《高等几何》课程教学大纲

《高等几何》课程教学大纲

课程编码：同培养方案的课程编码

课程性质：专业方向限选课程

适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学

学时学分：34学时2学分

所需先修课：欧式几何、解析几何、线性代数

编写单位：数学与信息科学系

一、课程说明

1、课程简介

高等几何是数学与应用数学专业的专业选修课程，高等几何是欧式几何的拓

广。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用，而且在论证方

法、思维方式还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。

本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习高维

空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维。在内容

编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与

严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解题方

法的分析。

2、教学目标要求

通过高等几何（或射影几何）的学习，可以使学生从较高的观点处理初等几

何、解析几何的一些问题，以便更深入地理解中学几何教材，并掌握近代几何知

识与方法，这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养

都起着特别重要的作用，从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。

3、教学重点难点

重点：仿射坐标系、仿射变换的代数表示；射影直线和射影平面、对偶原理、

德萨格定理；交比与调和比一维射影坐标；平面上几个重要的变换群；理解并

掌握二次曲线的射影定义，配极原则。

难点：仿射性质；无穷远元素、复元素；二维射影变换与二维射影坐标；变

换群与几何学关系；巴斯卡与布利安双定理。

4、考核方式

本课程是考查课，考试的形式是开卷，平时20%、期末80%

5、学时分配表

理论课实验（实践）

章次教学内容

学时数课学时数

第一章仿射坐标与仿射变换6

第二章射影平面10

第二早射影变换与摄影坐标14

笫四章变换群与几何学4

小计

总计34

二、各部分教学纲要

第一章仿射坐标与仿射变换（6学时）

教学目标

1、掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换

2、熟练求出仿射变换的代数表示式

3、理解仿射性质

本章重点

仿射坐标系、仿射变换的代数表示

本章难点

仿射性质

教学内容

第一节透视仿射对应

一、单比

二、透视仿射对应

三、仿射性质

第二节仿射对应与仿射变换

一、两条直线间的仿射对应

二、两个平面间的仿射对应

三、仿射变换

第三节仿射坐标

一、仿射坐标

二、单比公式

三、仿射变换的代数表示

四、几种特殊的仿射变换

第四节仿射性质

一、仿射性质

二、仿射不变量

三、利用仿射性质解决问题

思考题

1、已知变换对应点求变换代数式

2、不变点的集合是不变直线，反之不变直线上的点是否都是不变点

3、如何利用仿射性质求封闭图形的面积

三、使用教材及参考书

[1]邓宗琦《数学家辞典》湖北教育出版社1990年版

[2]方德植陈奕培《射影几何》高等教育出版社1983年版

[3]梅向明编《高等几何学习指导》高等教育出版社2005年

第二章射影平面（10学时）

教学目标

1.掌握射影直线和射影平面

2.熟练掌握的萨格定理及其逆定理

3.理解并掌握齐次坐标，对偶原理

4.了解复元素的概念

本章重点

射影直线和射影平面、对偶原理、德萨格定理

本章难点

无穷远元素、复元素

教学内容

第一节射影直线和射影平面

一、中心射影，无穷远元素

二、射影直线，射影平面

三、图形的射影性质

四、德萨格定理

第二节齐次坐标

一、齐次点坐标，齐次坐标方程

二、齐次线坐标

三、无穷远点，无穷远直线的方程

第三节对偶原理

一、对偶元素，对偶图形

二、对偶命题与对偶原则

三、代数对偶

四、德萨格定理的代数证明

第四节复元素

一、二维空间的复元素

二、二维共轨复元素

思考题：

1、德萨格定理在初等几何中的应用

2、如何理解无穷远元素

3、齐次坐标与普通坐标有何不同？为什么引入齐次坐标？

4、熟练利用对偶原理作图

5、如何理解复直线上有唯一实点、过复点有唯一实直线

三、使用教材及参考书

参考书：

[1]朱德祥《高等几何》高等教育出版社1983年版

[2]方德植陈奕培《射影几何》高等教育出版社1983年版

[3]梅向明编《高等几何学习指导》高等教育出版社2005年

[4]周兴和编《高等几何》科学技术出版社2003年

第三章射影变换与射影坐标（14学时）

教学目标

1、掌握交比与调和比基本结论

（1）交比的定义（2）交比的求法（3）交比的性质（4）交比的几何意义

2、理解一维射影变换

（1）一维基本型的透视对应（2）一维基本型的射影对应

3、熟练掌握一维射影坐标会求坐标变换式自对应元素对合元素

4、理解并掌握二维射影变换与二维射影坐标熟练求出不变元素

本章重点

交比与调和比一维射影坐标

本章难点

二维射影变换与二维射影坐标

教学内容

第一节交比与调和比

一、点列中四点的交比与调和比

二、交比计算方法

三、线束中四直线的交比与调和比

四、完全四点形与完全四线形的调和性

第二节一维射影变换

一、一维基本形的透视对应，透视轴

二、一维基本形的射影对应

三、帕普斯(Pappus)定理

四、一维射影变换

第三节一维射影坐标

一、直线上的射影坐标系

二、一维射影对应(变换)的代数表示式

三、对合对应

第四节二维射影变换与二维射影坐标

一、二维射影变换

二、二维射影坐标

三、二维射影对应的弋数表示式

思考题

1、共线四点交比与共点四线交比的求法比较

2、正确理解完全四点形完全四线形的调和性

3、对合对应的代数表示

4、二维射影变换的不变元素如何球

三、使用教材及参考书

参考书：

[1]邓宗琦《数学家辞典》湖北教育出版社1990年版

[2]梅向明刘增贤林向岩王智秋《高等几何习题集》高等教育出版社1994

年版

[3]梅向明编《高等几何学习指导》高等教育出版社2005年

[4]周兴和编《高等几何》科学技术出版社2003年

第四章变换群与几何学(4学时)

教学目标

掌握变换群的构造

(1)变换群定义(2)平面上几个重要的变换群理解变换群与几何学的关系

本章重点

平面上几个重要的变换群

本章难点

变换群与几何学关系

教学内容

第一节变换群

一、变换群的概念

二、平面上几个重要的变换群(相似变换群，仿射变换群，射影变换群，正

交

变换群)