《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题

弹性力学复习资料

一、简答题

1.试写出弹性力学平面问题的根本方程，它们提示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方

程时，应留意些什么问题？

答：平面问题中的平衡微分方程：提示的是应力重量与体力重量间的相互关系。应留意两个微分方程

中包含着三个未知函数0X、。丫、Txy=Tyx,因此，打算应力重量的问题是超静定的，还必需考虑

形变和位移，才能解决问题。

平面问题的几何方程：提示的是形变重量与位移重量间的相互关系。应留意当物体的位移重量完全硝

定时，形变量即完全确定。反之，当形变重量完全确定时，位移重量却不能完全确定。

&dvdu

平面问题中的物理方程：提示的是形变重量与应力重量间的相互关系。应留意平面应力问题和平面应变

问题物埋方程的转换关系。

邑=J卜-弧+4

邑=）卜一"—+"

111

7#=3%，\=3仆，＞中二行%

2.依据边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。答:

依据边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和

1

混合边界问题。

位移边界问题是指物体在全部边界上的位移重量是的，也就是位移的边界值是边界上坐标的函数。

应力边界问题中，物体在全部边界I:.所受的面力是的，即面力重量在边界上全部各点都是坐标的函

数。

混合边界问题中，物体的一局部边界具有位移，因而具有位移边界条件;另一局部边界则具有应力边界

条件。

3.弹性体任意一点的应力状态由几个应力重量打算？试将它们写出。如何确定它们的正负号？

答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力重量打算，它们是：。、。O、t、t、T。正面上的应力

xy、zxyyz、zx

以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿巫标轴负方向为正，沿坐标轴正方何

为负。

4.在推性力学根本方程时，承受了那些根本假定？什么是“抱负弹性体”？试举例说明。答：

答：在推性力学根本方程时，承受了以下根本假定：

（1）假定物体是连续的。

（2）假定物体是完全弹性的。

（3）假定物体是均匀的。

（4）假定物体是各向同性的。

（5）假定位移和变形是微小的。

符合（1）~（4）条假定的物体称为“抱负弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“抱负弹

性体”。

5.什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。

答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的

面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板

支墩就属于此类。

平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长

度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作

用都不沿长度而变化。

6.在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？

答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。

平面问题的静力学方面主要考虑的是应力重量和体力重量之间的关系也就是平面问

题的平衡微分方程。平面问题H勺几何学方面主要考虑的是形变重量与位移重量之间的

关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变重量与应力重量之

间的关系，也就是平面问题中的物理方程。

7.依据边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类？试作简要说明

答：依据边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类；

（1；平面应力问题：很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类

问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在

C>a>T=T三个应力重量。

Xyxyyx

2

（2：平面应变问题：很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力也

平行于横截面且不沿长度变化.这•类问题可以简化为平面应变问题。例如挡土墙和重力坝的受力分析。

该种问题T=T=0；T=T=0而一般。并不等于零。

户?

8.什么是圣维南原理？其在弹性力学的问题求解中有什么实际意义？

圣维南原理可表述为：

假设把物体的一小局部边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量一样，对于同一点的主

矩也一样），那麽近处的应力分布将有显著的转变，但远处所受的影响可以不计.

弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将而力分作不明确的状况转化为静力等效但分令表达明确的

状况而将问题解决。还可解决边界条件不完全满足的问题的求解。

9.什么是平面应力问题？其受力特点如何，试举例予以说明。

答：平面应力问题是指很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，这一

类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在

O、O、工=T三个应力重量。

孙yx

10.什么是“差分法”？试写出根本差分公式。

答；所谓差分法，是把根本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示,

把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。根本差分公式如下:

二、计算题

1.过P点的应力重量。=\5Mpa,a=25Mpa,T=20Mpa。求过P点,

/=cos30。、m=cos60。斜面上的X、丫、o、T

NNNN

解：X-1(5+mx=cos3Oox15+cos60ox20=22.99Mpa

Nxxy

y=mo+/T=cos6(>»X25+cos3(hx20=29.H2Mpa

Nyyxyxy

3

ct=+mi(5+2/ZMT

Nxyxy

=cos230oxl5+COS26Ox25+2xcos30。xcos6Oox20

=34.82的a

T=lm{(5-CT)+(12一朋2)工

Nyxxy

=cos3Ooxcos6Oox(25-15)+(cos23Oo-cos26Oo)x20

=14.33Mp。

2.在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy、O试依据以以以下图证明:

导中二0。

证明：

E尸=0:

y

da

9+-----u/y)xdrxrfz-(a)xdxxdz

Fdyy

+(，+":Tdz)xdxxdy-(T)xrfxxdy

◎dz◎

at

+(T+___2_dx)xdyxdz-)xdyxdz

*ydx*y

+Ydxdydz=0

化简并整理I.式，得：

daTdx

3.、,+:y+1y+V=0

ydzdx

4

3.图示三角形截面水坝，材料的比重为p,承受比重为丫液体的压力，己求得应力解为

Q=ar+hy

（/=cx+d），-pgy,试写出直边及斜边上的边界条件。

y

T=-dx-ay

•孙

解：由边界条件

[l((j)+m(r)=X

JXsyxs

Im((r)+1(T)=F

l.rsxys

左边界：/=cosp,m=-sinp

fcosP(ar+by)-sin0(-dx-ay)=0

[-sin^(cx+dy-pgy)+cosB(-dx-ay)=0

,ss

右边界：I==0

\-(ax+by)=ygy

^(dx+ay)=0

4一点处的应力重量。与x=30Mpa,o=-25Mpa,T=50Mp。，试求主应力a、a以及。

Xy盯

轴的夹角。

解:

a+aia-<j

o=-C++r2

2孙

30-25f30+25M

+(50)2=59.56Mpa

-r~2

5

o+。fO-O\2

-_-J—J+T2=-55.06Mpa

a=切色工Lg产.56-(3O)ko59。

1i--j

在物体内的任一点取一六面体，、、方向的尺寸分别为、、试依据以以以下图证明:

5xyzdxdydzo

空+%+%+z=0。

十一一IIO

zdxdy

8。、

(o+___^dz)xc/xxc/y-(a)xdxxdy

'z劭z

+(T+%Ldx)XdyXdz-(T}xdyxdz

疝dxxz

如)

+(T+―zxdzxdx-①)xdzxdx

"dy广

+Zdxdydz=0

化简并整理上式:

dxdy

6

6图示悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为P，设应力的数。=4丫3十氏口，+（：叼，2+。），3恒能满足

双调和方程。试求应力重量并写出边界条件。

解：

所设应力函数。

相应的应力重量为：

。=^=2O+6Dy

x铲

o=冲一py=6AY+2By-py

y0*

T=_育=-2Bx-2Cy

xy<>xdy

边界条件为：

上外表g),要求

X=(-T)=0,B=0

卜xyy=O

y=(-。)=o,A=O

Nyy-c

斜边界：y=.vtg。」=-Sina,m=cosa,边界条件得：

一(2Cx+6Dy)sina-2Cycosa=0

2Cysina-pycosa=0

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）

一、填空题〔每题4分〕

I.最小势能原理等价于弹性力学根本方程中：平衡微分方程，应力边界条件」

2.一组可能的应力重量应满足：平衡微分方可,相容方程（变形协调条件）—°

3.等截面直杆扭转问题中，21中公外二M的物理意义是杆端截而上剪应力对转轴的矩等于杆

D

4.平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数中在边界上值的物理意义为边界上某一点1基力困）

到任一点外力的矩•

7

5.弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为:

。+X=0=+U)o

V.7«if2i.ji，i

二、简述题（每题6分）

I.试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：假设物体的上的面力变换为分布不同但静力笠效的面力（主矢与主矩

一样），则近处的应力分在的有显著的转考.01沅处的应力所姓影响可以无视不计C

作用：（1）将次要边界，简洁的而力（集中力、集中力偶等）作分布的而力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2.图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数中的分别变量形式。

题二（2）图

卜(Px,y)=ax2+bxy+cyi(p(x,y)=ax3+bx2y+cxyi+dyi

(a)(b)<

((p(r,O)=r2/(0)15P(「,。)=中/佝

3.图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松

比p。试求薄板面积的转变量AS。

题二（3）图

设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为△/。中£=Ul-N）q得,

E

I----------------q\/Q2+b2

A/=£V(J2+/J2=-----------(1-H)

E

设板在力P作用下的面积转变为AS,由功的互等定理有:

q•AS=P•

将△/代入得:

△S二

8

明显，A5与板的外形无关，仅与E、从、/有关。

4.图示曲杆，在「二匕边界上作用有均布拉应力q,在自由端作用有水平集中力凡试写出其边界条

件(除固定端外)。

题二14)图

odr=-Pcos0dr=PsinO

rO

j6rdr=-PcosO"+"

5.试简述拉甫(Love)位移函数法、伽辽金(Galerkin)位移函数法求解空间弹性力学问题的根本思

想，并指出各自的适用性

Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的根本思想：

(1)变求多个位移函数u(x,y),v(x,y),w(x,y)或〃(r,0),“(几0)为求一些特别函数，如调和函

数、重调和函数。

(2)变求多个函数为求单个函数(特别函数)。

适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；

Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。

三、计算题

1图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为R

设间距d很小。试求其应力重量，并争论所求解的适用范围。1提示：取应力函数为

(p=Zlsin20+B0)(13分)

题三(I)图

9

解：d很小，M，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。

将应力函数（P（r,。）代入，可求得应力重量:

o=1即+102（p=-4Asin26:

Q_C2(P=0.

-

「rdrri502ri0aTT

d1

T=-(\那1(2Acos20+5)

rO

边界条件:

/**orMrMr^O

代入应力重量式，有

J_(2A+8)=0或2A+B=0⑴

n

（2）取一半径为/•的半圆为脱离体,边界上受有：。T和M=/%

由该脱离体的平衡，得

2T厂2do+历=0

将丁八代入并积分，有

J：J_(2Acos20+B)r"捡+M=。

Asin20+B|T+A/=0得8兀+M=0(2)

I

联立式（1）、（2）求得:

8=上一巴A=?

兀兀2J：

代入应力重量式，得

个_2Pr/sin20=0；T2Pdsin2。

冗K20X)冗r2

结果的适用性：由于在原点四周应用了圣维南原理，故此结果在原点四周误差较大，离原点较远

处可适用。

2图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，假设梁的正应力。由材料力学公式给出，试由平衡微分方程

X

求出T9,并检验该应力重量能否满足应力表示的相容方程。

孙y

（12分）

10

题三（2）图

解（1）求横截面上正应力。

3

任意截面的玲犯为A1=--L娟，截面惯性矩为/=泛，山材料力学计算公式有

6/

o=也=_%刈，⑴

.、・I3

（2）由平衡微分方程求T

+沆A

+x=o⑵

平衡微分方程:

+y=0(3)

其中，x=o,y=o0将式[1）代入式（2）,有

积分上式，得

T=M-X2J24-f(x)

•aHfi1

利用边界条件：\L±j=°'有

2

3q

即/(x)=----Q-X2b2

.1Mffi

=弘*2伊-1仇）

T⑷

0g4

将式（4）代入式（3）,有

一>2）+&I=0或冽，一一现-M》2一工加）

比34可5/仇不

积分得

11

o=L+f(X)

，〃73342

利用边界条件:

得:

L-@+U?3)+f(X)=-^_x

Jlh32482/'

|_幺心-1〃3)+/(人)=0

tlh32482

由其次式，得

,、q

将其代入第一式，得

qqq

一喷%一嗡x=一于X自然成立。

将/(X)代入C的表达式，有

2y

O=一幺世.-」加、)一仆

(5)

>•〃73342/

所求应力重量的结果：

产=丝=_%小，

'I1/13

_3g灯”?-1加)(6)

)Q'1/134

?1

G=-\x(-h2y)-qax

Iylh33421

校核梁端部的边界条件：

(1)梁左端的边界(x=0)：

氏IJv=o.Jtx|Idy=Q代入后可见：自然满足。

-t-t.V=O

(2)梁右端的边界(x=n：

jtady=技_之。。*v|dy=0

■9X.X=l-=-力

2//73E

2

12

J,Idy=R3)产(，2dy=

」」xjL出4T

x=l

*qI

2qX3力=-也户2=—"o2=M

(>yi

37hT~6~

的3

2

可见，全部边界条件均满足。

检验应力重量O，T。是否满足应力相容方程:

xxyy

常体力下的应力相容方程为

&di

▽2(0+0)=(____+_____)9+o)=o

xydx2dyixy

将应力重量G2Q式（6）代入应力相容方程,有

为(o+o)=-12(^oxy,3，,、12q

09+o)=-_oxy

3x2Xy防3dy2xyIha

di24q

V2(O+0)=(.)(a十c)】，_八xy*0

f^yr*yJ

xy

明显’应力重量°「°寸，。，不满足应力相容方程’因而式16）并不是该该问题的正确解.。

3一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为I,抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为4。

梁受有均匀分布载荷q作用，如以以下图。试：

（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数w（x）：

（2）用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。

（13分）

叫）

题二（3）图

解：两种形式的梁挠度试函数可取为

w（x）=X2（A+Ax+AX2+）一一多项式函数形式

I23

f，八2m兀x、

w（x）=Z4（1-cos-----）一一三角函数形式

榜011

此时有:

13

w(x)=X2(A+Ax+Axz±...)1=0

123。

w(x)=2x(A+Ax+Ax2+....)+X2(A+AX+....)1=0

12323L

w(x)»(i~=0

m/

m=lx-0

W\X)=XA_Lsin^£=0

m2mn1

mlA«O

即满足梁的端部边界条件。

梁的总势能为1rl

1zfdzwY1[]

z

FI=_EI\-r_Idx-J