《对数函数的概念》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数

《4.4.1对数函数的概念》教学设计

【教材分析】

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章

第4.4.1节《对数函数的概念》。对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初

等函数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图

像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美

感。学习中让学生体会在类比推理，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提

高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析

方法。培养学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

1、理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域：a.数学抽象：对数函数的概念；

2、了解对数函数与指数函数之间的联系，培养学b.逻辑推理：对数函数与指数

生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及函数的关系；

数学交流能力：渗透类比等基本数学思想方法。C.数学运算：求对数函数的定

3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物义域；

的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意d.直观想象：对数函数的图像；

识，感受数学、理解数学、探索数学，提高学习数c.数学建模；运用对数函数解

学的兴趣。决实际问题；

【教学重难点】

教学重点：对数函数的概念、求对数函数的定义域

教学难点：对数函数与指数函数的关系。

【教学过程】

教学过程设计意图

（一）、问题探究

问题1当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确温故知

定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来新，通过对上

的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体

内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？节指数函数问

设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为P，如果把刚死亡题的回顾,提

的生物体内碳14含量看成1个单位，那么，死亡1年后，生物出新的问题，

体内碳14含量为(1-p)'；死亡2年后，生物体内碳14含量构建对数函数

为(1-p)2;的概念。培养

死亡3年后，生物体内碳14含量为(l-p)3；和发展逻辑推

理和数学抽象

死亡5730年后，生物体内碳14含量为(l-p)57M.的核心素养。

根据已知条件，(l-p)"a=a从而l-p=G)嬴,所以

设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14含量为y,那么

y=(l-p)\

即y=((｝康)；(XE[0,+<-)).

这也是一个函数，指数x是自变量.死亡生物体内碳14

含量每年都以1-(》壶减率衰减.像这样，衰减率为常数的变化

方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指

数衰减.

在上述问题中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或

衰减变化规律的问题.对这样的问题，在引入对数后，我们还

可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究.

在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随

死亡时间

x的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14

的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x

足碳14的含量y的函数吗？

2、概念建构

根据指数与对数的关系，由y=((｝焉/(X、0)得到％=

，。现73乎y(ovy31).如图过y轴正半轴上任意一点(0犯)(0<通过对指

，1x数函数回顾，

y°W1)作x轴的平行线，与y=((；)河)(x'O)

类比得出对数

的图象有且只有一个交点(/，

y函数的概念

%)•1

--质，发展学生

这就说明,对于任意一个y£(0,

逻辑推理，数

1J,OX

学抽象、数学

通过对应关系％=/。%7306%

运算等核心素

在［0,+8)上，都有唯一确定的数X和它对应，所以x养；

也是y的函数.

也就是说,函数%=1。95730?'(0<yW1)

12

刻画了时间X随碳14含量y的衰减而变化的规律.

同样地，根据指数与对数的关系，由)r=ax(a>0,且aW

1)

可以得到％=logay(a>0,且Q关1),x也是y的函数.

通常，我们用x表示自变量，表y示函数.

为此，将x=logay(a>0,且QH1)中的字母x和y对

调，

写成y=logax(a>0,且QW1).

对数函数的概念

函数4=lox(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中王是

自变量，函数的定义域是10,+8).

(二)、典例解析

通过典例

题型1对数函数的概念及应用

例1⑴下列给出的函数：①y=log5『H；问题的分析，

②y=log“/(a〉0,且a=l)；③y=logM-i/；让学生进一步

熟悉对数函数

®y=1log;lx；⑤y=log4(x〉0,且Bl)；

o的概念性。培

养逻辑推理核

@y=loglx.其中是对数函数的为()

X

A.③④@B.②④⑥心素养。

C.①③⑤⑥D.@@

(2)若函数y=log(2afx+(，一5a+4)是对数函数，则a=

(3)已知对数函数的图象过点(16,4),则《习:—

(DD(2)4(3)-1

[(1)由对数函数定义知，③©是对数函数，故选D.

⑵因为函数尸logg7)x+(才一50+4)是对数函数,

3—1〉0,

所以｛2aTrl,

、85a+4=0,

解得a=4.

(3)改对数函数为/、(》—1。4以%>0口d4D,

由/(16)=4可知logJ6=4,.*.a=2,

f[x)=log2x,

求解对数

函数的定义

[规律方法]判断一个函数是对数函数的方法

域，发展学生

数学运算、逻

(辑推理的核心

对

数索养；

函

数

〕

跟踪训练1.若函数f(x)=(，+a—5)log/是对数函数，

则a=.

答案：2

[illa2+ez-5=1得a=—3或a=2.乂a>0且aWL所以a

=2.]

题型2对数函数的定义域

例2求下列函数的定义域.

(1)/'(X)=I(2)f{x}—I—+In{x—1)；

(3)fix)=log(2r-i)(—4x+8).

［解］(1)要使函数f(x)有意义，则loglx+l>0,即10gl^>

22

-1,

解得0<水2,即函数f(x)的定义域为(0,2).

x+1>0,

2—G0,即

)2—挣0

才〉一1,

M2,通过对应

解得一1CK2,故函数的定义域为(-1,2).用问题的解

决，发展学生

r-4x+8>0,'

(3)由题意得{2x—l>0,解得〈号数学建模的核

心素养；

【杼1.

故函数y=log(2x—1)(―4x+8)的定义域为

'、

x-<x<2,且xWl:

乙

［规律方法］求对数型函数的定义域时应遵循的原则

(1)分母不能为；(2)根指数为偶数时，被开方•数非负；

(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1

提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求

与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若

自变量在真数上，则必须保证真数大于0;若自变量在底数上,

应保证底数大于0且不等于1.

跟踪训练2.求下列函数的定义域：

(l)f(x)=lg(x—2)4—777；

Xo

(2)/-a)=logr+l(16-4^).

[x-2>0,

[解](1)要使函数有意义，需满足°一八解得「2

X—3W0,

且xW3,

所以函数定义域为⑵3)U(3,4-oo).

16-4x>0,

x+l>0,

(x+lWl,

解得一l〈x<0或0〈底4,所以函数定义域为(-1,0)U(0,4).

题型3对数函数的应用

例3假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增，

经过y年后的物价为x.

(1)该地的物价经过几年后会翻一番？

(2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变

化规律.

物价/1W2315678910

年数y0

解：(1)由题意可知，经过y年后物价x为x=(1+5%)匕

即x=1.05》(ye[0,4-00)).

由对数与指数间的关系，可得丫1。阴.05%，％£[1，+8).

由计算工具可得，当％=2时，y*14.

所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.

(2)根据函数ylogi.osx^^[1,+°°).利用计算工

具，可得下表：

7

物价，1234568910

皿0H2328333710431547

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增

长，

但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小•

三、当堂达标

1.下列函数是对数函数的是()

A.y=2+log3AB.y=logd(2a)(a>0,且aHl)通过练习

C.y=log../(cz>0,且&W1)D.y=lnx巩固本节所学

【答案】D知识，巩固对

[结合对数函数的形式y=log,^(e?>0且aWl)可知D正确.]数函数的概

2.函数F(x)=7lgrMg(5—3x)的定义域是()念，增强学生

-5-J,|)D.5-的数学抽象、

A.。,0B.九3.C.-3_

数学运算、逻

产1,

1g/20,5、辑推理的核心

【答案】C曲即]

5-3%>0,J素养。

3.已知/'(x)=log3X.

(1)作出这个函数的图象；

(2)若F®<f(2),利用图象求a的取值范围.

【答案】(1)作出函数y=log/的图象如图所示.

⑵令f(x)=f(2),

BPlog3-r=log32,解得x=2.

由图象知：当0<水2时，恒有aa)(F(2).

所以所求a的取值范围为0<a<2.

四、小结学生根据

1.对数函数的定义:一般地,函数课堂学习，自

y=log.x(a>0,且a*1)叫做对数函数.主总结知识要

其中X是自变量.定蚪瞬良））点，及运用的

五、作业思想方法。注

1.课时练2.预习下节课内容意总结自己在

学习中的易错

点；

《441对数函数的概念》导学案

【学习目标】

1.理解对数函数的概念；

2.会求对数函数的定义域.

【重点难点】

重点：理解对数函数的概念

难点：会求对数函数的定义域.

【知识梳理】

对数函数的概念

函数）=地_以公＞0,且存1）叫做对数函数，其中工是自变量，函数的定义

域是（0,+oo）.

【学习过程】

1＞问题探究

问题1当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称

为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按

照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,如果把刚死亡的生物体内碳14

含量看成1个单位，那么，死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p）：

死亡2年后，生物体内碳14含量为（l-p：；

3

死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p）；

5730

死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p）.

根据已知条件，（1-p）'"。",从而l-p=（界氤所以p=l-《）品.

设生物死亡年数为X,死亡生物体内碳14含量为y,那么y=（1-p）,

即y=（G河^）,（XE[o,+8））.

这也是一个函数，指数x是自变量.死亡生物体内碳14含量每年都以

i-G）标减率衰减.像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因

此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.

在上述问题中，我们用指数函数模型研究了呈指数漕长或衰减变化规律的问

题.对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律

作进一步的研究.

在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间

x的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得

知它死亡

了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？

2、概念建构

根据指数与对数的关系，由y=（（｝标）（xN0）得到％=log573O^y（0<y<

1).

如图过y轴正半轴上任意一点（Q%）（0<y0<

作x轴的平行线，与y=（（｝焉）”（x>0）

的图象有且只有一个交点（项），y0）・

这就说明，对于任意一个y£（0,1],

通过对应关系x=log573O^y，在[0,4-OC）上

都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的或数.

也就是说，函数K=/9573*'（0VyW1）

刻画了时间X随碳14含量y的衰减而变化的规律.

同样地，根据指数与对数的关系，由'=。"(Q>0,月。彳1)

可以得到％=logay(Q>0,且Q,1),x也是y的函数.

通常，我们用x表示自变量，表y示函数.为此，将％=1o%y(a>0,

且Q,1)中的字母x和y对调，写成y=Eo%x(a>0,且。加).

对数函数的概念

函数y=12_里心。，且引1)叫做对数函数，其中工是白变量，函数的定义

域是(0，+oo).

3、典例解析

题型1对数函数的概念及应用

例】(1)下列给出的函数：①y=k)g5x+l；

②)=108,屋(。>0,且，学1)；③y=log(q-i出

®y=Tlogxr：⑤y=logy\/5(戈>0,且.#1)：

⑥y=log4其中是对数函数的为()

n

A.③④⑤B.②④⑥C.①③⑤⑥D.@@

(2)若函数)=log(2a一1优+(。2—5〃+4)是对数函数，则a=.

(3)已知对数函数的图象过点(16,4),则比目=.

跟踪训练1.若函数.公)=(/+。-5)k)gj是对数函数，则。=.

题型2对数函数的定义域

例2求下列函数的定义域.

(1次力=—/.:

A/loglx+1

(2)/(x)=^=+ln(x+1)；

(3加幻=logdr-1)(—4x4-8).

跟踪训练2.求下列函数的定义域:

(l)f(x)=lg(x—2)+g^；(2)/U)=log\+i(l6—4x).

题型3对数函数的应用

例3假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增，经过y年后的物

价为x.

(1)该地的物价经过几年后会翻一番？

(2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.

一

物价I24568910

年数y0

【达标检测】

1.下列函数是对数函数的是()

A.y=24-log3xB.y=log«(2^)(a>0,且存1)

C.〉=10乡屋(。>0,且存1)D.y=lnx

3.函数yU)=Y/+lg(5—3x)的定义域是()

A.0,»B.0,1C.1»§D.1,1

3.已知外)=log*

(1)作出这个函数的图象；(2)若火。)勺(2),利用图象求。的取值范围.

参考答案：

二、学习过程

典例1⑴D(2)4(3)-1

[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.

(2)因为函数y=log(2“-ix+(a2—5a+4)是对数函数,

所以«2〃一1r1,解得a=4.

5。+4=0,

(3)设对数函数为«r)=logd3>0且6#1),由6)=4可知k)g〃16=4,

；・。=2,

Ay(x)=logxr,：.^=\og^=-1.］

跟踪训练1答案：2

［由a24-«-5=1得a=—3或。=2.又a>0且在1,所以a=2.］

例2［解］(I)要使函数/U)有意义，贝ijlog；x+l>0,即log；x>一1,

解得(Kt<2,即函数©的定义域为(0,2).

x+l>()>

X>-1,

2一后0，即.

［x<2,

{2一/0

解得一1令<2,故函数的定义域为(一1,2).

p<2,

r-4x+8>0,

⑶由题意得《统一1>0,解得，悬,

12A—1^1,

、洋1.

故函数y=log(2x—l){—4x+8)的定义域为x1<x<2,且x，l

X-2>0,

跟踪训练2［解］(1)要使函数有意义，需满足一八

Lr—#0,

解得x>2且对3,

所以函数定义域为(2,3)U(3,+oo).

16-4A>0,

x+l>0,

)x+1^1,

解得一l<r<()或0<v<4,

所以函数定义域为(-1,0)U(0,4).

例3解：(1)由题意可知，经过y年后物价x为

%=(1+5%/，即％=1.05、(y£［0,+oo)).

由对数与指数间的关系，可得丫二/历及％%^[1，+00）.

由计算工具可得，当z=2时，y~14.

所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.

（2）根据函数丫丸。%,05匕%£[1，+/）•利用计算工具，可得下表:

7

物价/1234568910

二01：2328333710131547

由表中的数据可.以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，

但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.

三、达标检测

1.【答案】D[结合对数函数的形式产logd（a>0且时1）可知D正确.]

jigx加，仔，5

2.【答案】C[由；，八得5即

[5-3A>0,J

3.【答案】（1）作出函数），=k>g水的图象如图所示.

⑵令於）二<2）,即log：优=1唁2,解得x=2.

由图象知：当0<。<2时，恒有・股）勺⑵.

所以所求。的取值范围为0<a<2.

《4.4.1对数函数的概念》同步练习一

基础巩固

1.下列函数，是对数函数的是

x2

A.y=lglOB.y=log3x

C.y=lnxD.y=logl（x-1）

2.对数函数的图象过点3（16,4）,则此对数函数的解析式为（）

A.y=log)%B.y=巾；x

C.y="g；xD.y=log2^

3.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入

研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该

公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lgl.12n

0.05,lgl.3«0.11,lg2«0.30)()

A.2017年B.2018年C.2019年D.2020年

4.下列四类函数中，具有性质”对任意的函数f(x)满足

/(肛)=/*)+/()”的是()

A.幕函数B.对数函数C.指数函数D.一次函数

5.在M=log,”)(x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为

A.(-oo,3]R.(3,4)U(4,+8)

C.(4,+8)D.(3,4)

6.若对数函数/V)与事函数g。)的图象相交于一点(2,4),则/(4)+g(4)=

7.函数/(x)=lg(3'-l)的定义域为

8.若函数y=(，-3a+3)log/是对数函数，则a的值为____.

能力提升

9.函数/(x)=-^+Jg(3x+l)的定义域是()

yJl-X

A.信,2)B.1家)C.[-0D.[0,1)

10.已知函数则，(°)=•=-

11.已知函数/")=loggx+3,若/⑴=2,则/&=_

x8

12.已知对数函数/。)=(〃产-〃1)1。&”加卢求/(27)的值.

素养达成

13.解方程：log2。？+X)=10g2(X+1)+2.

4.4.1对数函数的概念答案解析

基础巩固

1.下列函数，是对数函数的是

x2

A.y=lglOB.y=log3x

C.y=lnxD.y=logl(x-1)

【答案】C

【解析】由对数函数的定义，形如y=log.x(a>0,a^l)的函数是对数函数，由

此得到:y=lglOx=x,

2

y=log3x=2log3|^y」°gjx7)都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数.故

选C.

2.对数函数的图象过点胴16,4),则此对数函数的解析式为()

A.y=logdB.y=x

4

C.y="g；xD.y=log2x

【答案】D

【解析】由于对数函数的图象过点"(16,4),所以4=lo/16,

得a=2所以对数函数的解析式为y=log/,故选D.

3.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入

研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该

公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lgl.12a

0.05,lgl.3-0.11,lg2-0.30)()

A.2017年B.2018年C.2019年D.2020年

【答案】D

【解析】设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得

130(1+O.12)x=200,则x=logic*即x=器督=弋=*=*=

?々4,故2016+4=2020,应选答案D。

4.下列四类函数中，具有性质”对任意的、>o,y>。，函数f(x)满足

/Uy)=/(x)+/(y)”的是()

A.幕函数B.对数函数C.指数函数D.一次函数

【答案】B

【解析】在选项A中，取小)=巴贝y(孙)=⑻嗔),而

/(»+/(加八巴显然不满足题意;在选项B中,取f(x)=log.x,则

/(^)=logfl(xy)=logax+logfly,而/(力+/(丁)=W“工+咋”,显然满足题

意；选项C中,取/(同=心则而/(田+〃加/+/,显然

不满足题意：选项D中，取/")=依+/九则/(孙)=5，+匕，而

f(x)+f(y)=k(x+y)+2bf显然不满足题意.故选B.

5.在M=log,…)(x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为

A.(-8,3]B.(3,4)U(4,+8)

C.(4,+8)D.(3,4)

【答案】B

x+1>0

【解析】由函数的解析式可得<x-3>0,解得3<x<4,或x>4.故选B.

x-3#1

6.若对数函数fa)与幕函数g(%)的图象相交于一点(2,4)，则/(4)+g(4)=

【答案】24

a

【解析】设f(X)=lognx,g(x)=x,

•・•对数函数f(x)与哥函数g(x)的图象相交于一点(2,4),

Af(2)=log„2=4.g(2)=2°=4,

：.f(4)=logil4=21og.l2=2X4=8.

g(4)=4n=(2°)2=42=16,

・・・f(4)+g(4)=8+16=24.

故答案为：24.

7.函数f(x)=联3,-1)的定义域为.

【答案】(0,+⑹

【解析】因为3、-1>0，所以xw(O,+<»),故/(x)的定义域为(。,+8).

8.若函数7=(才一3。+3)1。8/是对数函数，则a的值为____.

【答案】2

'02_I0_1

【解析】由对数函数的定义结合题意可知：「二二，

Q>0及H1

据此可得:Q=2.

能力提升

3r2________

9.函数/(x)=T-+Jlg(3x+l)的定义域是()

\J\-X

A.信收)B.1家)C.[-0D.[0,1)

【答案】D

1—A>0

/、l-x>0

【解析】由题意可得1g3X+120=lgl,即解得0工戈<1,

/3x+l>1

3x+l>0

因此，函数y=〃力的定义域为[0,1),故选:D.

10.已知函数/(%)=喘二工1，则f(0)=________,=—

【答案】I0

【解析】由分段函数的定义可得/•(())=2°=1,则/'(/(O))=r(l)=10g3l=0,

应填答案1,0。

11.己知函数/。)=log式若/。)=2,则/.(：)=_________.

x8

【答案】2

【解析】因为/(1)=2,

所以log3(6/+l)=2,

解得a=8,函数/(x)=log3(8x+J

从而/21=1惕8x)+8=2.故答案为2.

\07IS,

12.已知对数函数/。)=(〃/-"1)1。&办|/,求/(27)的值.

【答案】3

nf-/n-1=1

【解析】因为/(x)是对数函数，故＜〃?+1＞。，解得/〃=2,

”?+1¥1

所以〃力=1娱炉，/(27)=log327=3.

素养达成

2

13.解方程：log2(x+x)=log2(x+1)+2.

【答案】x=4

【解析】解：10g2(x2+X)=】0g2(X+1)+2,

即为Iog2(x2+X)=log2(4x+4),

可得x?+x=4x+4,

即X?-3x-4=0,

解得x=4或x=-1,

当x=4时，满足x+l>0,x2+x>0成立;

当x=-1时，x+1=0不成立.

则原方程的解为x=4.

《4.4.1对数函数的概念》同步练习二

一、选择题

1.下列函数是对数函数的是()

A.y=log:t(x4-l)B.y=log8(2x)储>0,且a#l)

C.y=log..y(a>0,且aWl)D.y=lnx

2.己知/(/)=log2X,贝()

“JC.3D.73

2ev_,,x<2,

3.设〃力=则f[f(2)]的值为(

2)

log3(x-l),x>2,

A.OB.eC.2D.2e

4.设集合A={x|-3W2x-1W3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,

则AAB=()

A.(1,2)R.[1.2]C.[1,2)D.(1,2]

函数〃M七+代7定义域为()

5.

A.(0,2]3.(0,2)C.(0,1)U(1,2]D.(-co,2]

6.在n=loga_3)(6—m)中，实数m的取值范围是()

A.m>6或m<3B.3<m<6

C.3<m<4或4<m<6D.4<m<5

二、填空题

e"xW01

7.设g(x)=〈，’一八，则g(g(1))=______.

Inx,x>03

8.函数y="-2、+唾2次-1)的定义域是-

9.大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究蛙鱼的科学家发现鞋鱼的

游速可以表示为函数》=：1。g3签，单位是m/s,其中。表示住的耗氧量的单

位数.当一条鞋鱼的游速为L5m/s时，这条蛙鱼的耗氧量是个单位.

10.已知=f(lga)=Vi0,则a的值为.

三、解答题

11.设函数/（X）=lg（X+&+1）.

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性.

12.2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号

乙”运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射

升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已口臻成

熟.若已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x

之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式

为：y=k［\n（m+x）-ln（>/2/n）］+5In2（其中kWO）.当燃料重量为（&一l）〃z吨

（e为自然对数的底数，e*2.72）时，该火箭的最大速度为5km/s.

（1）求火箭的最大速度y（千米/秒）与燃料重量x（吨）之间的关系式y=fW.

（2）已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最

大飞行速度达到10千米/秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道？

4.4.1对数函数的概念

一、选择题

1.下列函数是对数函数的是（）

A.y=log3（^+l）B.y=log“（2x）3>0,且aWl）

C.y=log..y（a>0,且aWl）D.y=lnx

【答案】D

【解析】形如）=/。8/<〃>0且〃工1）的函数为对数函数，只有D满足.故选D.

2.已知/（力=1电］，则/（代）=（）

A.1B.1C.3D.G

23

【答案】A

【解析】•・•/")=log21，.•・/(&)=1呜2、；.故选A.

<2

3.设f(x)=\；,、x’则f[f(2)]的值为()

2

')[log3(x-l),x>2,

A.0B.eC.2D.2e

【答案】C

7

【解析】由题意可知，/(2)=log3(2-l)=l,所以

/[/(2)]=/(1)=2e'-'=2e°=2.故选C.

4.设集合A={x|-3W2x-1W3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域，

则ADB=()

A.(1,2)B.[b2]C.[1,2)D.(1,2]

【答案】D

【解析】因A={X|-3W2X-1W3}="|-YXW2},B={x㈤1},故Ac8=(l,2],

选D。

5.函数/*)=J一+6工定义域为()

lgx

A.(0,2]3.(0,2)C.(0,1)U(1,2]D.(-«>,2]

【答案】C

x>0

【解析】使/（"=「+万二有意义满足/gxwO・・・0<大《2且人工1,故选

孰[2-x>0

C.

6.在n=loge_3）（6—DI）中，实数m的取值范围是（）

A.m>6或m<3B.3<m<6C.3<m<4或4<m<6D.4<m<5

【答案】C

6-m>0,

【解析】由题意得《-3>0,.•・3<ni<6且m#4.

"?一301,

二、填空题

7.设则g(g(：))=_________.

Inx,x>03

【答案】|

【解析】••・g(x)=-\=ln-<ln\=O,

bix,x>013J3

x

8.函数y=y/4-2+log2(x-l)的定义域是.

【答案】。,2]

4-2x>0

【解析】由题意得｛।,解得l<x<2,

x-l>0

故函数y="^+log2"-l）的定义域是（1,2],故答案为（1,2].

9.大西洋雄角每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究蚌角的科学家发现鞋角的

游速可以表示为函数y=；log3盖，单位