九年级数学拓展寒假作业 相似三角形11大模型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）（原卷版）

1/5限时练习：100min完成时间：月日天气：拓展寒假作业相似三角形11大模型一、A字模型（一）模型特征类型正“A字”形条件在△ABC中，DE∥图示结论△（二）模型拓展拓展方向由正“A字”相似模型向斜“A字”相似模型拓展类型斜“A”字形(共角)斜“A”字形（共角共边)条件在△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，∠AED=∠在△ABC中，D是AB上的点，∠ACD=图示结论△△二、8字模型（一）模型特征类型正“8字”形条件AC与BD交于点O，AB∥CD（或一组内错角相等）图示结论△（二）模型拓展拓展方向由正“8字”相似模型向斜“8字”相似模型拓展类型斜“8字”形(蝴蝶形)燕尾形条件AC与BD交于点O，∠A=∠DB，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC交于点F，∠A=∠图示结论△△三、AX模型（一）模型特征类型“AX”形条件AD∥BC图示结论△AEF∽△CEB；△GFD∽△GBC四、子母模型（一）模型特征类型斜A型相似条件当时，图示结论五、一线三等角模型（一）模型特征类型同侧一线三等角异侧一线三等角条件两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上，∠1=两个三角形在直线异侧，点P在BA的延长线上，∠1=∠2=∠3（∠图示结论△△（二）模型拓展拓展方向由一线三垂直的一般情况到特殊情况条件∠图示结论△六、射影定理模型模型特征条件△ABC是直角三角形，∠BAC=90图示结论①△DBA②△DBA③△七、三角形内接矩形模型模型特征条件在△ABC图示结论AH⊥GF，△AGF∽△ABC，八、燕尾模型（一）模型特征条件①AB∶BC=1∶m；②DE图示结论从上述4个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个的值．例如，已知ABBC=1m（二）模型拓展拓展方向“飞鱼”模型常见的辅助线作法过点A作辅助线过点E过点E与点A辅助线作法一样过点B作辅助线过点D过点D与点B辅助线作法一样过点C作辅助线过点F作辅助线九、手拉手模型（一）模型特征条件在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC,将△ADE绕点图示ADAD在△ABC内且AD在△ABC外且AD在△ABC外且结论①△ADE∽△ABC②两条拉手线BD，CE相交于点F，则∠BFC=③两条拉手线BD，CE相交于点F，则A，B，C，F四点共圆（二）模型拓展拓展方向公共角为直角的“手拉手”模型应用条件在△ABC中，DE∥BC，∠BAC=90°，将△A图示结论①△②BD⊥CE③连接BE，CD，BE④S十、十字架模型模型特征类型作单垂线构直角三角形相似作双垂线构直角三角形相似条件FB⊥BC，DEAB⊥BC，DE⊥AF图示结论①△BCF②DE①△NFA②DE三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一A字模型1．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（

）A． B． C．或 D．或2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（）A．14 B．15.6 C．14.6 D．153．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在中，点在上，，交于，且，则．4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，D为边上一点，．(1)求证：；(2)如果，，求的长．题型二8字模型5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（

）A． B． C． D．6．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．7．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，若，则与的面积之比为．8．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F．(1)若，，求的长；(2)求证：．题型三AX模型9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，点在的延长线上，连接交于点．(1)求证：；(2)若的面积为9，，求的面积．10．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，求的长．11．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，点，，分别在，，边上，四边形是菱形，与交于点，已知，．(1)求证：；(2)求的长．12．（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：．题型四子母模型13．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（

）A． B． C． D．14．（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，．若，则．15．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，的高相交于点H，连接．求证：(1)；(2)．16．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，．(1)若平分，求的度数；(2)若，求的长．题型五一线三等角模型17．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究：已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足．【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：；【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值；【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示）18．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）阅读下列材料：如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．请根据以上阅读解决下列问题：(1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______．(2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______．(3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长．19．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）综合与探究：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长；【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长；【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值．20．（25-26九年级上·北京通州·月考）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：(1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌(2)如图3，，，点D在上，．求证：∽；(3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值．题型六射影定理模型21．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考），于点D，，，则．22．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是．23．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F．(1)求证：；(2)延长交于点G，求的值；(3)在（2）的条件下试求．24．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，．(1)如图1，点为内一点，连接，过点作，，连接，，，已知，，当、、三点共线时，求四边形的面积；(2)如图2，在上取点，连接，过点作于点，，取中点，连接，，在上取点，过点作交于点，，求证：；(3)如图3，在上取点，连接，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值．题型七三角形内接矩形模型25．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是．26．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为米．27．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，和矩形的底边，重合，点，分别在边上，过点作于点，交于点．(1)求证：四边形为矩形；(2)已知点是边上的中点，连接，若的周长为8，求的周长．28．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点．(1)当面积为时，______；(2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长．题型八燕尾模型29．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，D、E分别是、边上的点，连接并延长，与的延长线交于点F，且，，若，则的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．830．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G．(1)求证：；(2)如果，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求．31．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，．(1)求的值；(2)求的长．32．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，延长至点使得，点是的中点，连接并延长交于点，求的值．题型九手拉手模型33．（24-25九年级上·山东临沂·期末）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______．（2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点．①线段，之间的数量关系为______；的度数为______．②若，，，求的长．（3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______．34．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）在钝角三角形中，为钝角，，．小坤和小朋同学进行了一项有趣的构造：分别以为边构造了如图一的等边三角形和等边三角形，他们发现一个有趣的结论：虽然的长度发生变化，但点和点之间的距离始终保持不变（即）．为进一步探究，进行了另一种构造：分别以为边构造了如图2的正方形和正方形，请解答以下问题：(1)求点和点之间的距离；(2)当的长度变化时，点和点之间的距离是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由；(3)在的长度变化过程中，当F、A、H在一条直线上时，如图3，设与交于点，求的长．35．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动．(1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______；(2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由；(3)拓展延伸：①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______；②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______．36．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究问题情境小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作：(1)问题发现如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知：①的值为______；②的度数为______．(2)类比探究如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长．题型十十字架模型37．（25-26九年级上·山西晋中·期中）综合与探究探究：

（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，且，，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由．迁移：（2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O．若，，求的长．应用：（3）如图3，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，垂直平分于点O．若，，请直接写出的长．38．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）（1）问题发现如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：．（2）类比探究如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：．（3）拓展延伸如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值．39．（25-26九年级上·江苏南通·月考）在矩形中，点是上的一点，连接，，且．(1)求证：；(2)若，，求的值．40．（2024·广东梅州·模拟预测）【知识技能】（1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：．【数学理解】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：．【拓展探案】（3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长．题型十一动态模型41．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（

）A． B． C．或 D．或42．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（

）A．或 B． C． D．或43．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和．（1）当t为时，点P，Q相距；（2）当t为时，与相似．44．（25-26九年级上·福建漳州·期中）在矩形中，，，点M为边上一动点（点M与点B、C不重合），连接，过点M作，垂足为M，交或的延长线于点N．(1)求证：；(2)若，求的长．题型十二折叠模型45．（2025九年级·全国·专题练习）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：(1)【问题探究】如图①，已知AD是的角平分线，求证：．小红的证明思路是过点C作，交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例的基本事实即可证明．请按照小红提供的思路，利用图①完成证明过程．(2)【尝试应用】如图②，在中，，D是边AB上一点，连接CD，将沿CD所在直线折叠，点A恰好落在边BC的中点E处．若，则AB的长为_________．46．（2021·广东·模拟预测）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点B落在点F处，交于点E．连接，与延长线交于点G．(1)求证：是等腰三角形；(2)求的长．47．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．(1)求证：；(2)若，，求的长．48．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在矩形中，，，点在上的点，将沿折叠，当点的对应点为．(1)如图1，当点到、的距离相等时，求的长．(2)如图2，若，求的面积．1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，已知直线，直线分别交直线于三点，直线分别交直线于三点，如果，，，那么长为（）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（

）A．或2 B．1或 C．或1 D．2或14．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（

）A． B．20 C． D．305．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则．6．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，是边上的一点，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为．7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点B的对应点D恰好落在边上，当与相似时，的长为．8．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，是边上一点，交于点，且，则．9．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知、是正方形的对角线，点E、F分别是、上的点，且，、分别与BD交于点H、G．连接、．(1)求证：；(2)求证：；(3)求的值．10．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且．(1)试说明；(2)若，求证：．11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H．(1)求证：；(2)若，求的长度．12．（25-26九年级上·四川眉山·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长．1．（25-26九年级上·四川达州·月考）中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F．(1)如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系：；（直接写出结论）(2)如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之