关键：找出两个独立的等量关系，设两个未知数，列方程组求解；3、常见题型：鸡兔同笼、行程问题（双主体）、销售问题（两种商品）等；4、易错提醒：加减消元时系数计算错误、代入消元时代入错误、忽略实际问题中未知数的非负性。例1.我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可．【详解】解：设鸡有只，兔有只，由题意得：，故选：D．例2．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元③购买5个篮球与购买6个足球花费相同(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元(2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确地列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键：（1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；（2）设篮球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可．【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得：或或，（三个方程组任选一个即可）解得：；答：每个篮球60元，每个足球50元．（2）设篮球有个，则足球有个，解得：，设购买的总费用是元，，，随着的减小而减小；∵且为整数，当最小值为4时，最小值为540元；答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．【变式1】．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．

材料类别彩色纸（张）细木条（捆）手工艺品A53手工艺品B21如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组．【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：；每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：；故方程组为：；故选C．【变式2】．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，根据等量关系式：玩偶A的个数×2=玩偶B的个数，玩偶A用的布料+玩偶B用的布料=136米，列出方程组即可．【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，由题意可得，，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，是解题的关键．题型03分式方程的解法与应用解｜题｜策｜略1、解法核心：“去分母转化为整式方程→解整式方程→检验”，检验是关键步骤，需验证解是否使原分式方程的分母不为0；2、去分母技巧：方程两边同乘所有分母的最简公分母，注意不含分母的项也要乘；3、实际应用常见题型：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间），多涉及“提速”“合作”等情境；4、易错提醒：忘记检验、去分母漏乘、解得的整式方程的解使原分母为0（增根，需舍去）。例1.方程的解为______．【答案】【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再解一元一次方程，最后再检验．【详解】解：，，解得：，经检验：是原方程的解，∴原方程的解为：，故答案为：．例2．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．【答案】(1)元(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可；（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可．【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．∴用智能机器人采摘的成本是（元）；（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；∴，解得：，经检验是原方程的解且符合题意；∴（千克），答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．【变式1】．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案．【详解】解：方程两边同时乘以得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，∴是原方程的解．【变式2】．（2025·辽宁大连·二模）用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少?设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程．根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可．【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程，故选：B．题型04一元二次方程的解法与根的判别式解｜题｜策｜略1解法选择：-直接开平方法：适用于的形式；-因式分解法：适用于能分解为的形式，优先选用；-公式法：适用于所有一元二次方程，求根公式为（）；2根的判别式的应用：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根；3、易错提醒：忽略一元二次方程一般形式中的条件、计算Δ时符号错误、配方时常数项计算失误。例1．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故选C．例2．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据题意，得．故选：A．【变式1】．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____．【答案】有两个不相等的实数根【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论【详解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【变式2】．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________．【答案】【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∵，∴；故答案为：．题型05一元一次不等式（组）的解法与应用解｜题｜策｜略1、不等式解法核心：与一元一次方程类似，注意“两边同乘/除以负数时，不等号方向改变”；2、不等式组解法：先解每个不等式，再找两个解集的公共部分（借助数轴更直观），公共部分的表示遵循“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”；3、解集在数轴上的表示：“≥”“≤”用实心圆点，“＞”“＜”用空心圆圈，向右为正方向；4、实际应用解题步骤：①设未知数；②找出不等关系；③列不等式（组）；④解不等式（组）；⑤检验解的合理性（符合实际情境）；5、易错提醒：不等号方向改变遗漏、数轴表示时实心/空心圆点混淆、忽略实际问题中未知数的整数解。例1.甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．（1）求甲池的排水速度．（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？【答案】（1）（2）4小时【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可；（2）设排水a小时，则，再解不等式即可．【小问1详解】解：设甲池的排水速度为，由题意得，，解得：，答：甲池的排水速度为；【小问2详解】解：设排水a小时，则，解得：，答：最多可以排4小时．例2．（2025·上海·中考真题）不等式组的解集为______．【答案】【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．【详解】解：由①，得：；由②，得：；∴不等式组的解集为：；故答案为：．【变式1】．（2025·浙江·中考真题）不等式组的解集是________．【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键．先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．【详解】解：，由①得：，∴原不等式组的解集为：，故答案为：．【变式2】．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示．(1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？(2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？【答案】(1)应选用A种食品5包，B种食品4包(2)最多能选用2包A种食品【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键．（1）设选用A种食品包，B种食品包，根据题意列出方程组，解出的值即可解答；（2）设选用包种食品，根据题意列出不等式，求出的范围，结合是整数，求出的最大值即可解答．【详解】（1）解：设选用A种食品包，B种食品包，由题意得，，解得：，答：应选用A种食品5包，B种食品4包．（2）解：设选用包A种食品，由题意得，，解得：，是整数，的最大值为2，答：最多能选用2包A种食品．（20分钟限时练）1．（2025·辽宁鞍山·二模）《九章算术》卷七“盈不足”中（一四）题：“今有大器五，小器一容三斛；大器一，小器五容二斛，问大，小器各容几何？”其译文是：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器，小容器的容积各是多少？”如果设大容器容积为x，小容器容积为y，可列方程组为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了列二元一次方程组，设大容器容积为x，小容器容积为y，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．【详解】解：设大容器容积为x，小容器容积为y，由题意可得：，故选：A．2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有“二人持米”问题：“今有甲，乙二人持米不知其数．甲云：“我得乙半，当满五十石．”乙云：“我得甲大半，亦满五十石．”问甲，乙各持米几何？”这里的“大半“指三分之二，设甲有x石，乙有y石，根据题意可列方程组为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系；本题根据二元一次方程组的应用的知识进行作答，即可求解；【详解】解：设甲有x石，乙有y石，由题意可得：，故选：C；3．（2025·辽宁锦州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A．

B．C．

D．【答案】B【分析】此题考查的是不等式的解集在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线；掌握其方法是解决此题的关键；求得不等式的解集，将不等式的解集在数轴上表示出来就可判定答案了．【详解】解：解不等式得，，将它的解集在数轴上表示如下：，故答案为：B．4．（2025·辽宁锦州·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，根据，即可判断根的情况．【详解】解：由题意得，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．二、填空题5．（2025·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的两个根分别为，，则______．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案．【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，，∴，故答案为：．6．（2025·辽宁营口·二模）不等式组的解集为_____．【答案】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，解得：，∴不等式组的解集为：．故答案为：三、解答题7．（2025·辽宁沈阳·一模）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多，求该市今年居民用水的价格是多少元．【答案】2元【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键．设该市去年每立方米水费是元，今年居民用水的价格为每立方米水费是元，那么去年12月份的用水量为，今年7月份的用水量为，然后根据已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多列出方程解出答案，然后代入算出答案即可．【详解】解：设该市去年每立方米水费是元，今年居民用水的价格为每立方米水费是元，根据题意，得，解得，经检验：是原方程的解．（元/立方米）．答：该市今年居民用水的价格是2元/立方米．8．（2025·辽宁大连·一模）A、B两地铁路全长，从A地到B地乘坐甲列车比乘坐乙列车多用，已知甲列车行驶的平均速度是乙列车行驶的平均速度的0.8倍．求乙列车行驶的平均速度．【答案】乙列车行驶的平均速度为【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙列车行驶的平均速度为．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．【详解】解：设乙列车行驶的平均速度为．根据题意，得．方程两边乘，得．解得．检验：当时，．所以，原分式方程的解为．答：乙列车行驶的平均速度为．9．（2025·辽宁大连·二模）某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑