《空间解析几何》教学大纲

《空间解析几何》教学大纲

一、课程名称

《空间解析儿何》(AnalyticGeometry)

二、课程性质

数学与应用数学专业、信息与信息管理专业必修课。

三、课程教学目的

通过坐标法，运用代数工具研究几何问题的一门学科。它把数学的两个基本

对象——“形”与“数”有机地联系起来，使得几何、代数和分析构成一个有机

的整体，从而为数学的其它分支与几何学的互相渗透、互相促进奠定了基础。通

过本课程的学习，使学生系统、完整、深刻地理解与掌握矢量代数方法和解析方

法的基本思想，使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，

培养空间想象能力以及运用矢量法与坐标法解决几何问题和证明几何命题的能

力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，全面掌握平

面与空间直线各种位置关系的解析条件及几种典型二次曲面的几何性质，掌握二

次曲线方程的化简与二次曲线的分类，为进一步学习其它课程打下基础；另一方

面，进一步加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理

中学几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强直观效果提高学生认识事物的

能力。

四、课程教学原则与教学方法

课程教学以讲述自学讨论和做习题有机地结合为原则，以课堂讲授为主要形

式，采用讨论式、研究式、示范式的教学方法，运用现代教育技术手段进行辅助

教学，充分调动学生学习的主动性和积极性，抓好学生的基本训练。教学内容要

重点突出基本知识与基本技能，既传授知识，又教书育人，注重培养学生的各种

能力与素质。

五、课程总学时

85学时，习题课占1/5(蒙语授课适当增加学时)。

六、课程教学内容要点及建议学时分配

课程教学内容要点及建议学时分配

学时

章节序号教学内容

理论课习题课学时合计

1矢量与坐标20323

2轨迹与方程617

3平面与空间直线14317

4柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面16319

5二次曲线的一般理论18119

总学时合计741185

第一章矢量与坐标

一、本章教学目标：通过本章学习，使学生掌握矢量及其运算的概念，熟练掌

握线性运算和非线性运算的基本性质、它们的几何性质、运算规律和分量表示，

会利用矢量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数

方法研究空间图形的性质打下基础。

二、本章主要内容：

1、矢量的概念：

2、矢量的加法；

3、数量乘矢量；

4、矢量的线性关系与矢量；

5、标架与坐标；

6、矢量在轴上的射影；

7、两矢量的数性积；

8、两矢量的矢性积；

9、三矢量的混合积

10、三矢量的双重矢性积。

三、通过本章学习，要求学生：

(1)、理解矢量的有关概念，掌握矢帚加法的两个法则、数量与矢量的

乘法概念及运算律，能用矢量法证明有关几何命题：

(2)、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理，掌握矢量间的线性相关

性及判断方法；

(3)能利用矢量建立坐标系概念，理解点的坐标及矢量分量的表示方法，

掌握矢量线性运算及线段定比分点的坐标表示方法；

(4)掌握射影与射影矢量的概念及矢量线性运算的射影表示，理解矢量在

轴上的射影与坐标的关系；

(5)掌握矢量的数性积概念及几何意义，利用数性积证明有关的几何命题,

理解矢量的模、方向余弦和交角及数性积的坐标表示；

(6)掌握矢量的矢性积概念、理解其儿何意义，理解矢量矢性积的运算律

及坐标表示，会用顶点坐标计算三角形的面积；

(7)、掌握矢量的混合积概念、理解其几何意义，理解混合积的运算

律及坐标表示，会用顶点坐标计算四面体的体积；

(8)、掌握双重矢性积的概念，理解双重矢性枳的表示定理，会用双重矢性

积证明有关的命题。

四、本章教学重点：矢量的基本概念、矢量的各种运算及线性相关和线性无关

的判断，数性积、矢性积和混合积的几何意义，矢量的应用。

五、本章教学难点：矢性积的概念、矢性积所满足的分配律和双重矢性积的表

示定理的证明、几何命题转化为矢量间的关系以及矢量的应用。

六、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合.

第二章轨迹与方程

一、本章教学目标：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线

方程之定义及表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程；掌握求轨迹方程(矢

量式与坐标式参数方程及普通方程)的方法；会判断已知方程所表示的轨迹是什

么。

二、本章主要内容：

1、平面曲线的方程、曲面的方程

;2、母线平行于坐标轴的柱面方程。

通过本章学习，要求学生：

(1)、理解平面坐标系下曲线方程之定义及表示，熟悉平面上一些特殊曲

线的矢量式和坐标式参数方程；

(2)、理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及表示，熟悉空间中

一些特殊曲面、曲线的方程；掌握求轨迹方程(矢量式与坐标式参数方程及普通

方程)的方法；会判断已知方程所表示的轨迹是什么“

三、本章教学重点：空间坐标系卜.曲面与空间曲线方程的定义及曲面和空间曲

线方程的求法。

四、本章教学难点：空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程。

五、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第三章平面与空间直线

一、本章教学目标：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线

方程的各种形式的方程，明确方程中参数的几何意义，能根据决定平面或决定

直线的各种条件导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各

种方程形式的互化；熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，能

熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位

置关系与计算它们之间的距离和交角。

二、本章主要内容：

1、平面的方程、平面与点的相关位置；

2、两平面的相关位置、空间直线的方程;

3、直线与平面的相关位置;

4、空间两直线的相关位置；

5、空间直线与点的相关位置、平面束。

三、通过本章学习，要求学生；

(1)、理解一个曲面为平面当且仅当它的方程是关于x,y,z的三元一次方

程，会求平面的各种方程，并掌握平面各种方程之间的互化；

(2)、理解点与平面的离差与距离概念及求法，掌握判别点与平面、两平

面位置关系的方法，会求两平面的交角与距离；

(3)、理解直线的方向角、方向余弦、方向数概念及求法，会求直线的各

种形式的方程，并掌握直线的标准方程与一-般方程转化方法；

(4)、理解直线与平面的位置关系及判别方法，掌握直线与平面的交角和

距离的求法

(5)、理解空间两直线的位置关系，掌握两直线位置的判别方法；

(6)、掌握空间两直线的交角和异面直线间的距离与公垂线方程的求法；

(7)、理解两种平面束的概念，掌握空间直线与点的距离公式及平面束方

程的求法。

四、本章教学重点：空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式：平面与

空间直线间各种位置关系的解析条件；平面与空间直线各种度量关系的量化公

式。

五、本章教学难点：平面(或空间直线)各种形式方程的互化；综合运用位

置关系的解析条件求平面、空间直线方程。

六、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

一、本章教学目标：通过本章的学习，使学生熟练掌握常见二次曲面的定义及

标准方程，牢固掌握坐标立面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转面方程的求法；掌

握柱面、锥面、旋转曲面的定义、方程求法和方程特征；了解常见二次曲面的性

质和形状，会画它们的草图；了解二次曲面的直纹性。

二、本章主要内容：

I、柱面；2、锥面；3、旋转曲面；4、椭球面；5、双曲面；6、抛物面；7、

曲面的直纹性。

通过本章学习，要求学生；（I）、理解柱面及其准线和母线的概念，掌握求柱

面方程的一般方法及步骤；（2）、理解锥面及其准线和母线的概念，掌握求锥面

方程的一般方法及步骤，了解齐次方程概念及其表示的锥面性质；（3）、理解旋

转曲面及母线和纬圆等概念，掌握求旋转曲面方程的一般方法及步骤，能熟练写

出坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所产生的旋转曲面方程；（4）、会认椭球面的

标准方程，掌握讨论椭球面性质的方法及步骤，能熟练画出椭球面的图形；（5）、

会认单叶双曲面和双叶双曲面的标准方程，掌握单叶双曲面和双叶双曲面的性

质，能熟练画出单叶双曲面和双叶双曲面的图形：（6）、会认椭圆抛物面和双曲

抛物面的标准方程，掌握椭圆抛物面和双曲抛物面的性质，能熟练画出椭圆抛物

面和双曲抛物面的的图形；（7）、理解直纹曲面的概念，掌握单叶双曲面和双曲

抛物面的直母线方程求法，了解单叶双曲面和双曲抛物面的直母线性质。

三、本章教学重点：柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程求法；椭球面、双曲

面、抛物面方程的讨论，图形性质和形状的画法；坐标平面上的曲线绕有关坐标

轴旋转，所产生旋转曲面方程的求法。

四、本章教学难点：锥面方程的特征及其论证；单叶双曲面和双曲抛物面几

何性质的分析；二次曲面直纹性的证明。

五、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第五章二次曲线的一般理论

一、本章教学目标：通过本章学习，使学生掌握二次曲线的渐近方向、中心、

渐近线、切线、直径、主方向和主直径等概念及求法；弄清移轴变换和转轴变

换对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标变换在化简二次曲线方程

中所起的作用；能判别二元二次方程所表示的曲线的类型，熟练地化简二次曲

线方程，并写出相应变换关系式，作出其图形。

二、本章主要内容：

1、二次曲线与直线的相关位置；

2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线；

3、二次曲线的切线

4、二次曲线的直径；

5、二次曲线的主直径与主方向；

6、二次曲线方程的化简与分类；

7、应用不变量化简二次曲线的方程。

三、通过本章学习，要求学生：

(1)、了解复平面的特征，掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法；

(2)、理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念，掌握二次曲线的渐近

方向、中心、渐近线的求法，能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类；

(3)、理解二次曲线的切线及齐异点和正常点概念，掌握求二曲线的切线方

程的方法；

(4)、理解二次曲线的直径与共挽弦概念及共规方向与共扼直径概念，掌握

求二曲线直径方程及共规方向与共规直径的方法，掌握中心曲线与非中心曲线的

直径特彳止；

(5)、理解二次曲线的主直径与主方向概念，掌握求二曲线主方向与主直径

方程的方法，掌握二次曲线特征根的概念及性质；

(6)、理解平面直角坐标变换(移轴变换和转轴变换)概念，掌握其对二次曲

线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的作用(与主方向和主直

径的关系)，熟练掌握二次曲线方程的化简和作图方法，能根据化简的标准方程

对二次曲线进行分类；

(7)、理解二次曲线的不变量和半不变量，掌握三类二次曲线简化方程的形

式，了解用不变量和半不变量判断二次曲线类型的方法。

四、本章教学重点：二次曲线的各种几何性质；二次曲线的由渐近方向、中

心、标准方程得出的不同分类方法；二次曲线的形状，二次曲线方程的各种化简

方法与作图。件；平面与空间宜线各种度量关系的量化公式。

五、本章教学难点：二次曲线直径、共短直径及主直径的直观几何解释；移轴

和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的

作用。

六、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

七、课程的实践教学环节要求

每次课堂教学后留下足够份量的练习题、思考题，并严格要求学生认真完成,

每周安排一次辅导答疑，作业全批全改，典型错误课堂讲评；精心挑选一定数量

的难度适中的思考题，在习题课上安排学生讲解，学生在讲解过程中的表现和所

取得的成绩可适当地体现在期末成绩中；为学生推荐参考书和参考资料，指导学

生阅读，为有兴趣和余力的学生布置力所能及的研究课题，指导学生完成较好质

量的学年论文。

八、教材和主要教学参考资料及推荐的相关学习网站

教材：

《解析几何》（第三版）.吕林根，许子道等编.北京：高等教育出版社，2000

年7月.

《空间解析几何引论》（自编蒙文教材）.苏雅拉图编.内蒙古人民出版社，

2003年9月.

主要