《大学数学（Ⅰ）Ⅰ、Ⅱ》课程教学大纲

大学数学（I）I、n

AdvancedMathematics（I）I'II

课程代码：B902040I45,B902040146

学时数：160学分数：10

董建国、刘宪敏、关驰、陶桂洪

一、教学目的

大学数学（I）是理工类专业中职本学生必修的基础课。通过本课程的学习，使学生掌握高等

数学的基本理论、基本方法，同时通过高等数学教学，让学生的思维更加严密，逻辑推理更加严格。通

过高等数学的学习培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能

力和自学能力。最后使学生具有抽象概括问题和综合运用知识来分析解决实际问题的能力。

二、教学内容、教学目标及学时分配

第一章函数、极限（18学时）

埋解函数的概念，掌握函数的单调性、周期性和奇偶性、了解反函数的概念；熟练掌握基本初

等函数的性质和复合函数的概念；能正确应用极限四则运算法则；掌握两个极限存在准则，会用两

个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较；掌握函数在一点连续与间断

的概念；掌握初等函数的连续性；了解在闭区间上连续函数的性质。

1.函数：函数的概念；函数的几种特性；反函数；基本初等函数；复合函数、初等函数；经济

学中常用的函数模型。

2.数列的极限:数列的概念：数列的极限；收敛数列的性质。

3.函数的极限：自变量趋于无穷大时函数的极限；自变量趋于有限值时函数的极限：左极限与

右极限；函数极限的性质。

4.无穷小与无穷大：无穷小；无穷大。

5.极限的运算法则：极限的运算法则。

6.两个重要极限：lim"1=1；扁尸_

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7.无穷小的比较：无穷小的比较的定义：等价无穷小代换定理。

8.函数的连续与间断：函数的连续性；函数的间断性。

9.初等函数的连续性：初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。

第二章导数与微分（10学时）

理解导数和微分的概念，了解函数的可导性与连续性的关系。熟悉导数和微分的运算法则，以

及导数的基本公式。会求隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数。

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I.导数概念：导数的定义；导数的几何意义；函数可导性与连续性的关系.

2.函数的求导法则：函数和、差、积、商的求导法则；反函数的求导法则。

3.复合函数的求导法则：复合函数的求导法则及应用。

4.高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数：高阶导数；隐函数的导数；由参数方

程所确定的函数的导数。

5.函数的微分：微分的概念；微分的几何意义；微分公式与微分法则；微分的应用。

6.导数在经济问题中的应用：边际函数；函数的弹性。

第三章微分中值定理及导数的应用（14学时）

掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、了解泰勒公式。熟练掌握洛比达法则，会用导数求函数的

极值，会判断函数的单调性、凹凸性；会求曲线的渐近线和拐点，会作函数的图形。会解决应用中

的简单的最大值和最小值问题。

1.微分中值定理：罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

2.罗必塔（LUospital）法则：罗必塔（^Hospital）法则。

3.泰勒（Taylor）公式：泰勒公式；爰克劳林公式。

4.函数单调性的判定：函数单调性的判定法。

5.函数的极值及其求法：函数极值的定义：函数极值的必要条件；函数极值的充分条件。

6.函数的最大值与最小值及其应用：函数最大值与最小值的定义；函数的最大值与最小值的应

用。

7.曲线的凸凹性及拐点：曲线的凸凹性定义及判别法；拐点的定义及求法。

8.曲线的渐近线及函数作图：曲线的渐近线；函数作图。

理解不定枳分的概念。熟悉不定积分的基本公式，熟练掌握不定枳分的两类换元法和分部积分

法。

1.不定积分的概念与性质：不定积分的概念；不定枳分的性质；基本枳分公式。

2.换元积分法：第一类换元积分法；第二类换元积分法。

3.分部积分法：分部积分法。

4.几种特殊类型函数的积分举例：有理函数枳分举例；三角有理式的枳分举例：简单无理函数

的积分举例。

5.积分表的使用：积分表的使用。

第五章定积分（8学时）

理解定积分的概念及其几何含义。熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式及定积分的换元公式。掌握变

限函数及其性质。

1.定积分概念：定积分问题举例；定积分定义；定积分几何意义。

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2.定积分的性质：定积分的8条性质及应用。

3.微积分学基本定理：可变上限积分及其导数；牛顿一莱布尼兹公式。

4.定积分的计算：定积分的换元积分法；定积分分部积分法。

5.广义积分：无穷区间上的广义积分；被积函数无界的广义积分；r函数。

第六章定积分的应用（6学时）

理解定积分的元素法和掌握定积分在几何上的应用（平面图形的面积，体积、平面曲线的弧长）

和定积分在物理学上的应用（变力沿直线所作的功、水压力）。

1.定积分的元素法。

2.定积分在几何上的应用（平面图形的面积）。

3.定积分在几何上的应用（体积、平面曲线的弧长）。

4.定积分在物理学上的应用（变力沿直线所作的功、水压力）。

第七章空间解析几何（12学时）

熟悉空间直角坐标系。掌握向量的线性运算及向量的数量积、向量积运算。了解平面方程、直

线方程和简单的二次曲面方程。

I.向量及其线性运算：空间直角坐标系；空间两点间距离；向量及其线性运算；向量在轴上的

投影；向量的坐标及利用坐标作向量的线性运算；向量的模与方向余弦。

2数量积向量积：向量的数量积；数量积的坐标表达式；向量的向量积；向量积的坐标表达式。

3.平面及其方程：平面的点法式方程；平面的一般方程。

4.空间直线及其方程：空间直线的一般方程；空间直线的对称式方程及参数方程。

5.曲面与曲线：曲面方程；空间曲线；二次曲面。

第八章多元函数的微分法（18学时）

掌握多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念。熟练掌握好合函数的微分法。会应用偏

导数，求函数的极值。了解条件极值及其求法。

1.二元函数的基本概念：二元函数的概念；二元函数的极限与连续。

2.偏导数与全微分：偏导数定义及其计算方法；高阶偏导数：全微分。

3.多元复合函数及其微分法：全导数；多元复合函数的偏导数。

4.隐函数及其微分法：方程确定的一元函数的导数；方程确定的多元函数的偏导数。

5•多元函数的极值：二元函数的极值及其求法；最大值与最小值；条件极值；拉格朗日乘数法。

第九章重积分（14学时）

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掌握二重积分的概念及性质，熟练二重积分的计算。会用元素法将一些简单的几何量：如面积、

体积）表达成二重积分。熟练计算三重积分（直角，柱面，球面）

1.二重积分的概念与性质：引例；二重积分定义及其几何意义；二重积分的性质。

2.二重积分的计算法：右直角坐标下二重积分的计算；在极坐标下二重积分的计算。

3.二重积分应用举例：求平面图形的面积；求立体的体积；求平面薄片的质量。

4.三重积分的计算法：在直角坐标下三重积分的计算；在柱面，球面坐标下二重积分的计算。

第十章曲线积分与曲面积分（18学时）

熟练计算对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分，掌握格林公式及应用，熟练计算对面积的曲

面积分和对坐标的曲面积分，掌握高斯公式

1.对弧长的曲线积分。

2.对坐标的曲线积分。

3.格林公式及应用（平面上曲线积分与路径的条件）。

4.对面积的曲面积分。

5.对坐标的曲面积分。

6.高斯公式。

第十一章无穷级数（14学时）

理解级数收敛和发散的概念以及收敛级数的和的概念，知道级数收敛的必要条件和级数的基本

性质。知道幕级数在其收敛区间内的一些基本性质；知道函数的泰勒级数、知道函数的泰勒级数收

敛到该函数的充要条件；能记住F,sinx,cosln（l+x）,（1+x）”的麦克劳林展开式；能将一些简单

函数用间接方法展成箱级数。理解傅立叶级数。

|.常数项级数的概念与性质：常数项级数的概念；常数项级数的性质；级数收敛的必要条件。

2.常数项级数的审敛法：正项级数及其审敛法；交错级数及其审敛法；绝对收敛与条件收敛。

3.旅级数：函数项级数及其一般概念：‘恭级数及其收敛性：恭级数的运算。

4.函数展开成基级数：泰勒级数；函数展开成基级数；欧拉公式。

5.傅立叶级数。

第十二章微分方程（16学时）

了解微分方程的基本概念。会求可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、三种类型可降阶

的微分方程。知道二阶线性微分方程解的结构。会求二阶常系数齐次或简单的非齐次微分方程的通

解。

1.微分方程的基本概念：微分方程概念：微分方程的通解：微分方程的特解：积分曲线。

2.一阶微分方程：可分离变量的微分方程；一阶线性微分方程。

3.可降阶的二阶微分方程：/GO型微分方程；），=/（My）型微分方程；y=/G，y）

型微分方程。

4.二阶常系数线性微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程；二阶常系数非齐次线性微分方程。

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创新创业案例八:费尔曼

三、课程教学的基本要求

本课程的教学环节主要包括:课堂讲授、课外作业及考试三部分。重点培养学生的自学能力、分

析问题和解决问题的能力。

（-）课堂讲授

主要教学方法：

采用肩发式教学，鼓励和培养学生自学能力。让学生明例高等数学知识在各自专业中的重要作

用，可以举一反三。

原则性建议：在条件允许下，介绍Mathemalica软件的使用。

（二）课外作业

课外作业是本课程的重要教学环节，通过作业巩固课堂讲授的基本理论知识，培养学生分析问

题和解决问题的能力。

课外作业：每四学时安排1次作业，共安排20次。

（三）考试环节

学生成绩评定：平时成绩30%+期末考试70%。其中平时成绩包括上课出勤、课堂学习情况、

课后作业等；期末成绩为期末试卷成绩。

期末考试主要采用笔试形式闭卷考试，题型主要分为：填空题、选择题、判断题、计算题、应

用题、证明题等。

四、参考教材

[1]《高等数学》第五版，同济大学数学教研室主编,