《23二次函数与一元二次方程、不等式》考点讲解、同步练习与培优

《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》考点讲解与同步练习

【思维导图】

d=5?_4acd>04=04<0

必

(»0)的图象Apv$4

有西个不相等的实数根

有两个相等的实数

-Vd-t*Vd

关系X.=----------,X,=-----------血b没有实效根

三(*>0)的根2a12a根%=当=-五

个

二

次

二

次

数

函AX+6x+c>0

{x|x<玉.哦x>毛}

元R

一Q>0)的解集

次

二

+Ax-l-c<0

程

方

{x|x,<x<x2)00

不

等Q>0)的解集

太

或

一元二1次解法(无参数)》因式分解所配方法》判别式

(1)若二次项系数含布参数，则需对二次项系数大于0与小于Q进行讨论;

含参的一元二次卜(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式△进行讨论：

----------------------A(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.

元

一①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，利用判别式来求解。

次

二②一元二次不等式f(x)20在x€[a,b)上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，

成

恒

求其最小值，让最小值大于等于从而求参数的范围.

问0,

立

⑧一元二次不等式对于参数mW[a,b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知

题

道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范境，谁就是参数.

【常见考点】

考点一解无参数一元二次不等式

【例1】解卜列不等式:

（1）x2—x—6>0：

（2）25X2-10X+1>0：

（3）-2X2+X+1<0.

【一隅三反】

1.解下列一元二次不等式：

（1）-X2+7X>6;

（2）4（2X2-2X+1）>X（4-A）.

2.解不等式：一1<丁+2工一1,,2.

3.不等式二之2的解集是______.

x-l

考点二解含有参数的一元二次不等式

【例2】解关于X的不等式：—（/+2»+2〃>0（6/GR）.

【一隅三反】

1.求关于X的一元二次不等式/一工一4（。+1）〉0的解集.

2.解关于*的不等式ax2-2（«+l）x+4>0（。eR）.

3.解关于X的不等式aV—（a+Dx+l<0.

考点三三个一元二次的关联

【例3】（1）设一元二次不等式加+法+1>0的解集为｛x\-\<x<2｝则ab的值为（）

A.1B.---C.4D.---

42

⑵已知方程父+（〃?—2）1+5—机=（）的两根都大于2,则实数力的取值范围是（）

A.(-5,-4]iJ[4,+CO)B.(-5,-4]

C.(-5,*o)D.[-4,-2)U[4,-KX>)

【一隅三反】

1.已知关于戈的不等式/一&[一。〈0的解集是（2,3）,则〃+〃的值是（）

A.-11B.11C.-1D.1

2.一元二次不等式办2+/求+2>0的解集是（一：，；），则4+力的值是（）

A.10B.TOC.14D.-14

3.关于“的不等式/+*一2<（）的解集为伍/），则〃+9=.

4.已知关于X的不等式笠;<0的解集是（-8,-1）=（-；,+oc）,则4=__

考点四一元二次的恒成立

【例4】⑴已知关于X的不等式a？—2X+3”。在（0,2]上有解，则实数。的取值范围

是（）

（2）若关于工的不等式2/—8x—4+a<0在1WXW3内有解，则实数。的取值范困是

（）

A.^<12B.a>\2C.a<\0D.^>10

【一隅三反】

1.若命题“存在xeR,9+（〃-3）x+4v0”为假命题，则实数。的取值范围是

2.不等式x?+ax+4Vo的解集不为空集，则a的取值范围是（）

A.[-4,4]B.（-4,4）

C.（—8,—4]U[4,+8）D.（—8,—4）J（4,+°0）

3.若不等式V—办+〃<。的解集是口|2〈工<3},求不等式历：2一批+1>。的解集;

（2）若不等式/一〃?氏+（阳+7）>0在实数集/?上恒成立，求机的范围.

考点五实际运用题

【例5】某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又

需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单

位：万元）的函数为/?=5工-：/（（度|卜5）,其中x是产品生产并售出的数量（单位：百

台）.

（1）把利润表示为年产量的函数.

（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？

（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？

【一隅三反】

1.国家原计划以2400元//的价格收购某种农产品按规定，农户向国家纳税为:每收入

100元的税为8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，

根据市场规律税率降低丫个百分点，收购量能增加2『个百分点，试确定*的范围，使税率调低

后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.

2.某小企业生产某种产品，月销售量x（件）与货价p（元/件）之间的关系为p=160-2x,

生产x件的成本/MSOO+BOX元该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？

2.3二次函数与一元二次方程、不等式答案解析

考点一解无参数一元二次不等式

［例1］解下列不等式：

（1）/一工一6>0；

（2）25X2-I0X+I>0：

（3）-2X2+X+1<0.

【答案】（1）{x|xv-2或x>3}；（2）,XXH（，；（3）或x>l}.

【解析】⑴不等式f_x_6>0即为（x+2）（x-3）>0,解得xv—2或x>3,

2

因此.不等式X-X-6>0的解集为{中v-2或K>3}：

（2）不等式25f-10x+l>0即为（5工-1）2>0,解得工弓，

因此，不等式25f-10x+l>0的解集为•工工工1»;

（3）不等式一2/+工+1<0即为2/一%一1>0,即（2X+D（X-1）>0,解得x<-g或

x>\.因此，不等式—2/+工+1<0的解集为[x一；或1}.

解不含参数的一元二次不等式有以下3种方法：

方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形

式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.

方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始

终大于或等于零，不等式的解集易得.

方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法

【一隅三反】

1解下列一元二次不等式:

(1)-X2+7X>6：

（2）4（2X2-2X+1）>JV（4-A）.

2

【答案】（1）{A|1<X<6}：（2）{x|x^-）.

【解析】⑴不等式—f+7x>6,即一父+7]-6>0=（7：+6乂1-1）>0,对应抛物

线开口向下，不等式解集为“两根之间”，所以解集为{x|l<x<6}

⑵4（2/-2x+l）>x（4-x）,化简9/-12X+4>0，对应方程A=0,方程的根

22

X=占=§所以解集为

2.解不等式：一+2X-1”2.

【答案】-2或0<工，1）.

【解析】原不等式可化为4,-,c

k+2x-l„2,

x2+2x>0,X(JC+2)>0,网-2曲)0,

即〈？即

x~+2.x—3W0,(x+3)(x-l)„0/,|-3giJv1.

如图，结合数轴，可得原不等式的解集为｛乂―a,x<—2或0<工」｝.

-3-201

t—2

3.不等式一二之2的解集是

x-i

【答案】［0,1）

T-2rx(x-l)<0

【解析】原不等式可化为一:一2之0即——40,所以，

x-1x-1工一1W0

故OKxvl,所以原不等式的解集为［0,1）.故答案为：［0,1）.

考点二解含有参数的一元二次不等式

【例2】解关于x的不等式：〃2_（"+2»+2。>0（。€R）.

2

【答案】当〃=0时，解集为｛x|x<0｝；当0<〃<&时，解集为或XV。｝；

2?

当4>正时，解集为｛x|x>。或不<一｝：当一夜<々<0时，解集为：

aa

当a<—时，解集为｛x|a〈xv—｝；当a=时，解集为

a

当。=-及时，解集为0：

【解析】由a$一（力+2）x+2a>0（。eR）.则（or-2）（x-a）>0

因为aeR,故对。分情况讨论

当a=0时，则一2%>0,所以x<0,不等式的解集为｛x|x<0｝

L9

当Ovav血时,由（〃1-2）。一〃）>。,不等式的解集一或XV。｝

a

2

当a>啦时,不等式的解集为｛x|x>〃或x<-｝

a

2

当—\/5<a<0时,不等式的解集为｛x［—<x<。｝

a

2

当〃<-血时，不等式的解集为｛幻。<工</｝

当々=0时.不等式的解集为0}

当〃=-及时，不等式的解集为0

解含参数的一元二次不等式时

(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0,a=0,a<0;

(2)关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(/>0),一根(2=0),无根(4<0);

(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：死〉牝，必=肥，x<此.

【一隅三反】

1.求关于x的一元二次不等式x2-x-a(a+\)>0的解集.

【答案】详见解析•.

【解析「二％2—工―4(4+1)>。，，(工+4)[%一(4+1)]>。，令(x+a)[x-(a+l)]=。,

「.％=一。，/=。+1，

(1)当。>一3时，即。+1>-4,解集为5|工<一。，或犬>。+1}.

(2)当。=一1时，HPa+\=-a=—,解集为

222j

(3)当〃<一；时，B|Ja+i<-a,解集为{x|x<a+l,或x>一。}.

2.解关于x的不等式ax2-2(«+l)x+4>0(。eR).

【答案】分类讨论，答案见解析.

【解析】当4=0时，不等式一2x+4>0的解为x<2：

当。工0时，不等式对应方程的根为工二0或2,

2

①当a<0时，不等式ad-2(。+l)x+4>0(aeR)即(一分一2)(x+2)<0的解集为

②当0<a<l时，不等式(如-2乂工-2)>0的解集为(-a),2)u(：,+8

③当a=l时，不等式(》+2丫>0的解集为(-<^2)52,+8)：

④当时，不等式(。女—2)(工一2)>0的解集为1-8,jJu(2,+8).

综上所述，当。=0时，不等式解集为（7）,2）；当〃<0时，不等式的解集为2）；当

（2、

0<。<1时，不等式的解集为（一应2）。-,+oo；当”=1时，不等式的解集为

（-oo,2）u（2,+<x>）；当时，不等式的解集为-00,［）=（2,+<»）.

3.解关于才的不等式a/—（a+l）x+l<0.

【答案】见解析

【解析】原不等式可化为（纨-1）（彳-1）<0

当a=0时，原不等式解为才〉L

当水0时，不等式可化为

a

I.1.

*/-<1,...xc—或*>1.

aa

当a>0时，原不等式可化为Q-L）（X-］）<O

a

若即a>l,则

aa

若'=1,即a=1,则XW0;

a

若1,即0<a<l,则

aa

综上所述，当水0时，原不等式的解集为或x>l｝；

a

当a=0时,原不等式的解集为｛川》1｝；

当0〈水1时，原不等式的解集为｛x|l<x<，｝；

a

当a=l时，原不等式的解集为0：

当苏1时，原不等式的解集为

a

考点三三个一元二次的关联

【例3】（1）设一元二次不等式小+法+1>（）的解集为闻一|<工<2｝则"的值为（）

11

A.1B.——C.4D.一一

42

⑵已知方程，+（〃7-2）丫+5—〃7=0的两根都大于2.则实数，〃的取值范围是（）

A.(-5,-4]u[4,+oo)B.(-5,-4]

C.(-5,+(x>)D.[-4,-2)D[4,+CO)

【答案】(1)B(2)B

【解析】由题意可知方程ar?+法+1=0的根为T,2,所以有

「b1

-1+2=—a=——

a{2.球)=——

-1,14

-1x2=—b=—

a2

（2）方程/+（利-2）工+5一加=0的两根都大于2,则二次函数），=丁+（团-2）元+5-〃?

的图象与x轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式ANO：当x=2时

("7-2)2_4(5-/?*)>0

/1,—2

函数值y>0；函数对•称轴一一—>2。即，4+2("[-2)+5一〃？>0,解得-5<m<-4,

一02

2

所以正确选项为B.

1.一元二次不等式a文+bx+c>0（*0）的解集的端点值是一元二次方程ax+bx+c=0的

根，也是函数"二次+川+仁与^轴交点的横坐标.

2.二次函数产="+6x+c的图象在x轴上方的部分，是由不等式aV+bx+c>0的x的

值构成的；图象在x轴卜方的部分，是由不等式/+纵+。<0的x的值构成的，三者之间

相互依存、相互转化.

【一隅三反】

1.已知关于X的不等式f一这一人<0的解集是（2,3）,则Q+方的值是（）

A.-11B.11C.-1D.1

【答案】C

【解析】若关于x的不等式丁一斯一〃<0的解集是（2,3），则2,3是方程/一以一人二。

的根，故。=5,Z?=-6故〃+b=—1,故选：C.

2.一元二次不等式办2+〃x+2>0的解集是（一；1］，则4+力的值是（）

A.10B.-10C.14D.-14

【答案】D

【解析】根据题意，一元二次不等式数2+/»+2>0的解集是

则方程^2+6工+2=0的两根为一;和（，

1b

H—=------

3a

则有〈।2，解可得。=-12,b=-2,贝Ji〃+〃=一14,故选：D.

X-=—

<~2;3a

3.关于工的不等式f+*—2<0的解集为（如），则〃+4=

【答案】-1

【解析】由题意，方程W+2=（）有一个根为1,得〃=1,则不等式为丁+%-2<0,

其解集为（-2,1）,得夕=-2,p+q=-\,所以答案为T.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式和一元二次方程的关系.

4.已知关于x的不等式竺4<0的解集是（-8,-1）。|一：,+8］，则。=___.

x+1I2）

【答案】-2

【解析】因为不等式空?<0等价于（尔-。"+1）<0,乂其解集是

x+1

/1A1

（YO,-1）。--,-KO,所以—彳和T是关于X的方程（以-l）（x+l）=O的两个根,

I2J2

因此,=一］,解得。=—2,故答案为一2

a2

考点四一元二次的恒成立

【例4】（1）（已知关于X的不等式or2—2x+3a<0在（0,2］上有解，则实数〃的取值范

围是（）

（2）若关于x的不等式2/—8x—4+a<0在1WXW3内有解，则实数。的取值范围是

)

A.a<\2B.a>i2C.«<IOD.^>10

【答案】（1）A（2）A

【解析】（1）x«0,2]时，K等式可化为心+?<2；

当。=0时，不等式为0<2,满足题意；

当〃>（）时，不等式化为x+3<2,则2>2、。3=26,当且仅当x=g时取等号,

xaaVx

所以a<曲,RPO<a<—；

33

32

当〃<0时，x+->—恒成立：

xa

综上所述，实数。的取值范围是（-8,乎）答案选/I

（2）原不等式2f—8x—4+aK0在内有解等价于a<-2产+8x+4在

1WXW3内有解，设函数/（x）=-2f+8x+4,xe[l,3],所以原问题等价于

又当x=2时，/（耳皿=12,所以a412.故选；A.

一、求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：

1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题，

设4M=ax+bx+戊k0),贝lj

*M>0恒成立Oa>0且/<0；XM20恒成立0方>0且4«0；

*M<0恒成立Oa<0且/<0;恒成立0方<0且.

注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论a=0的情况.

2,°将参数分离出来,利用等价转化思想转化为求函数的最值问题

(转化为4M>a或KMNa或4x)<a或人恒成立的问题)即：

(1)存在成立

若在定义域内存在最大值加，则恒成立oa>m；

若在定义域内存在最大值加，则恒成立。am;

若在定义域内存在最小值m,则>a恒成立<=>a<m;

若在定义域内存在最小值m,则恒成立。屋6.

(2)恒成立

在定义域。上，不等式/(工)<〃?恒成立，则〃A/Wmax，不等式/(工)<〃2能成立，则

m>fWmin,不等式/(x)>m恒成立，则>/(x)min,不等式f(x)>〃?能成立，则

加>/(X)max•转化时要注意是求最最小

【一隅三反】

1.若命题“存在xeR,V+g—3)x+4v0”为假命题，则实数。的取值范围是一

【答案】[T7]

【解析】由题意可知，命题”对任意的XER,/+(〃-3)/+420”为真命题，

.•.A=(67-3)2-16=t/2-6^-7<0,解得一1工。47.

因此，实数。的取值范围是卜1,7].故答案为：

2.不等式x?+ax+4Vo的解集不为空集，则a的取值范围是()

A.[-4,4]B.(-4,4)

C.(-8,-4]U[4,+8)D.(—8,—4)J(4,+8)

【答案】D

【解析】不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,只需A=a?-16>0,，a<-4或a>4,

故选D.

3.（1）若不等式/一奴+8<0的解集是{工|2<工<3},求不等式加1一办+i的解

集；

（2）若不等式V一〃犹+（/”+7）>0在实数集R上恒成立，求，”的范围.

【答案】（1）或/<?»；（2）2-4&<〃?<2+4拉.

【解析】（1）•.•/一依+〃<0的解集是"|2<X<3},

2+3=afa=5

所以2,3是方程V—依+方=0的根，由韦达定理得.,/

2x3=Z?[Z?=6

不等式bx1—cix+\>0化为6x2-5x+1>0♦解得（2工-1）（3九-1）>0,

所以或工

23.

（2）由题意可得，/<（）,&|JW2-4X1X（W+7）<0,整理得〃/_4/〃一28<0,

解得2-4及<〃z<2+4&.

考点五实际运用题

【例5】某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.£万元，但每生产1百台时又

需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单

位：万元）的函数为R=5x-领卜5）,其中x是产品生产并售出的数量（单位：百

台）.

（1）把利润表示为年产量的函数.

（2）年产量为多少时，企业所得利涧最大？

（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？

一--X24-4.75X-0.5（（^I]V5,,

【答案】（1）y=<2；（2）475台；（3）年产量在11台到4800

12-0.25/*>5）.

台之间时，企业不亏本.

5x--x2-0.5-0.25.r(0^ik5),

2

【解析】(1)设利润为y万元，得y=<

5x5一；x5z一0.5一025x(X>5).

-----X+4.753-0.5(碱5),

即y2

12—0.25x(x>5).

(2)显然当04x45时,企业会获得最大利润,

2

此时，y=-l(x-4.75)+10.78125,

/.A:=4.75,即年产量为475台时，企业所得利润最大.

(3)要使企业不亏本，则丁20.

0<x<5,

x>5,

即117

——X2+4.75X-0.5>012-0.25x20,

,2

得0.11KXW5或5<xW48,即0.11KxK48.

即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.

【一隅三反】

1.国家原计划以2400元//的价格收购某种农产品〃底按规定，农户向国家纳税为:每收入

100元的税为8元(称作税率为8个百分点，即战).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,

根据市场规律税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点,试确定*的范围，使税率调低

后，国家此项税收总收入不低干原计划的78%.

【答案】{#0<xW2}

【解析】设税率调低后的“税收总收入”为y元,则

12/\

y=2400/7/(1+2x%+6)(8-x)%=--m(1+42x-400)(0vx，8).

依题意,得％2400mx8%x78%,

i,

BP--m(x2+42x-400)..2400〃?x8%x78%,

整理，得f+42x—88«0,解得

根据X的实际意义,知0<几,8,所以0<x«2为所求.

故*的取值范围是{幻0<2}.

2.某小企业生产某种产品，月销售量x(件)与货价p(元/件)之间的关系为〃=160-2x,

生产x件的成本r=5(X)+3(k元.该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？

【答案】20-45

【解析】设月产量为八件.由题意可知(160-2x)xx-(5OO+30x)^1300,即

^-65x+900<0.^20<x<45.

《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》同步练习

【题组一解无参数的一元二次不等式】

解下列不等式：

(1)3X2-X-4>0;<2)X2-X-12<0;

(3)X2+3X-4>0：(4)16-8X+X2<0.

(5)--y+3A-5>0(6)-2?4-3A—2<0；

2

(7)-2V炉一3启10.

【题组二解有参数的一元二次不等式】

1.设函数/(4)="吠2-("?+1)X+1.

(1)若对任意的xwR,均有/(幻+620成立，求实数〃i的取值范围;

(2)若〃20,解关于x的不等式

2.解关于x的不等式：ax2-2>2x-ax(a<0).

3.设〃zwR,解关于x的不等式〃/V+2nvc-3<0.

4.解关于*的不等式：mx2+(///-2)x-2>0(/?7GR).

5.解关于*的不等式：•？一(々+。2)3+4>0.

/7r—1

6.解关于x的不等式：-一>0.

x-a

7.解下列含参数的不等式：

（1）/_如_2a2<0；

（2）ar2-（l+6z）x+l<0；

（3）3x2-fnx-m<0.

【题组三三个一元二次的关系】

1.关于x的不等式f+ar-3<0,解集为（-3,1）,则不等式以2+工一3<0的解集为

（）

13

A.(1,2)B.(—1,2)C.(—.1)D.(----,1)

22

2.若方程f+（〃7+2）x+m+5=0只有正根，则用的取值范围是（）

A.«-4或，〃24B.-5<m<-4

C.—5<m<-4D.-5<m<-2

3.已知一元二次不等式/+呼+4<0的解集为一求不等式

qx2+px+1>0的解集.

4.关于X的方程，加2+（2"z+l）x+〃7=（）有两个不等的实根,则，〃的取值范围是（）

11

A.--,+ooC.--,+00D(…

I44

5.已知〃<0,关于"的一元二次不等式⑪2-（2+。）上+2>0的解集为（）

22

A.{x|x<—,或x>l}B.<X|—<x<1►

a

2

C.{x|x<1,或x>一D.〈x11<x<一»

a

6.关于x的不等式or2+/〃-+2〉（）的解集为｛x1—1<x<2j.

（1）求。涉的值:

(2)求关于X的不等式法2一分一2>0的解集.

7.已知关于*的不等式区2-2工+6%<0,伏工0)

(1)若不等式的解集是卜|/<—3或x>—2},求k的值：

(2)若不等式的解集是北求女的取值范围：

(3)若不等式的解集为0,求A的取值范围.

8.已知关于x的一元二次方程/一2(左—1)尤+公一1=()有两个不相等的实数根.

(1)求立的取值范围；

(2)若该方程的两根分别为不占，且满足%+%=2玉%，求攵的值.

9.已知关于x的不等式kjc-2x+64<0(女工0).

(1)若不等式的解集是{x|/<-3或工>-2},求〃的值.

(2)若不等式的解集是［d求A的值.

、k,

(3)若不等式的解集是分求女的取值范围.

(4)若不等式的解集是0,求4的取值范围.

【题组四一元二次恒成立问题】

1.当xw(l,3)时，不等式/—如+4>0恒成立，则实数机的取值范围是__________.

2.对任意*£吊函数F(x)=y+(〃L4)『H—2"的值总为非负，则m的取值范围为.

3.对任意实数人不等式丁+2(1+攵)工+3+”>0恒成立，则立的取值范围是____.

4.若不等式2收+履一］<。对一切实数天都成立，则攵的取值范围为.

O

5.己知函数/(力=/+改+2,4£扭.

(1)若不等式的解集为［1,2］,求不等式“X)21一炉的解集;

(2)若对于任意的不等式/(x)«2a(x-l)+4恒成立，求实数。的取值范围：

(3)已知g(x)=ad+(a+2)x+l,若方程/。)=g(x)在1,3有解，求实数。的取

值范围.

6.已知集合{xeR,一(攵+2.一3攵+1NO}=(-OO,-1］35,+CO).

（I）求实数k的值:

（II）已知fw（-oo,2）,若不等式x2—（％+2）工一3%—"72+4，九+15之0在1«工工4上恒

成立，求实数，〃的取值范围.

【题组五实际运用题】

1.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价0（元）之间的关系为

P=16（）-2x,生产x件所需成本为C（元），其中。=（500+30”元，若要求每天获利

不少于1300元，则日销售量x的取值范围是（）.

A.1X|20<X<30,XGN+}B.{X[20<X«45,XGN.}

C.{x|l5<x<30,xeN+JD.{x|15<x<45,xeN+j

2.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件，现准备采用提高

售价来增加利润，己知这种商品每件销售价提高1元销售量就要减少10#-.那么要保证每天

所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为（）

A.12元B.16元C.12元到16元之间D.10元到14元之间

3.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽

车的平均速度/（千米/小时）之间的函数关系为：,70°V—（v>0）.

V+2v+9（X）

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留

分数形式）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？

4.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为

10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入

成本增加的比例为窸（0<%<1）,则出厂价相应地提高比例为凰痔;%、同时预计年销售量

增加的比例为电祗曲如，已知年利润=（出厂价-投入成本）X年料售量.

（1）写出本年度预计的年利润?与投入成本增加的比例器的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比窸应在什么范围内？

2.3二次函数与一元二次方程、不等式答案解析

【题组一解无参数的一元二次不等式】

解下列不等式：

(1)3X2-X-4>0：⑵X2-X-12<0：

(3)X2+3X-4>0;(4)16-8.r+x2<0.

(5)f+3*—5>0(6)—2x'+3x—2V0；

2

(7)-2<r-3^10.

4

【答案】(1)｛x|x<-l或)>§｝：(2)｛x|-3<x<4｝;(3)｛x[x<T或X>1｝；

(4)｛x\x=4｝.(5)0(6)R(7)[-2,1)U(2,5]

【解析】(1)由题意，不等式3/2-汇-4=(工+1)(3工一4)>0,用不等式的解集为｛打工〈一1

-4,

或大>§｝；

(2)由题意，不等式％2一x-12=。-4)@+3)60,则不等式的解集为｛川一3工不工4｝；

(3)由题意，不等式戈2+3X一4=(4+4)(工一1)>0,则不等式的解集为代|工<-4或工>1｝；

(4)由题意，不等式16—8x+/=(x—4尸<0,则不等式的解集为｛x|x=4｝：

(5)原不等式可化为y-6*+10<0,J=(-6)2-40=-4<0,所以方程/-64+10=0

无实根，又二次函数j，=f一n+10的图象开口向上，所以原不等式的解集为0

(6)原不等式可化为2*—3八+2>0,因为4=9-4X2X2=-7V0,所以方程2系一3*+

2=0无实根，又二次函数y=2*-3x+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R

(7)原不等式等价于《，丁,①可化为f-3>+2>0,解得x>2或xVl

X2-3X<10②

②可化为42—3才一10忘0,解得一2WxW5.故原不等式的解集为[-2,1)U(2,5]

【题组二解有参数的一元二次不等式】

1.设函数/(x)=〃i/-(〃?+l)x+l.

(1)若对任意的xwR,均有/(%)+〃?20成立，求实数〃，的取值范围；

(2)若〃z>0,解关于x的不等式/*)vO.

【答案】(1)/n>|：(2)答案见解析.

【解析】(1)由题意得，/。)+，〃之0对任意的xeR成立，

即nix1一(〃?+l)x+/??+1>0对任意的xeR成立，

①当〃?=0时，-x+120,显然不符合题意:

」〃?>0机>0

②当〃2工0时，只需〈A,八，即,\2"/八，

A<0[(??/+1)-4Z/Z(/?24-1)<0

m>0I

化简得C1W八、八，解得小之彳，

(3〃?一l)(〃7+l)203

综上所述，—.

3

(2)由f(x)<0得mx1-(in+l)x+l<0,

即0一1)(〃氏-1)<0,

①当”=1时，*一1)2<0,解集为0;

1(1A

②当相>1时，一<1,解集为一,1:

m\fnJ

③当时，—>1,解集为卜,，］.

m\m)

2.解关于x的不等式：ax2-2>2x-ax(a<0).

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】原不等式移项得加+(々-2)%-220,即(x+l)(5一2)20.

*.*a<0,(x+1)卜---40

2

当一2<。<0时，-<x<-l

当。=-2时，x=-1

2

当。<一2时，-l<.r<-

a

综上所述：

2'

当一2<。<0时，解集为

a

当〃二一2时，解集为{乂%二-1}

当4<一2时，解集为JX|一］4X<£，

3.设〃?eR,解关于x的不等式加2丁+2〃a一3<0.

【答案】详见解析

【解析】①麻=(@时，-卷Y励恒成立.

②〃7>0时，不等式可化为(〃a+3)(〃比-1)<0,即+-■<0

3131

而<一，此时不等式的解集为---<x<一;

mm

③当〃7<0时，不等式可化为("a+3)(如-1)<0,即

in八m7

3I13

而一一>-,此时不等式的解集为《