《两条直线平行和垂直的判定》教案、导学案、同步练习

<2.1.2两条直线平行和垂直的判定》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节

课主要学习两条直线平行和垂直的判定。

直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学

习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟.

两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相

类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的

是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加

说明.

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解两条直线平行与垂直的条件.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件

B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直

C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题

题.4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的

几何直观

【教学重点】：理解两条白:线平行或垂臣的判断条件

【教学难点】：会利用斜率判断两条直线平行或垂直

目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两平行与垂直问题，引

条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，导学生回顾初中两

为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互直线平行与垂直的

相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直几何知识，为探究运

线的平行与垂直用什么来刻画呢？用斜率判断直线平

二、探究新知行和垂直作知识上

（一）、两条直线平行与斜率之间的关系的准备。

设两条不重合的直线，，，，倾斜角分别为。,a,斜率存在时斜率分

I212

别为则对应关系如F：

12

点睛：若没有指明U不重合，那么尢=小4匕|“匚苗A用斜率证由坐标系中的直线，

（或h与k重合,

让学生理解直线倾

明三点共线时,常用到这一结论.

斜角和斜率的概念。

1.对于两条不重合的直线是“两条直线斜率相等”

1212发展学生逻辑推理，

的什么条件？

直观想象、数学抽象

答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平

和数学运算的核心

行；反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.

素养。

2.已知直线/经过两点（T,-2）,直线/经过两点

12

（2,1）,（乂6）,且/〃/，则广

I2--------------

解析：由题意知1_Lx轴.又/〃，，所以/_Lx轴，故xA.

I122

答案：2

3.思考辨析

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.（）

⑵若人〃，2,则人=鱼（）

（3）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在,

则这两条直线垂直.（）

（4）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平

行.（）

答案：（DX也可能重合.（2）Xh//h,其斜率不一定存在.

⑶X不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直.（4）J

（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系

L与L的斜率部存L与b中的一条斜率丕

对应在,分别为k1,k2,存在,另一条斜率为零，

关系则1」则L与L的位置关系是

Loki•k2=~lLlh.

图示

点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分

不必要条件.因为两条直线垂直时，除了斜率之积等于T,还有兀能一

条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.

4.若直线/，/的斜率是方程J-3^-1冷的两根,则/与/的位置关系

】212

是.

解析：由根与系数的关系，知AA=T,所以/_L/.

：2I2

答案：/_L/

I2

三、典例解析

例1判断下列各小题中的直线;与1是否平行：

I2

⑴1经过点力（T,-2）,8（2,1）,/经过点"（3,4）,MT,T）;

12

(2)1的斜率为1,7经过点力(1,1),8(2,2);

12

(3)7经过点J(0,1),Ml,0),7经过点M-1,3),M2,0);

12

(4)1经过点力(-3,2),5(-3,10),1经过点力(5,-2),M5,5).

]2

思路分析：斜率存在的直线求出斜率,利用1"10k=k进行判断，

1212

若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.

解：(1)左手足可，%聿=*拈工饱九与人不平行.

(2)k\=\,%含=1,k\=k、

故1〃人或上与心重合.

(3)k\老二-1，在T*=T，贝U有k尸k».

又忆亡育--2r-1，

则力，氏J/不共线.故/〃/.

]2通过典型例题的分

(4)由己知点的坐标,得/与/均与A•轴垂直且不重合,故有/“/.析和解决，让学生加

1212

深对利用直线斜率

延伸探究已知力(-2,勿)，8(a4),M*2,3),Ml,1),若AB//MN,则m

判断两直线平行和

的值为__________.

垂直的方法，提升运

解析：当勿=-2时,宜线/位的斜率不存在,而直线.捌的斜率存在,VV与

用能力。发展学生数

/伊不平行，不合题意；

学抽象、直观想象、

当m=-\时，直线极’的斜率不存在，而直线/仍的斜率存在，.网与/仍不

逻辑推理的核心素

平行，不合题意；

养。

当#-2,且勿W-1时，k，=^-=怒，

m,v2)m+2

/_3-12

底\=------=-----.

m+2-lm+1

因为AB//MN,所以k,后k~

即宅==，解得D或勿=1.

m+2m+1

当次0或1时,由图形知,两直线不重合.

综上，加的值为0或1.

答案：0或1

判断两直线是否平行的步骤

例2(1)直线1经过点4(3,2)1(3,-1),直线/经过点

12

Ml,1),M2,1),判断1与1是否垂直;

12

⑵已知直线1经过点/(3,a),以a-2,3),直线1经过点

I2

。(2,3),〃(T,a-2),若/_1_/,求a的值.

12

思路分析：(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直

线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.

(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于T求解;若一条直线

的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.

解：(1)直线1的斜率不存在,直线1的斜率为0,所以/_L/.

)212

(2)由题意，知直线/的斜率k一定存在,直线/的斜率可能不存在.

221

当直线1的斜率不存在时,3=a-2,即a-5,此时k-0,

I2

则/_L/,满足题意.

12

当直线上的斜率h存在时,#5,由斜率公式,得尢=*=

a-2-3

3-a._a~2~3_a~5

2-1-2一

由7i_Llz,知k\k：=-\,即--1,解得

a-S-3

综上所述,a的值为0或5.

两直线垂直的判定方法

两条直线垂直需判定A#=-1，使用它的前提条件是两条直线斜

12

率都存在,若其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零,此时两

直线也垂直.

跟踪训练1已知定点4(-1,3),仅4,2),以/均为直径作圆，与*轴有

交点P,则交点户的坐标是.

解析:设以的为直径的圆与才轴的交点为PCr,O).

VkWO,衣WO,.：〃・k=-\,

ffiPAPAHi

Hn°一30-2.

即-------二T

x+1x-4

•：(x+1)(x~4)=~6,即x-3x+2X),

解得产1或x4.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).

答案：(1,0)或⑵0)

例3如图所示,在平面宜角坐标系中，四边形〃制火的顶点坐标按逆

时针顺序依次为0(0,0),2(1,。，0(1~21,2气),M-2。2),其中tX).

试判断四边形相。〃的形状.

思路分析:利用直线方程的系数关系,或两在线间的斜率关系,判断两通过典例解析，进一

宜线的位置关系.步让理解运用直线

斜率判断直线平行U

垂直的方法，提升推

理论证能力，进一步

体会坐标法解决问

题的基本思想。

,2-(2+。-t*/201

FH?=LFT?

:-所以k斡kgk«K=k>xh

-2ct

从而0P〃RQ,OR//PQ.

所以四边形。必次为平行四边形.

又k♦k=T，所以OPLOR,

町A?

故四边形。户。?为矩形.

延伸探究1将本例中的四个点，改为

“力(T,3),以2,5),C(6,3),〃(-3,0)，顺次连接A,B,C〃四点，试判断

四边形4%〃的形状.”5

由斜率公式可得%」、：=小人"=黑=a°：=-3,服券=[.

2-(-4)3-3-63-3-(-4)6-22

所以A弘，由图可知/仍与。不重合，

曲Q

所以AB//CD,由左羊左，所以仞与加不平行.

.WBC

又因为k魅,k.v>[X(~3)=T,

所以ABA.AD,故四边形，仍卬为宜角梯形.

-30\26%

解：由题意A,8C〃四点在平面宜角坐标系内的位置如图，

延伸探窕2将本例改为“已知矩形中四个顶点按逆时针顺序

依次为0(0,0),P(l,t),0(1-2£,2"),试求顶点"的坐标."

解:因为〃/胡为矩形，所以制的中点也是掰的中点.

0+1-2,_1+x

(~2~一~9

解得312%'所以"点的坐标是(一21,2).

利用两条直线平行或垂直来先断图形形状的步骤

“同一傕巫标系中描出给定的共

砸］f庙秦忘间的关系判断，函

点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参

数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着

问题无解.

金题典例已知点力(0,3),8(-1,0),C(3,0),且四边形/I四为直角梯

形，求点〃的坐标.

思路分析:分析题意可知，，以利都不可作为直角梯形的直角边，所以

要考虑口是直角梯形的直角边和力〃是直角梯形的直角边这两种情

况;设所求点〃的坐标为5,0,若必是宜角梯形的直角边,则ECL

效力反an艮据已知可得也勿的斜率不存在，从而有二3；接卜.来

LASC

再根据衣=k即可得到关于My的方程，结合x的值即可求出乂那

么点〃的坐标便不难确定了，同理再分析力〃是直角梯形的直角边的情

况.

解：设所求点〃的坐标为(用力，如图所示，由于左⑹4

*sr

则4・kRWT,即AB与外不垂直,故AB、回都不可作为直角梯形

AfiAT

的直角边.

①若⑦是直角梯形的直角边,则BCLCD,AD1CD,

:女老.：仪?的斜率不存在，从而有产3.

8c

又\*/(AD=knc,.*^-^0,即尸3.此时AB与⑦不平行.

故所求点〃的坐标为(3,3).

②若/切是直角梯形的直角边,

则ADLAB,ADI.CD,女。备.

由于力〃14民则U・3=-i.

X

5LAB//CII=3.

x-3

（_18

解上述两式可得r-，’此时月〃与比不平行.

U=晨

故所求点〃的坐标为（£、）.

综上可知，使四边形力政力为直角梯形的点〃的坐标可以为（3,3；或（

黑》

反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完

成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.

三、达标检测

1.下列说法正确的是（）通过练习巩固本节

A.若直线人与人倾斜角相等，则h//h所学知识，通过学生

B.若直线人_1./2,则尢儿=一1解决问题，发展学生

C.若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴的数学运算、逻辑推

D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行理、直观想象、数学

解析：A中，，与为可能重合：B中，7„，2可能存在其一没斜率；C建模的核心素养。

中，直线也可能与y轴重合；D正确，选D.

答案D

2.若直线1的斜率为a,/_!_/,则直线1的斜率为（）

1122

A.-B.aC.二D.'•或不存在

aaa

解析:若&W0,则人的斜率为乙若则心的斜率不存在.

a

答案:D

3.已知直线1的倾斜角为45°,直线/〃/，且/过点爪-2,T1和

1122

庾3,a）,则a的值为__________.

解析：由题意，得翌』二1,即a，

3-（-2）

答案：4

4.已知△的C的三个顶点分别是加2,2),矶0,1),C(4,3),点〃(mJ)在

边成、的高所在的直线上，

则实数ni=___________.

解析:设直线AD,比的斜率分别为k.,k,,由题意,得ADA.BC,

AffK

则有k•k=T,所以有上三•解得m1.

ADBCm2402

答案卷

5.顺次连接J(-4,3),8(2,5),C(6,3),〃(-3,0)四点,判断四边形ABCI)

形状.

解:儿=Asr=-^,kcpq,kn)=-3,所以直线垂直于直线AB与CD,而且

直线砥不平行于任何一条直线,所以四边形/比刀是直角梯形.

四、小结

____H斜率相等通过总结，让学生进

——平行H,________

_1斜干祁不"住一步巩固本节所学

两宜线平行与_

垂克的划定

内容，提高概括能

垂1I1的.1L至曾Xi济1玲•1

另一一条丁丁不存在1力。

【教学反思】

本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以

及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养/学生的成功意识，合

作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现

规律，自已总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.教师的授课

的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受

《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》导学案

【学习目标】

1.理解两条直线平行与垂直的条件.

2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.

【重点和难点】

重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件

难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直

【知识梳理】

一、自主导学

（一）、两条直线平行与斜率之间的关系

设两条不重合的直线倾斜角分别为a,。，斜率存在时斜率分别为衣，A.则对应关系

121212

如下：

前提条件a产a2r90°ai=a2=90°

对应关系h〃l?0k尸k?L〃1Q两白线斜率都不存在

1//

图示

X<*iA«>

才/111

点睛：若没有指明人情不重合，那么k\=kz=用斜率证明三点共线时,常用到

或k与k重合,

这一结论.

（一.）、两条直线垂直与斜率之间的关系

点睛：”两条直线的斜率之积等于T”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件,因为两条

直线垂直时，除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存

在.

二、小试牛刀

1.对于两条不重合的直线"是“两条直线斜率相等”的什么条件？

12I2

2.已知直线4经过两点(T,-2),(-1,4),直线4经过两点(2,1),(%6),且则

x=.

3.思考辨析

(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.()

(2)若人〃，2,贝I」左=%.()

⑶若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂

直.()

(4)若两条宜线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.()

4.若直线1,1的斜率是方程=0的两根,则/与/的位置关系是____.

I212

【学习过程】

一、情境导学

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原

理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设

备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直，你能感受

到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？

二、典例解析

例1判断下列各小题中的直线1与1是否平行:

⑴1经过点J(-l,-2),M2,1),1经过点M3,-1)；

12

(2)1的斜率为1,1经过点J(l,D,M2,2);

12

⑶1经过点J(0,1),Z?(1,O),7经过点M-1,3),M2,0);

12

(4)1经过点4(-3,2),6(-3,10),1经过点做5,-2),M5,5).

12

延伸探究已知力(-2,加，/加：4),,网*2,3),Ml,D,若AB〃帆则小的值为.

判断两直线是否平行的步骤

例2(1)直线/经过点力(3,2)1(3,T),直线由经过点)(1,1),M2,1),判断/与/是否垂直;

】212

(2)已知直线1经过点力(3,a),6(a-2,3),直线1经过点C(2,3),〃(-1,&-2),若/_L/,求a

1212

的值.

两直线垂直的判定方法

条直线垂直需判定左左=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在，若其中一条直线斜率

I2

不存在，另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.

跟踪训练1已知定点/K-1,3),8(4,2),以/应为直径作圆，与*轴有交点P,则交点，的坐标

是.

例3如图所示,在平面宜角坐标系中，四边形“加的顶点坐标按逆时针顺序依次为

0(0,0),/(1,。，。(1-2£,2"),/?(-21,2),其中为.试判断四边形6W的形状.

延伸探窕1将本例中的四个点,改为“/(T,3),8(2,5),C(6,3),。(-3,0),顺次连接A,B,&D

四点,试判断四边形/厉⑦的形状.”

延伸探究2将本例改为“已知矩形冰制中四个顶点按逆时针顺序依次为

0(0,0)/(1,力，0(1-22,2卬，试求顶点〃的坐标.”

利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤

匾同一住砺素中描出给定的点

猜测一根据描出的点，猜测图形的形状

求斜率一根据给定点的坐标求直线的斜率

席网一rs葩之间的关系判断舷荻

点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类

讨论：其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解.

金题典例已知点A(0,3),8(-1,0),以3,0),且四边形力比〃为直角梯形,求点〃的坐标.

反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨

论所求问题的不同情况.

【达标检测】

1.下列说法正确的是()

A.若直线上与心倾斜角相等，则人〃人

B.若直线贝IJA的=-1

C.若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴

D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行

2.若直线/的斜率为，,/_!./,则直线1的斜率为()

II22

A.-B.aC.2D.2或不存在

aaa

3.已知直线1的倾斜角为45°,直线2〃？，且自过点J(-2,-1)和M3,a),则a的值

1122

为.

4.已知△4回的三个顶点分别是力(2,2),5(0,1),6,(4,3),点〃(墙1)在边6c的高所在的直线

上,则实数m=.

5.顺次连接4(Y,3),6(2,5),1(6,3),〃(-3,0)四点,判断四边形力以力形状.

【课堂小结】

【参考答案】

知识梳理

二、小试牛刀

1.答案:必要不充分条件，如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平

行,有可能两直线斜率均不存在.

2.解析：由题意知/_L*轴.乂/〃/,所以/L,轴,故木2.

1122

答案：2

3.答案：(1)X也可能重合.(2)XkHh,其斜率不一定存在.

⑶X不一定垂直，只有另一条且线斜率为0时才垂直.(4)J

4.解析：由根与系数的关系,知kk=T,所以/_L乙

12I2

答案：

I2

学习过程

例1思路分析：斜率存在的直线求出斜率,利用m=k进行判断,若两直线斜率都不

12I2

存在,可通过观察并结合图形得出结论.

解：(1)/T片可，&二^=pk\丰kz,h与h不平行.

2-(-1)-1-34

(2)%=1,在乏?刁，k\=kz,

故小〃4或力与/重合.

⑶为号=-1,在咨\=T,则有k、二h

1-02-(-1)

又“(产Y^=-2WT,

则4氏J/不共线.故i〃乙

12

(4)由已知点的坐标,得/与，均与*轴垂直且不重合,故有/"/.

I2I2

延伸探究解析：当加=-2时，直线力〃的斜率不存在,而直线的斜率存在，.即与/仍不平行,

不合题意；

当〃尸T时，直线JW的斜率不存在，而直线，步的斜率存在，朗V与/仍不平行，不合题意；

当〃了-2,一旦碍T时，kur4=宅，

m-(二-2)7九+2

_3-12

k/m------=----.

m+2-lm+1

因为AB//MNt所以k,卡kg,

即上^=’7,解得矿0或m=\.

m+2m+1

当相0或1时，由图形知,两直线不重合.

综上，加的值为0或L

答案：0或1

例2思路分析：(1)若斜率存在,求出斜率，利用垂直的条件判断:若一条直线的斜率不存在，

再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.

(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在，由另一条

直线的斜率为0求解.

解：(1)直线1的斜率不存在，直线1的斜率为U,所以/_L/.

)212

⑵由题意,知直线/的斜率4一定存在,直线/的斜率可能不存在.

22I

当直线1的斜率不存在时,3通-2,即a石,此时k

I2

则J_L1,满足题意.

12

当直线人的斜率尢存在时,存5,由斜率公式,得尢芸彳=芝,=W.

a-23a5-1-2-3

由知a也二T,即三'(野)=T,解得a=O.

aS-3

综上所述,a的值为0或5.

跟踪训练1解析:设以16为直径的圆与x轴的交点为尸(％0).

Vk#0,A丰0,・*.k・k=-1,

所PAP.\再f

.：(户1)d)=£即X-3户2a

解得x=\或*=2.故点〃的坐桁为(1,0)或(2,0).

答案：(1,0)或(2,0)

例3思路分析：利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系.

,_2-(2+t)_2-0_1

k,二211-26=五也热

—~=-Y*所以kap=k&kckf

从而OP"RQ,OR//PQ.

所以四边形利狄为平行四边形.

又k・k=-1,所以OPLOR,

OPA?

故四边形“。斤为矩形.

延伸探究1由斜率公式可得金分、=今公产*=^^^=-3,立若二+.

2-(-4)3-3-63-3-(-4)6-22

所以k=k,由图可知/应与々不重合，

A8CD

所以AB//CD,由衣WA,所以4〃与力不平行.

也?sr

乂因为km•k*X(-3)=-1,

所以ABLAD,故四边形//〃为直角梯形.

解：由题意A,B,C〃四点在平面直角坐标系内的位置如图，

延伸探究2解：因为“劭?为矩形，所以8的中点也是"的中点.

（O+l-2t_1+X

设R（x、y）,则由中点坐标公式知］M’

<2=~'

解得t二z2*'所以〃点的坐标是（一2力2）.

金题典例思路分析：分析题意可知，力员比‘都不可作为直角梯形的直角边，所以要考虑必是

白角梯形的白.角边和初是目角梯形的白角边这两种情况：设所求点〃的坐标为5.0.若CD

是直角梯形的直角边,则BC工CD"此CD,根据已知可得k。的斜率不存在,从而有*知

fsca

接下来再根据k=k即可得到关于、的方程,结合x的值即可求出乂那么点〃的坐标便

ADSCxy

不难确定了，同理再分析月〃是直角梯形的直角边的情况.

解：设所求点〃的坐标为（力，如图所示，由于kAk

x,ABffC

则k-k=0^-\,即仍与比1不垂直,故AB、a'都不可作为直角梯形的直角边.

Aff

①若必是直角梯形的直角边,则BCLCDyADLCD,

•・”心.：勿的斜率不存在，从而有产3.

8C

乂：%g联，.:”山，即J'』.此时/仍与必不平行.

故所求点〃的坐标为⑶3）.

②若/〃是直角梯形的直角边，

贝ljADVAB,ADLCD,上户?，心言.

由于4LL/1民则平・3=T.

又AB"CD、；.工超

x-3

18

"一，'此时月〃与比'不平行.

(y二

故所求点〃的坐标为(蓝卷).

综上可知I,使四边形40为直角梯形的点〃的坐标可以为(3,3)或(£[).

达标检测

1.解析：A中，△与人可能重合：B中，乙，心可能存在其一没斜率；C中，直线也可能与

y轴重合：D正确，选D.

答案D

2.解析:若aWO,则人的斜率为之;若与力,则的斜率不存在.

a

答案:D

3.解析：由题意，得箸未=1,即a=l.

3-(-2)

答案：4

4.解析:设直线AD,旗的斜率分别为k?k,由题意，得ADLBC,

1WW

则有纭・仁7所以有解得椁

答案：|

5,解:几4服=3,ka=,七=-3,所以直线力〃垂直于直线AB与CD,而且直线砥不平行于任

•5/*5

何一条直线,所以四边形力筋是直角梯形.

（2.1.2两条直线平行和垂直的判定-基础练》同步练习

一、选择题

1.下列说法中正确的是（）

A.若直线4与的斜率相等，则“〃2

B.若直线乙与互相平行，则它们的斜率相等

C.在直线乙与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则人与定相交

D.若直线4与4的斜率都不存在，则“〃2

2.过点41,2）和点4（-3,2）的直线与工轴的位置关系是（）

A.相交但小垂直B.平行C.重合D.垂直

3.己知直线4经过4（—3,4）,8（—8,-1）两点，直线〃的倾斜角为135"，那么4与4（）

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

4.己知AA8C的三个顶点坐标分别为A（5,-1）,3（1,1）,C（2,3）,则其形状为（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形I）.无法判断

5.（多选题）下列说法埼误的是（）

A.平行的两条直线的斜率一定存在旦相等

B.平行的两条直线的倾斜角一定相等

C.垂直的两条直线的斜率之积为一1

D.只有斜率都存在且相等的两条直线才平行

6.（多选题）已知A（m,3）,B（2m,m+4）,C（m+L2）,D（l,0）,且直线AB与直线CD平行,

则m的值为（）

A.1B.0C.2D.-1

二、填空题

7.已知直线A的斜率为3,直线人经过点力（1,2）,庾2,而，若直线心〃心，贝Ua=____；

若直线4_L&,则/=

8.直线4的倾斜角为45、直线4过A(-2,-1),8(3,4),则直线4与〃的位置关系为

9.已知点A(—2,-5),B(6,6),点P在y轴上，且NAPB=g()°,则点P的坐标为.

10.已知AQO),3(3,2),C(0,4),点o满足A3_LC£),且4Q//8C,则点O的坐

标为______

三、解答题

H.判断下列各小题中的直线4与的位置关系.

(1)4的斜率为一10,A经过点力(10,2),8(20,3)：

(2)4过点力(3,4),6(3,100),4过点灯一10,40),M10,40)；

⑶4过点力(0,1),8(1,0),4过点肌一1,3),M2,0)；

⑷看过点力(一3,2),M-3,10),4过点"(5,-2),M5,5).

12.已知在平行四边形ABCD中，A(l,2),B(5,0),C(3,4).

(1)求点D的坐标；

(2)试判断平行四边形ABCD是否为菱形.

《2.1.2两条直线平行和垂直的判定-基础练》同步练习答案解析

一、选择题

1.下列说法中正确的是()

A.若直线4与『的斜率相等，则“〃2

B.若直线乙与4互相平行，则它们的斜率相等

C.在直线右与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则4与定相交

D.若直线4与『的斜率都不存在，贝

【答案】C

【解析】对于A,若直线［与，2的斜率相等,则或4与12重合;对于B，若直线［与4互

相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D,若《与，2的斜率都不存在，则“他

或4与，2重合•

2.过点A(l,2)和点3(-3,2)的直线与x轴的位置关系是()

A.相交但不垂直B.平行C.重合D.垂直

【答案】B

【解析】「AB两点的纵坐标都等于2「•直线44方程为：y=2「.直线A“与工轴平

行.

3.已知直线4经过人一3,4),8(-8,-1)两点，直线4的倾斜角为135"，那么4与《()

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

【答案】A

【解析】•・•直线4经过A(-3,4),3(-81)两点「•直线4的斜率：4=与==1

k

,直线〃的倾斜角为135、」.直线〃的斜率：2=tanl35=-1,:.k^k2=-\,

A/,1/,.

4.已知A/WC的三个顶点坐标分别为A(5,—l),3(1,1),C(2,3),则其形状为()

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断

【答案】A

【解析】由题意得：3川=；4=-＜：^^=a=2,.怎c=-L.••43_LBC,

1—522-1

・・・AA6c为直角三角形.

5.(多选题)下列说法僧识的是()

A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等

B.平行的两条直线的倾斜角一定相等

C.垂直的两条直线的斜率之枳为一1

D,只有斜率都存在且相等的两条直线才平行

【答案】ACD

【解析】当两直线都与x轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在.所以A错误.由宜线

帧斜角定义可知B正确，当一条直线平行％轴，一条平行》轴，两直线垂直，但斜率之枳不

为-1，所以C错误，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行：所以D错误，故选B.

6.(多选题)已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(l,0),且直线AB与直线CD平行，

则m的值为()

A.1B.0C.2D.-1

【答案】AB

【解析】当AB与CD斜率均不存在时，6=2〃7,〃?+l=l故得m=0,此时两电线平行：此

时AB〃CD,当k后ke时，丝1=—,得到m=l,此时AB〃CD.故选AB.

inin

二、填空题

7.已知直线人的斜率为3,直线,2经过点1(1,2),以2,a),若直线入〃/2,则&=；

若直线1_L12,则a=_

【答案】5：|.

4—2

【解析】直线k的斜率k=-------=a-2.(1)-2,/.a-2=3,即a=5

2-1

(2)•・•直线】」12，，3k=-1,即3(a・2)=-l,解得a=°.

3

8.直线4的倾斜角为45，直线4过4(—2,-1)，8(3,4),则直线4与〃的位置关系为

【答案】平行或重合

【解析】•••4倾斜角为45、二4的斜率占=1，..乜过点A(—2,T),8(3,4),的

4+1

斜率区=^--=1.k\=k],.M与4平行或重合.

DI4

9.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上，且NAPB=90°,则点P的坐标

为.

【答案】(0，-6)或(0,7)

【解析】设点P的坐标为(0,y).因为NAPB=90°,所以APJ_BP,又%=避竺，脸=更二色，

1T自

k.M-kH).=—1,所以避竺•1^_?=-I,解得y=—6或y=7.所以点P的坐标为(0,—6)

或(0,7).

10.已知A(l,0),8(3,2),C(0,4),点。满足ABJLCZ),且4O//8C,则点。的坐

标为______

【答案】(10,-6)

24-2y

【解析】设。(x,y),则怎8=—=1,kBC=2k士

3—10-338X

-1

x=10.、

,.ABLCD,AD//BC-2，解得：•一即：£>(10,-6)

y=-6

x-\3

三、解答题

11.判断下列各小题中的直线人与的位置关系.

(1)人的斜率为-10，人经过点加10,2),6(20,3)；

⑵/过点力(3,4),M3,100),《过点战一10,40),M10,40)；

⑶/过点力(0,1),6(1,0),七过点必(-1,3),"(2,0)；

(4)/过点力(-3,2),M-3,10),4过点以5,-2),“(5,5).

【解析】(1)左=-io,儿=表器言,:k\k产一\,••・—

40-40

⑵4的倾斜角为90°,则轴,k；—--------=0,

IO-<-IO)

则/〃*轴,・•・/」，.

⑶由器L，%=告与二

-11**k\=kz，

又“旱r-2"，

(4)Vlx与h都与*轴垂直，工71/7It.

12.已知在平行四边形ABCD中，A(L2),B(5,0),C(3,4),

(1)求点D的坐标;

(2)试判断平行四边形ABCD是否为菱形.

【解析】⑴设〃6),•・•四边形