湖南省天壹名校联盟2026届高三年级4月质量检测（6360C）数学+答案

高三年级4月质量检测

数学

(试卷满分:150分,考试时间:120分钟)

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如

需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,用0.5mm的黑色字迹

签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,请将答题卡上交。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1.若集合A={-1,2,3,5,8},B={x|2x<8},则A∩B=

A.{-1,2}B.{-1}C.{2,3}D.{2,3,5}

2.一组数据为50,40,20,19,16,16,14,10,则这组数据的众数与第60百分位数之和为

A.40B.39C.36D.35

3.在正项等比数列{an}中,a4,3a2,a3成等差数列,则数列{an}的公比为

A.1或2B.2或3C.2D.3

4.某大学有A,B,C,D四个社团在招生.5名学生去报名,每个社团至少有1名学生,则不

同的报名方怯共有

A.144种B.240种C.256种D.288种

x

5.已知函数f-lOgax(a>0,且a≠1)在[1,+∞)上的值域为[2,+∞),则a=

11

A.4B.2C.D.

24

6.如图,在梯形ABCD中,AD聂BC,BC=2AB=2AD=8,B=,若M,N是线段BC上的

__→__→__→

动点,且MN=2,则DM●DN的最小值为

A.9B.10

C.11D.12

7.从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰好为左焦点F1.椭圆与x轴

正半轴交点为A,椭圆与y轴正半轴交点为B,若AB聂0P(0为原点),则该椭圆的离心

率为

AC.D.

【高三数学第1页(共4页)】6360C

8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,△ABC的面积为sin

1/sin2B+sin2C,则abC=

A.20B.16C.12D.8

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目

要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.若复数z则

A.z=1-i

B.z=2

C.z在复平面内对应的点位于第一象限

D.复数⑴满足⑴=1,则⑴-z的最大值为12+1

10.如图,四边形ABCD是正方形,AE丄平面ABCD,CF丄平面ABCD,AE=CF=AB=2,

则下列说法正确的是

8

A.几何体的体积为

3

B.BE,DF是您面直线

C.EG丄FG

D.点A到平面BDE的距离为

11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点,D是C的准线

与x轴的交点,则下列说法正确的是

4

A.若lBFl=4lAFl则,直线l的斜率为±

3

B.lAFl+4lBFl≥18

C.0o<LA0B<90o(0为坐标原点)

D.当取最小值时,lAFl=4

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.直线3x+4y+2=0被圆(x-1)2+y2=9截得的弦长为.

23

13.已知直线l与函数fx的图象在x=x1(x1≠0)处相切,与函数gx的

图象在x=x2(x2≠0)处相切,则x2-x1=.

14.已知函数f(x)=sinx+sin2x+…+sin2024x,则f(x)在上共有

个零点.

【高三数学第2页(共4页)】6360C

四、解答题:本题共5小题,共77分●解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤●

15●(本小题满分13分)

已知正项数列{an}满足a1=1,且●

2

(1)证明:{an}为等差数列;

(2)求数列的前n项和Tn●

16●(本小题满分15分)

某企业招聘方怯分笔试、面试两个环节进行,先进行笔试,笔试合格后才能参加面试,面

试合格后便正怯录取,且这两个环节能否通过相互独立●现有甲、乙、丙三名大学生参加

了该企业的招聘,假设甲通过笔试、面试的概率分别为乙、丙通过笔试的概率均为

21

,通过面试的概率均为

32●

(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正怯录取的概率;

(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作,该企业决定给报名参加应聘的大学生

一定的补贴,补贴标准如下表:

参与环节笔试面试

补贴(元)100150

记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元,求X的分布列和数学期望●

【高三数学第3页(共4页)】6360C

17.(本小题满分15分)

如图,D,E分别为等边三角形ABC的边AC,AB的中点,DE=2,将▽ADE沿DE折起,

使顶点A至点P的位置,此时平面PDET平面BCDE,M,N分别为PE,CD的中点.

(1)证明:MN聂平面PBC;

(2)若点P,B,C,D,E在同一球面上,设该球面的球心为0.

(i)求球0的表面积;

(ii)求平面0MN与平面PDE的夹角的余弦值.

18.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=xlnx.

(1)求f(x)的极小值;

(2)当x<1时,f(x)<k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围;

(3)求不等怯f的解集.

19.(本小题满分17分)

已知双曲线Ca<0,b<0)的渐近线互相垂直,F1,F2分别为其左丶右焦点,

222

双曲线与圆C2:x+y=C的某个交点的横坐标为1/3.

(1)求双曲线C1的标准方程;

(2)过右焦点F2的直线l与C1的右支交于P,Q两点,其中点P位于第一象限内,直线

F1P,F1Q分别与y轴交于M,N两点.

(i)是否存在直线l使得点F2在以线段MN为直径的圆上,若存在,请求出此时直线

l的斜率;若不存在,请说明理由;

(ii)当lPQl=lF1F2l时,求出7PF2F1的大小.

【高三数学第4页(共4页)】6360C

高三年级4月质量检测●数学

参考答案、提示及评分细则

1.【答案】A

【解析】因A={___1,2,3,5,8},B={x|2x<8}={x|x<3},则A∩B={___1,2}.故选A.

2.【答案】D

【解析】将题中数据按从小到大排列为10,14,16,16,19,20,40,50,则众数为16,因为8X60%=4.8,所

以第60百分位数为19,所以众数与第60百分位数之和为16+19=35,故选D.

3.【答案】C

【解析】设等比数列{an}的公比为q,q≠0,因为a4,3a2,a3成等差数列,所以2X3a2=a3+a4,即6a1q=

2322

a1q+a1q.则a1q(q+q__6)=0,因为等比数列中a1q≠0,所以q+q__6=0,解得q=2或q=__3

(舍),故选C.

4.【答案】B

2

【解析】先从5名学生中选出2人组成一个小组,有C5种方法;再将这个两人小组与其余3名学生安排

424

到4个不同的社团,有A4种方法,根据分步乘法计数原理,共有C5A4=10X24=240种不同的安排.

故选B.

5.【答案】C

x

【解析】函数y,y=__logax=logx在[1,+∞)上具有相同的单调性,所以f(x)在[1,+∞)上

单调,要满足题意,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以floga1=2,解得a,故选C.

6.【答案】C

【解析】以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标

系xBy,:BC=8,：C(8,0),:AB=AD=4,LABC=,：A(2,213),

_→

D(6,213),设M(x,0),则N(x+2,0)(其中0≤x≤6),DM=

→→→22

(x__6,__21i3),N=(x__4,__21i3),M.N=(x__6)(x__4)+(__21i3)=x__10x+36=

→→

(x__5)2+11,所以,当x=5时,M.N取得最小值11.故选C.

7.【答案】B

【解析】由题意可设P(__c,y0)(c为半焦距),则koP=__,又kAB因为

,所以得,所以,,,代入椭圆

AB聂oPy0=P(__c把P(__c

方程得所以e故选B.

8.【答案】B

【解析】由sin得,sinA__cosA2=sin2B+sin2C,整理得sin2A+

【高三数学参考答案第1页(共6页)】6360C

sin2B+sin2C=1,所以sin2A+sin2B__sin(2A+2B)=1,整理得sin2A+sin2B__sin2Acos2B__

cos2Asin2B=1,则sin2A(1__cos2B)+sin2B(1__cos2A)=1,所以2sin2Asin2B+2sin2Bsin2A

=1,即4sinAcosAsin2B+4sinBcosBsin2A=1,所以4sinAsinB(cosAsinB+sinAcosB)=

1

4sinAsinBsin(A+B)=4sinAsinBsinC=1,则sinAsinBsinC=,设△ABC外接圆的半径为R,

4

由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinC,c=2RsinC,所以5ΔABCabsinCX2RsinA.

R2

2RsinBsinC=2R2sinAsinBsinC==2,解得R=2;则abc=8R3sinAsinBsinC=16,故选B.

2

9.【答案】ACD

【解析】≈=1__i,故A正确;

≈=112+12=12,故B错误;

:≈在复平面内对应的点的坐标为(1,1),所以位于第一象限,故C正确;

:复数⑴满足⑴=1,：复数⑴在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上,：≈__⑴≤

⑴__≈≤≈+⑴,故⑴__≈的最大值为12+1,故D正确.故选ACD.

10.【答案】ABD

__

【解析】由题意知,几何体的体积V=VE__ABD+VFBCD=2X2XX2X故A正确;

显然BE,DF是您面直线,故B正确;

易知EG=FG=16,EF=AC=212,所以EG2+FG2≠EF2,故C错误;

由上述可求得5△BDE=213,又VE__ABD则点A到平面BDE的距离为,故D正确,故选ABD.

11.【答案】ABD

【解析】对于A,依题意得F(2,0),设直线l:x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去

2

x得y__8my__16=0,则y1+y2=8m,y1y2=__16,则解得或

,则A,2),B(8,__8)或A,__2),B(8,8),则直线l的斜率k故A正确;

2

对于B,|AF|+4|BF|=x1+4x0≥18,当且仅当y2=8时等号成

立,故B项正确;

_→

对于C,因为OAx1x2+y1yy1y2=__12<0,所以LAOB>90o,故C项错误;

22

对于D,依题意有,抛物线y=8x的准线方程为x=__2,所以D(__2,0),F(2,0),则y1=8x1,x1>0,

222

由抛物线的定义可得|AF|=x1+2,AD=1(x1+2)+(y1__0)=1/x1+4x1+4+8x1=

x2+12x+4因为x1>0所以===1__=

111,,11

【高三数学参考答案第2页(共6页)】6360C

当且仅当x1=2时取等号9此时IAFI=49故D项正

确.故选ABD.

12.【答案】412

【解析】易知圆(x__1)2+y2=9的圆心为(190)9半径为3;

由圆心(190)到直线3x+4y+2=0的距离为d

所以直线被圆截得的弦长为21/9__1=412.

13.【答案】__

【解析】f,(x)=x9则f,(x1)=x19所以切线方程为yx19即y=x1xg,

22

x9则g,(x2)=x29所以切线方程为y9即y=x由题意可知9

__

解得x故x2x

14.【答案】2

【解析】由于2sin●(sinx+sin2x+…+sin2024x)=cos(x____cos+cos(2x____

cos+…+cos(2024x____cos(2024x+=cos(x____cos(2024x+=

coscossinsin1012x9因此f(x)=sinx+sin2x

+…+sin2024x由于x∈9因此f(x)仅有零点则

f(x)在(09上共有2个零点.

n

15.【答案】(1)详见解析(2)Tn=__1+(__1)1/n+1

【解析】(1)由得9a……………………2分

22

所以an+1__an=19……………………4分

2

故{an}是公差为1的等差数列;………………………6分

22

(2)因为a1=19所以由(1)可知9an=1+(n__1)X1=n9则an=1/n.………………8分

所以n●……………10分

nn

Tn=__(12+1)+(13+12)__…+(__1)(1n+1+1n)=__1+(__1)1n+1.………………13分

16.【答案】(1)(2)X的分布列见解析9E(X)=575

【解析】(1)设事件A表示“甲被该企业正怯录取”9事件B表示“乙被该企业正怯录取”9事件C表示

【高三数学参考答案第3页(共6页)】6360C

“丙被该企业正怯录取”,………………1分

则由题可知P=P…………………3分

事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正怯录取”,……………4分

则P=P6分

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正怯录取的概率P=1__P………7分

(2)X的所有可能取值为300,450,600,750,对应事件分别为“三人均未通过笔试”,“三人中恰有一人

通过笔试”,“三人中恰有两人通过笔试”,“三人均通过笔试”,……9分

P……………………10分

P11分

P12分

P……………………13分

所以X的分布列为

X300450600750

1542

P

181899

数学期望E(X)=300X+450X+600X+750X=575.………………15分

17.【答案】(1)详见解析(2)(i)

【解析】(1)取BE的中点Q,连接MQ,QN,

因为M为PE的中点,所以MQ为△PEB的中位线,则MQ聂PB,………………1分

又MQ丈平面PBC,PBC平面PBC,所以MQ聂平面PBC,………2分

因为N为CD的中点,所以QN为梯形BCDE的中位线,则NQ聂BC,

又NQ丈平面PBC,BCC平面PBC,所以NQ聂平面PBC,………3分

又MQ∩NQ=Q,所以平面MQN聂平面PBC,……………………4分

因MNC平面MQN,故MN聂平面PBC;…………5分

(2)取DE,BC的中点H,G,连接PH,HG,则PH丄DE,HG丄DE,

因为平面PDE丄平面BCDE,所以PH丄平面BCDE,则PH丄HG,以H为原点,以HG,HD,HP

所在直线分别为x,y,≈轴建立如图所示空间直角坐标系.

则P(0,0,13),E(0,__1,0),G(13,0,0),……………6分

(i)易知梯形BCDE的外接圆的圆心为G,因为OG丄平面BCDE,所以设O(13,0,≈0),

由OE=OP得

解得,……………8分

【高三数学参考答案第4页(共6页)】6360C

所以球O的半径的平方R2=3+1+=,故球O的表面积为5=4πR……………10分

33→3

(ii)M0__1N0O1301N=2__1

(,,2),,,),(,,3),,,2),

……………11分

设平面OMN的一个法向量为m=(x1,y1,≈1),

__→(1313

x1+2y1__≈1=0,

(MN.m=0,22

取x1=1,

〈→则〈

(M.m=0,13

__3x1__y1+≈1=0,

(16

则m=(1,51/3,21),…………………13分

由(1)可知,HG丄平面PDE,则"=(1,0,0)为平面PDE的一个法向量,

所以cOs……………………14分

故平面OMN与平面PDE的夹角的余弦值为……………15分

18.【答案】(1)__(2)(__∞,1](3)(0,U(1,+∞)

【解析】(1)函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞),求导得f,(x)=lnx+1;

令f,(x)=0,得到x……………2分

当x∈(0,时,f,(x)<0,函数f(x)单调递减;…………………3分

当x∈,+∞)时,f,(x)>0,函数f(x)单调递增;………………4分

因此,f(x)在x处取得极小值fln………5分

(2)当x>1时,f(x)>k(x__1)恒成立,即xlnx__k(x__1)>0恒成立;…………6分

令g(x)=xlnx__k(x__1),x>1,则g,(x)=lnx+1__k,

令g,(x)=lnx+1__k=0,得到x=ek__1,……………7分

当ek__1≤1,即k≤1时,在(1,+∞)上g,(x)>0,

函数g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,满足条件;……………………8分

k__1

当ek__1>1,即k>1时,当1<x<e时,g,(x)<0,函数g(x)单调递减,

当x>ek__1时,g,(x)>0,函数g(x)单调递增,………9分

所以函数g(x)在x=ek__1处有最小值g(ek__1)=k__ek__1;

令h(k)=k__ek__1,k>1,则h,(k)=1__ek__1<0,所以h(k)在(1,+∞)上单调递减;

h(k)<h(1)=0,即g(ek__1)<0,不满足条件;……………………11分

综上所述,实数k的取值范围是(__∞,1];…………12分

x1x1

(3)不等怯即xlnx__>0,设φ(x)=xlnx__,得到=lnx

e__1e__1

【高三数学参考答案第5页(共6页)】6360C

令φ,(x)=09得到x=e…………14分

2e

当0<x<ee__1时9φ,(x)<09φ(x)单调递减;

2e

当x>ee__1时9φ,(x)>09φ(x)单调递增;…………15分

所以当0<x<时9φ(x)>09