《几何模型与解题技巧》（试读版）

前言

《初中几何模型与解题技巧》一书是针对目前七、八、九年级的月考、期

中考试和期末考试、九年级的中考模拟考试以及中考出现的几何题涉及到的模

型精心打造而成，包括七个专题、26个模型，每个模型包括模型介绍、结论推

导、解题技巧、典型例题、考点分析、思路点拨和提分必练。典型例题和提分

必练都是由易到难，由浅入深，循序渐进，讲练结合，使学生掌握几何题的解

题技巧，触类旁通、举一反三。

本书所选题目来自于2021年和2022年七、八、九年级名校月考、期中考

试和期末考试、九年级的中考模拟考试、中考真题以及作者原创，全国通用，

适用于七、八、九年级的月考、期中考试、期末考试、九年级的中考模拟考试

以及中考复习，是莘莘学子的好资料，也是广大初中数学教师受益匪浅的教学

参考书。

编者

2023年2月

目录

专题一几何初步

模型1双中点模型.................................................................1

模型2双角平分麒型.............................................................2

专题二相交线与平行线

期3锯齿模型..................................................................5

模型4铅笔头模型................................................................7

专题三三角形

醒5角平分线模型.............................................................10

模型6双角平分线模型...........................................................14

专题四全等三角形

醒7畦中线模型...............................................................17

模型8一线三等角模型.............................................................20

题9半角模型...................................................................24

模型10旋转全加型..............................................................28

理11绝配角模型................................................................32

专题五相似三角形

模型12A字模型..................................................................36

螂138字模型..................................................................38

模型14母子相似模型..............................................................41

模型15一线三等角模型............................................................44

模型16旋转相似模型..............................................................48

模型1712345模型.................................................................51

专题六四边形

模型18垂美四边形模型............................................................55

模型19正方形内十字架模型.......................................................58

模型20矩形内十字架模型.........................................................61

专题七最值和路径

模型21两点之间线段最短模型.....................................................65

模型22垂线段最短模型............................................................68

模型23将军饮马模型..............................................................74

螂24逆等线模型................................................................79

模型25胡不归模型................................................................83

模型26主从联动（瓜豆）模型.....................................................86

案..................................................................95

模型22垂线段最短模型

一、模型介绍

（"）基本模型

已知：点尸是直线砂卜一点，PHLI,垂足为点H,点A,B,

C在直线/上，比较线段PH,PA,PB,PC的长短.

结论：PH最短，即直线外一点与直线上各点连接的所有线段

中，垂线段最短.

（二）结论推导

垂线段最短是基本事实，不需要证明.

（三）满分策略

在垂线段最短模型中，确定动点的直线轨迹是解决问题的关键，确定动点的运动轨迹为直线的方法有：

①动点到定直线的距离不变；②动点与定线段的一个端点连接后的夹角不变；③动点的坐标以某个字母的

代数式表示；且可以化为一次函数；④动点在直线上运动从而带动另一个点位似变换（见模型25主从联

动模型）

一、典型例题

例1如图，NMON=45。,OP平■分4MON,点4为射线0M上一点，04=4,点E,尸分别为射线0P,

。河上的动点，连接花，EF,则至十所的最小值为.

考点分析：全等三角形的判定与性质、垂线段最短.

思路点拨：在ON上被取OG=OF,连接EG,过点力作AH工ON于氤H,将在十班的最小值转化为垂

线段⑷/的长.

例2（2022扬州）如图，在△HBC中，NA4c=90。，ZC=60°,AB=6,点。是8C边上一动点，过点0

作DE1AD,交AB于点E,贝U线段花长度的最小值为.

考点分析：直角三角形的性质、垂线段最短.

思路点拨：取花的中点F,连接DF,过点尸作FG_LBC于点G,由垂线段最短可知DFNFG,当DF±

时DF最小,4E最小.

例3（2022无锡）如图，△相。是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与

直线/石交于点尸，将△OCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段"'长度的最小值是.

例3

考点分析：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、垂

线段最短、勾股定理.

思路点拨：设BF与NC交于点G,过点。作CHLBF于点H,证△XCEg/kBCD,AAFG^ABCG,

显然，当NDBC最大时，XG最小，BG最大，•最小.当CD_L8Z）时NZJ5C最大，此时△CD尸

义XCEF,可求出昉的长，从而得郅4尸的最小值.

三、提分必练

（-）基础

1.如图，等边△丝C的边长为4,点D,E分别在边AB,4c上,将A4DE沿OE折叠，使点4落在8C

边上的点尸处，则CE的最大值为

第1题

2.⑵）22毕节）如图，在Rt△疑。中，N区4C=90°,AB=3fBC=5,点P为BC边上一动点，连接P.4,

以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则尸0的最小值为.

第2题

3.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形越CD中，点E为期的中点，将沿CE•翻折得△*,

点M落在四边形相磔内，点N为线段CE上的动点，过点N作.W〃区W交MC于点P,则MN+NP

的最小值为.

第3题

4.如图1,在RtA4BC中，ZJCB=90°,AC=2f3c=4,点D,E分别是4C,8C的中点，连接DE,

将△OEC绕点C旋转，在旋转过程中，直线3与鹿相交丁点H,如图2,则加的最大值为.

第4题

5.如图，在A48C中，AB=AC,/切C=120。，点。为8C边上一动点，连接4。，将线段绕点力

逆时针旋转120°得至以E,连接DE交AC于点F,求」土的最小值.

PC

第5题

（二）提升

1.如图，正方形4BCD和RtAJE尸，AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE,将A4E尸绕点4旋转，当

乙尸最大时，入9的面积为.

第1题

2.如图，在RtA4BC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点。为BC上一点,ND4c=30。，点E为射线

必上一点，以BE,BC为边作平行四边形BCFE,连接BF,则3尸最小值为.

B7DC

第2题

3.如图，正方形斜8的边长为4,格正方形折叠，使点8落在3边上点尸处，点C落在。处,

折痕为EF,则四边形或的面积的最小值为.

第3题

4.如图，在ZUBC中，NB=90。，AB=8,BC=10,点。是斜边XC的中点，点E是AB边上一动点,

将△X0E沿DE翻折得到A4DE,4上交3c边于点F,则面的最大值为.

第4题

5.如图，在RtZUSC中，ZC=90°.N/=300,BC=2,点。为NC边上一动点，过点。作DE上BD交

AB于点E.当点。从点4运动到点C时，丝的最大值为,点E运动的路径长为.

第5题

6.（2022阜新）如图，四边形Z8C0是正方形，△口£尸是等腰直角三角形，48=4,DE=DF=2,

/£D尸=90°,AD£F绕点O旋转，直线形与C尸相交于点G,在△£/旋转的过程中，线段8G长

度的最小值为.

7.（2022徐州）如图，在ZUBC中，AB=AC,N4=90。，点尸是BC边上的动点，连接PC,点D,£分

别是BC,PC的中点，过点E作比的垂线'分别交BC，AC于点EG连接DG交比于点H,求于

的最大值.

8.如图，在等边△ASC中，点£＞鼠C边上一动点，点E在BC的延长线上，DE=AB=2-J\»连接0E，

以DE为边向卜作等边当点。从点力运动到点。时,点尸经过的路径长为.

第8题

9.如图，ZA0B=60°,点P是射线Q4上一点，。尸=4,点M,N分别线段。尸和射线。5上的动点［点

N在点〃的右侧），且MN=2/,当点M从点尸运动到点。时，点N经过的路径长为.

第9题

10.如图，在正方形忿CD中，褴=4,点E为对角线4C上一动点，过点E作即JLDE,交正方形的边

丁点F,当点E从领运动到点。时，点尸经过的路径长为.

第10题

11.如图，等边△/姐。的边长为2,点E,尸分别是边出5c上的动点（点尸在点E的右侧），且EF=不，

以所为底边向右作等腰△OEF,NEDF=12O°,当点E从点X运动到点8时，点。运动的路径长为

12.如图，ZMAN=6O°,点B,C分别在AM,AN上,AB=AC,点。在NM4N内部、ZUBC外部，

连接AD,BD,CD.下列结论：①50+CD23；②SA皿W口5。CD；③若BD=m,CD=n,则

S»皿W+工mn.其中错误的结论个数为（).

42

A.。个B.1个C.2个D.3个

第12题

13.如图，正方形相CD的边长为9,点E是BC边上一点,BE=2,连接BD,点F,G分别是BD,CD

上的动点，且FG±EF,分别过点E,G作50的垂线，垂足为M,N,求的最小值.

第13题

14.如图1,在Rt△疑C中，N〃B=90°,AB=10,BC=6,点D,E分别是始，的中点，连接DE.如

图2,将ADBE绕点3逆时针旋转(旋转角VI80。)，直线AD与CE相交于点F,连接BF.

(1)求证：AABDsACBE；

(2)求线段力尸长度的最小值；

(3)如图3,若BF平分乙DBE,求CE,CF的长.

图1图2图3

第14题

参考答案

二、典型例题

例120【解析】在。呼上截取OG=OF,连接EG,过点/作AHLON于氤H.

'：OG=OF,NEOG=/EOF,OE=OE,

:.LOEGWAOEF,:・EG=EF,

：.AE\EF=AE¥EG^AH.

/L

■:ZMON=45°,04=4,；.AH=*0A=2-J2.

2

例1

例24【解析】取斯的中点F,连接DF,过点尸作FGLBC于点G.

贝！IDF^FG,AE=2DF.

当。尸_L5C时OF最小，形最小.

•：ZBAC=9Q0,ZC=60°,/.25=30°.

设DF=x,则AF=x,BF=2x,AB=3x=6,

••x=2t••AE=2x=4t

・•・线段4E长度的最小值为4.

例34-JJ【解析】如图1,设M与彳C交于点G,过点C作CH工BF于点H.

VZUBC和△/）色都是等边三角形，

:.AC-BC,NACB-NDCE-斯，EC-DC,

：.4CE=NBCD,:.△ACEWNBCD,:・NGAF=/GBC.BB

VZAGF=ZBGC,A^AFG^^BCG,

.AFAG.AFAGD

BCBG5BG

显然，当NQ5C最大时，4G最小，8G最大，4尸最小.A

CH3

VsinZD5C=-W—=-,・••当8_1_8。时/03。最大.

IiCBC5

如图2,此时NCDF=NCEF=90。.图1图2

♦：CD=CE,CF=CF,:•△CD04CEF,例3

:,AE=BD=JBC—DC=4,ZDCF=ZECF=30P,

：,EF=斗EC=J],；.AF=4-&,

即"的最小值是4-6.

三、提分必练

（一）基础

1.16-aji【解析】过点E作比LBC于点H.

•・•等边A45C的边长为4,.・・N3=60°,AC=4.

由题意，EF=AE.

设CE=2x,贝I」EF=AE=4-2x,贝UEH=Jk.

♦：EF》EH,・・・4—2r，-JL,

解得xW8-Wi,・♦・X16-"，

.•・CE的最大值为16-

2.卷【解析】设国与4C相交于点。.

〈NBAC=90°,AB=3,BC=5,

:・AC=JBC-AB'=次-32=4,A

.•.如4C3=—=-.

取、5

V四边形舒C0是平行四边形，BPHC

第2题

：.OP=OQtOA=OC=2.

过点。作OHLBC于点H,

贝ljOH=OC-sinZACB=2--=-.

•：OP^OH,，。尸的最小值为上，

5

.•/过的最小值为个.

3.1【解析】分别过点M,N作CD的垂线，

垂足为M,N.

由题意，NEMC=ND=90。，MC=DC=2.

•：NP//EM,:./NPC=NEWC=900.DGH.

ffl

VZECM=ZECD,：.NP=NH:

:,MN+NP=MN+NH》MG.

♦；点E为3的中点，••・tanNECD=-,

2

AB

・••由12345模型可知tan/QCM=:,第3题

4jQ

••ssn^DCM=—9^MG=—AfC=—,

sss

・・・脑忏泗的最小值为-.

4.1【解析】如图1，过点C作直线8H的垂线，垂足为G.

1

则CG^CE,ENCBH=—=-9

*HC2

.•・NCBHW30。,当/CBH为30。时，NABH最大../

...4C_DC_\

♦,ZACD=NBCE=90P-/BCD,

HCEC，

：.^ACD^ABCE,:.…H'

:.NAHB=NACB=90。

：.AH=AB-sinZABH,・••此时加/最大.GH

如图2,此时CE1BE,NDCE=NCEH=ZDHE=90°,图1图2

，四边形CDEE是矩形,第4题

后刎=2,

AZCD/7=90°,DH=(.

，44DC=90°,AD=JAC-叱=瓦

的最大值为2+J?.

5.解：过点4作4G_L6C丁点O,AH±DE丁点H.

*：AB=AC,ZBAC=120°,/.Z5=ZC=30°.

'：AD=AE,ZDAE=120°,：.ZADE=ZE=3Q°,

••AG=—AC,AH——AD.

22

YAF}AH,：.AF^-AD2-AG=-AC

224t

•,衣1,

4"4

・・・JL"J值为1.

FC3

（二）提升

1.6【解析】如图1,过点4作/G_LM于点G,过点0作DHL4E于点H.

则AG^AF=4,snZABF=—

ARAR5

如图2,当"_LM时，sin乙四尸最大，N4B尸最大.

此时NN五8=N/4D=90°.

VNBAF=ZDAH=900-ZBAH,AB=ADf

:.△ABFWAADH,：.DH=BF=JAB-AT=Js2-42=3,

:、S.*=-AE.DH=1x4x3=6.

22

第1题

2.4万一W【解析】过点尸作FG//AD,交3C的延长线于点G,

过点B作BH±FG,交FG的延长线于点H.

•：ZACB=9Q°,ZDJC=30°,；・N3c=60。，

:.NBGH=NADC=60。.

*：ZDAC=3QP,AC=3,:・DC=与c=G

:・BD=BC—DC=4-J}.

...四边形sera是平行四边形，

；,BE=CF,BE//CF,:.NEBD=ZFCG.第2题

-：FG//AD,.•・ZEDB=NFGC,

:•△BEDWMFG,工CG=BD=4—O,

:.BG=BC+CG=8-6,

:・BH=£BG=4^_I.

•:BF》BH,是M的最〃他为小一二.

3.6【解析】分别取3,BC的中点G,H,连接GH交所于点M,

连接PM,BM,贝ijPM=BM,GHLBC.

设MH=x,贝!|GM=4-x,PA/=BAf=x24-4.

♦：PM^GM,：,x+42(4-力，解得Q”，

==

**•SHAK“3SnuntfcaBC,Af〃24x——6,

2第3题

・•・四边形EF0P的面积的最小值为6.

2【解析】分别取/0，EC的中点M,N,连接DM,DF,DN,过点。作DHL4E于点H.

则DM=BN=4c=5,DN=-AB=4,DMVAB,DNLBC.

由题意，NDEM=/DEH,：.DH=DM=5.

■:DF'DH,・•・£)尸25.

YFN=ND产一DN,：.FN^3.

•:BF=BN—FN,工BF<2,

.•.8尸的最小值为2.