《33幂函数》教案、导学案与同步练习

《第三章函数的概念与性质》

《3・3幕函数》教案

【教材分析】

辕函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最

值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出寻函数的概念，再借助图像研究辕函数

的性质.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1、理解事函数的概念，会画事函数）尸/，尸七尸产蓝的图象；

2、结合这几个第函数的图象，理解累函数图象的变化情况和性质；

3、通过观察、总结黑函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.

数学学科素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数幕函数；

2.逻辑推理：常见事函数的性质；

3.数学运算：利用黑函数的概念求参数；

4.数据分析：比较黑函数大小；

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用鼎函数性质、图

像特点解决实际问题。

【教学重难点】

重点：常见显函数的概念、图象和性质；

难点：弃函数的单调性及比较两个昂值的大小.

【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

一、情景导入

学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特

征？

问题1：如果张红购买了每T克1元的蔬菜卬T克，那么她需要付的钱数

p=卬元，这里〃是卬的函数.

问题2：如果正方形的边长为小那么正方形的面枳S=/,这里S是〃的函

问题3：如果正方体的边长为m那么正方体的体积£万,这里y是。的函

数.

问题4：如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长折S：这里。是S

的函数.

问题5：如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=Ckm/s,

这里y是，的函数.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本89-90页，思考并完成以下问题

1.事函数是如何定义的？

2.暴函数的解析式具有什么特点？

3.常见暴函数的图象是什么？它具有哪些性质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.幕函数

一般地，函数且叫做幕函数，其中工是自变量，置是常数.

2、基函数的性质

21l

塞函数y=xy=ATy=xiy=X2y=x

(-oo,0)U

定义域RRRFO+8)

(0,+co)

(-00,0)U

值域R2+⑹R[0,+8)

(0,+co)

非奇非

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

偶函数

在R上是在［0.+8)上在R上在［0,+8)上在(0,+8)上是减函

单调性

增函数是增函数，在是增函是增函数数，在(-8,0)上是减

(心⑼上是减数函数

函数

公共点(1,1)

四、典例分析、举一反三

题型一事函数的概念

例1函数f(x)=(nF-m-5)xM是帚函数，且当x£(0,十功时,f(x)是增函数，试确定

m的值.

【答案】m=3

【解析】根据轼函数的定义，得mLm-5=l,解得m=3或m=-2.

当m=3时,f(x)=x2在(0,+co)上是增函数；

当m=-2时,f(x)=x，在(0,+a))上是减函数，不符合要求.故m=3.

解题技巧：(判断一个函数是否为辕函数)

判断一个函数是否为幕函数的依据是该函数是否为y=x0(a为常数)的形式，

即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之，若一个函数为恭函数，则

该函数必具有这种形式.

跟踪训练一

1.如果辕函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点求实数m的取值

【答案】m=l或m=2.

【解析】由寻函数的定义得m2-3m+3=l,解得m=l或m=2;

当m=l时,m2-m-2=-2,函数为y=x",其图象不过原点，满足条件;

当m=2时,mJm-2=0,函数为y=x°,其图象不过原点，满足条件.

综上所述,m=l或m=2.

题型二幕函数的图象与性质

例2已知函数y=x1y=xb,产X。的图象如图所示,

则a,b,c的人小关系为()

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】由幕函数的图象特征，知c〈O,a>l,O<b<l.故c<b<a.

解题技巧：(思函数图像与性质)

1.本题也可采用特殊值法，如取x=2,结合图象可知2a>2咚2。,又函数y=2x在R

上是增函数，于是a>b".

2.对于函数y=xa(a为常数)而言,其图象有以下特点：

(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.

⑵当x《(OJ)时，指数越大，鼎函数图象越靠近x轴(笥记为“指大图低)当

x6(l,+00)时，指数越大,幕函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).

(3)由事函数的图象确定暴指数a与0,1的大小关系即根据暴函数在第一象

限内的图象(类似于y=x-,或产产一4个与来判断.

(4)当a>0时,辕函数的图象在区间(0,+oo)上都是增函数;当a<()时，事函数的图

象在区间(0,+x)上都是减函数.

跟踪训练二

m

1.如图所示，曲线Ci与C2分别是函数y=x和y=x'

在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()

A.n<m<0

B.m<n<0

C.n>m>0

D.m>n>0

【答案】A

【解析】画出直线yr。的图象，作出直线x=2,与三个函数图象交于点

(2,2°),(2,2m),(2,2)由三个点的位置关系可知,nvmvO.故选A

题型三利用基函数的单调性比较大小

例3比较下列各组中两个数的大小：

⑴（于与（犷

⑵（守与（寸

⑶呼与呼.

【答案】见解析

【解析】⑴:塞函数产X：在[0,+00）上是增函数，

&WM济（犷

（21.,塞函数y=x-,在（-8,0）上是减函数，

又芸OK广

13

（3）・・•函数y尸Q）,在定义域内为减函数，且a,GF>G）；-

又函数y2=x^t[0,+oo）上是增函数，且:>

•♦•（科（异（心便

解题技巧：（比较累函数大小）

L比较鼎大小的三种常用方法

当暴指数相同时，可直接利用邪函数的

单调性来比较

-

三

种

当僚指数不同时，可以先转化为相同嘉

方

指数，再运用单调性比较大小

法

当底数不同且寡指数也不同时,不能运用

单调性比较大小时，可选取适当的中间

值与两数分别比较，从而达到比较大小

的目的

2.利用累函数单调性比较大小时要注意的问题

比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内，否则无法比较大

跟踪训练三

1.已知Ia=25,b=4W,c=25§,贝U（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】*.*a=23=163,b=4s=16S,C=253,a>b,a<c,b<a<c.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本91页习题3.3

【教学反思】

本节主要学习了一类新的函数：弃函数。主要就零函数的形式定义、图像性

质、比较大小三方面学习显函数.尤其比较大小与前面函数单调性密切相关，因

此本节课需要学生熟记定义及图像特征.

《3.3森函数》导学案

【学习目标】

知识目标

1、理解曷函数的概念，会画第函数尸心尸R尸V尸尸］,的图象;

2、结合这几个哥函数的图象，理解塞函数图象的变化情况和性质；

3、通过观察、总结易函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.

核心素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数累函数；

2.逻辑推理：常见事函数的性质；

3.数学运算：利用幕函数的概念求参数；

4.数据分析：比较幕函数大小；

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幕函数性质、图

像特点解决实际问题。

【重点与难点】

重点；常见幕函数的概念、图象和性质；

难点：幕函数的单调性及比较两个鼎值的大小.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本89-90页，填写。

I.幕函数

一般地，函数叫做寻函数，其中是自变量,是常数.

2、福函数的性质

1

辕函数y=xy=xi产X；y=xl

定义域RRR(-oo,0)U(0,+oo)

值域R—R—(-oo,0)U(0,+oo)

奇偶性奇函数

在似+8)上是

在R上在R上在[0,+刈上是在(0,+8)上是_____,

单调性_____，在(-8,0]

是_____是_____增函数在(・8,0)上是_____

上是_____

公共点—

【小试牛刀】

1.判断(正确的打错误的打“X”)

⑴函数y=x°(x/))是易函数.()

⑵曷函数的图象必过点(0,0)(1,1).()

(3)幕函数的图象都不过第二、四象限.)

2.下列函数中不是累函数的是()

A.y=VxB.y=x3

C.y=2xD.y=x1

3.已知f(x)=(m—I*"””是塞函数，则m=()

A.2B.1

C.3D.0

4.已知帚函数f(x)=x"图象过点(2,坐I，则f(4)=.

【自主探窕】

题型一幕函数的概念

例1函数f(x)=(m2-m-5)xm/是幕函数，且当x£(0,+co)时,f(x)是增函数，试确定

m的值.

跟踪训练一

1.如果冢函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点求实数m的取值

题型二界函数的图象与性质

例2已知函数y=x\y=xb,y=x。的图象如图所示，则a,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

跟踪训练二

1.如图所示，曲线。与C2分别是函数y二X"、和y=X11在第一象限内的图象，则下

列结论正确的是()

A.n<m<0

B.m<n<0

C.n>m>0

D.m>n>0

题型三利用募函数的单调性比较大小

例3比较下列各组中两个数的大小：

⑴便与醉

⑵（可与㈢;

⑶屏与（求

跟踪训练三

1.已知a=2W,b=4中二255,则()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【课堂检测】

i-

1.在函数①©y=A2,③y=2*®y=1,⑤>;"，⑥中，是

事函数的是（）

A.①②④⑤B.③④⑥

C.①②⑥D.①②④⑤⑥

2.已知塞函数人r）一匕气AWR,a£R）的图象过点（；，也），则左十口一（）

13

A，2B.1C，2D..2

3.下列函数中，既是偶函数，又在区间（（），+8）上单调递减的函数是（）

A.y=xB.y=x

C.D.y=x3

4.如图所示，曲线G与C2分别是函数y=/和y=下在第一象限内的图象,

则下列结论正确的是（）

A.〃<"i<0B.in<n<0

C.n>in>0D.in>n>0

5.如下图所示曲线是幕函数y=/在第一象限内的图象，已知a取土2,四

个值，则对应于曲线G，Q,C3,C4的指数a依次为（）

A.—2,一；,2

B.2,.一；,—2

C.一；,-2,2»；

D..2,-2,一g

6.己知函数及）=（而+2〃?）—“"I,帆为何值时，函数段）是：（1）正比例

函数；（2）反比例函数；（3）幕函数.

解：（1）若函数人幻为正比例函数，贝IJ

m2+m-1=1,

加+2〃z和，

(2)若函数凡丫)为反比例函数，则

加2+〃2-1=-1,

'、；•〃?=—1.

I"尸+(2加网，

(3)若函数应。为辕函数，贝1]〃，+2〃7=1,

in=—\±\[2.

7.比较下列各组数的大小.

77

⑴3%和3.2%；

(2)(-IF和(-乳

(3)4.广和3.—.

777

解：⑴函数尸尸在(0,+oo)上为减函数，又3V3.2,所以34>3.22.

(2)(一针=窗，(一软=(软，函数产/在(0,+oo)上为增函数，而|>

-兀

6,

244

5->--

(3)4.33=1,

-4

所以4.15>3.8—5

答案

小试牛刀

1.(1)7(2)x(3)x

2-3.CA

1

-

4.2

自主探究

例1【答案】m=3

【解析】根据第函数的定义，得m2-m-5=l,解得m=3或m=-2.

当m=3时,f(x)=x?在(0,+co)上是增函数；

当m=-2时,f(x)=x?在(0,+g)上是减函数，不符合要求.故m=3.

跟踪训练一

1.【答案】m-l或m=2.

【解析】由累函数的定义得m2-3m+3=l,解得m=l或m=2;

当m=l时,m2-m-2=-2,函数为y=x。,其图象不过原点，满足条件；

当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x°,其图象不过原点，满足条件.

综上所述,m=l或m=2.

例2【答案】A

【解析】由基函数的图象特征，知c<O,a>l,O<b<1.故c<b<a.

跟踪训练二

1.【答案】A

【解析】画出直线y=x。的图象，作出直线x=2,与三个函数图象交于点

11

(2,2。),(22),(2,2)由三个点的位置关系可知,nvmvo.故选A

【解析】(1)..•幕函数y二x型在［0,+8)上是增函数,

(2)..•幕函数y=x*,在(-8,0)上是减函数，

(3)・・•函数y产©)'在定义域内为减函数，且:>T，・・・Gy>

又函数丫2=*号在［0,+8)上是增函数，月3>i

・•.(济俅二针

跟踪训练三

I.【答案】A

【解析】*.*a=23=163,b=4s=16s,c=25s,a>b,a<c,b<a<c.

当堂检测

1-5.CAAAB

6.【答案】见解析

【解析】(1)若函数凡。为正比例函数，则

nv-\-m-1=1,

Im2+2机和，

(2)若函数人力为反比例函数，则

???+/?/—1=—1,

',*.m=-1.

〔团02+2机制，

(3)若函数应丫)为黑函数，则m2+2m=l,

m=—

7.【答案】见解析

【解析】⑴函数)=尸在(0,+oo)上为减函数，又3V3.2,所以32>3.22.

(2)(—93=停「，(一副=。3,函数y=/在(0,+8)上为增函数，而|>

去所以(-乳

--AA

(3)4,15>15=1,0<3,8-^<1一？=1,

24

所以4.15>3.8—？

《3・3幕函数》分层同步练习一

巩固基础

1.下列结论中，正确的是（）

A.A函数的图象都经过点（0,0）,（U）

B.幕函数的图象可以出现在第四象限

C.当刷旨数a取1,3,刎，耐数产d是增函数

D.当。=一1时，帝函数），=1在其整个定义域.上是减函数

331

2.设4，h=（^4,c=⑵2,则小b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>a>bC.a<b<cD.b>c>a

3.函数），=g的图象大致是图中的（）

2

4.下列是尸尸的图象的是（）

5.己知./U）=x?,若则下列各式中正确的是（）

A.J⑷勺（份勺4）勺（力B.心勺4）勺（沙）〈加）

C.凡）次其）4$D.后）中。）十%〈励）

6.给出以下结论:

①当。=0时，函数），=/的图象是一条直线；

②幕函数的图象都经过（0.0）,（1,1）两点；

③若寻函数），=f的图象关于原点对称，则），=/在定义域内y随x的增大

而增大；

④基函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.

则正确结论的序号为.

7.函数y=3Y—2的图象过定点.

8.已知塞函数的图象过点（2,乎）试求出此函数的解析式，判断奇

偶性.

综合应用

9.如图所示，曲线G与G分别是函数），=Y"和y=./在第一象限内的图象,

则下列结论正确的是()

A.n<m<0

B.m<n<0

C.n>m>0

D.in>n>0

10.若累函数y=(〃?2+3〃i+3)/2厂3的图象不过原点，且关于原点对称,

则（）

A.m=—2B.m=­\

C.m=~2或m=—ID.—3<zn<—1

11.已知事函数府）=（〃2+2〃-2）/“3"（〃WZ）的图象关于），轴对称，旦在（0,

+8）上是减函数，则〃的值为（）

A.—3B.1

C.2D.1或2

12.已知某函数人幻=广〃一5（m£助在（0,+8）上是减函数，且;（-x）=/a）,则

m可能等于（）

A.0B.1

C.2D.3

13.已知当i£(l,+oo)时，函数y=/的图象恒在直线)，=X的上方，则a的

取值范围是.

14.若(a+l)Tv(3—2a)T,则。的取值范围是.

15.已知函数

(1)判断函数/U)在区间(0,+oo)上的单调性并证明；

(2)求/U)在区间［1,3］上的最大值和最小值.

16.已知基函数)=A)=/"'+3,其中〃{{川_2q<2,X£Z},满足：

①是区间(0,+oo)上的增函数；

②对任意的x£R，都有4一x)+./U)=0.

求同时满足①，②的幕函数式幻的解析式，并求工£［0,3］时7U)的值域.

17.己知幕函数/W=/-3("［WN*)的图象关于)，轴对称，且在(0,+8)上是

mm

减函数，求满足(。+1)7V(3—2a)下的a的取值范围.

【参考答案】

1.C［解析］当寡指数。=I时，塞函数)，=.「为图象不经过原点，故A

错误；因为所有的事函数在区间(0，+8)上都有定义，且y=K(a£R)>0,所以

幕函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当心0时，)，=/是增函数,

故C正确；当a=-1时，在区间(一8,0),((),+oo)上是减函数，但在

整个定义域上不是减函数，故D错误.故选C.

3

4

2.B［解析］构造累函数v=x,x>0,由该函数在定义域内单调递增，知

1

2

力；又c=2>1,知4<C.故

5

3.B［解析］:•函数是奇函数，且・•.函数在R上单调递增.故

选B.

4.B解析y=x3AXGR,y>0,j(—x)=yl~~~^=V？=/戊)，

12

即)，=/是偶函数，又・••铲1,・••图象上凸.

11I

5.C解析因为函数凡1)=%2在(0,+8)上是增函数，又0<a<b<D，故

选C.

6.④解析当a=0时，函数y=d的定义域为{叶#0,x£R},故①不正

确；当〃<0时，函数的图象不过(0,0)点，故②不正确；塞函数的图

象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确.

④正确.

7.(1』)［解析］依据某函数性质，x=l时，y=l恒成立，所以函数)，

=3丫”-2中，x=l时，y=l恒成立，即过定点(1,1).

8.［解］设y=f(a£R),，・,图象过点(2,孝)，，2"=培，a=—

1

2

=x.

1

~21

•・•函数y=x=忑,定义域为(0,+oo),函数为非奇非偶函数.

9.A［解析］由图象可知，两函数在第一象限内递减，故〃<)，〃<0.当工=2

时，2”,所以〃<机<0

10.A［解析］根据基函数的概念，得〃?2+3〃?+3=1,解得〃?=-1或加=

—2.若,〃=—1,则)，=£4,其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；

若〃2=—2,则y=/3,其图象不过原点，且关于原点对称.

II.B解析由于危)为某函数，所以/+2〃-2=1,

解得〃=1或〃=—3,经检验只有〃=1适合题意，故选B.

12.B［解析］力⑴在(0,+8)上是减函数，・・.3〃L5<O(〃7£N),则加=()

或〃2=1,当机=0时，人工)=工一5是奇函数，不合题意.当"2=1时，“¥)二%一2是

偶函数，因此〃2=1,故选B.

13.（1,+8）［解析］由暴函数的图象特征知a>l.

（23、-1il111

14.（J,方解析（。+1）2V（3—2々）2=（不门）2V（m^）2,函数y=/

在［0,+oo）上是增函数，

23

所以13-2心0,解得尸f.

。+1>3一2小

15.解（1）函数./（处在区间（0,+8）上是减函数.证明如下:

设XI，及是区间（0，+8）上任意两个实数，且Xl<t2，则火片）一/（12）=（5+1）

人I

+田垃―xi

X1X22

*.*X2>X\>0,/.X|+X2>0,X2一由>0，（X|X2）2>O，即

所以函数7U）在区间（o,+oo）上减函数.

（2）由⑴知函数火幻在区间U,3］上是减函数，所以当x=l时，取最大值，最

大值为贝1）=2,

当尸3时，取最小值，最小值为43）=与.

16.［解］因为"《3—2令<2,xGZ）,所以6=-1,0,1.

因为对任意人ER,都有/（一人）十y（A）=o,即/（一人）=一«"），所以/U）是奇函

数.

当〃?二一1时，大工）=.3只满足条件①而不满足条件②；

当〃?=1时，火工）=$条件①、②都不满足.

当〃?=0时，儿1）=^条件①、②都满足，且在区间［0,3］上是增函数.

所以x£［0,3］时，函数/U）的值域为［0,27］.

17.解•・•函数在（0,+oo）上递减，・・・〃7—3<0,解得〃z<3.

•••"PN’,・•・〃?=1,2.又函数的图象关于），轴对称，・•・/〃一3是偶数，

而2—3=-1为奇数，1—3=-2为偶数，

而/U）=x3在（-8,0）,（0,+8）上均为减函数,

・・・（。+1）3V（3—2々）3等价于。+1>3—2々>0或0>〃+1>3—2〃或a+1

V0V3-24

23

-

解得“V3

故。的取值范围为囹。＜一1或齐〃＜多.

《§3.3塞函数》同步练习二

一.选择题

1.给出下列函数：

①),=3；②y=3x-2；©y=x4+x2；④y=；⑤y=(x-l1；@y=0.3',

其中是黑函数的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.幕函数/(力的图象过点(3,正)，贝ij〃8)=()

A.8B.6

C.4D.2

3.已知黑函数”X)=(/〃2-3〃Z+3卜为偶函数，则川=()

A.1B.2

C.1或2D.3

4.函数)，二消的图象是()

5.如图是寻函数），=父的部分图像，已知〃取

；,2,-2,=这四个值，则于曲线GC，GC相对应的

〃依次为（）

B.-2,一！，《,2

A.

23T22

—:2,21D.2,1-2,-1

C.

622

6.已知事函数=/的图像过点（8,4）,则八©=/的值域是（）

A.（―,。）B.（―,O）U（O,”）

C.（0,+co）D.[0,+oo）

7.函数y=^-\的图象关于x轴对称的图象大致是（）

ABCD

8.若第函数）,=,（且列〃互素）的图象如下图所示，则下列说法中

不正确的是（）

A.0<-<1

n

B.m是偶数，〃是奇数

C.〃?是偶数，〃是奇数，且‘<1

n

D.6、〃是偶数，且%>1

n

一.填空题

9.比较下列各式的大小

⑵

10.己知幕函数“6=—+'”尸(〃蚱乂)，经过点(2,6)，试确定加的值，则

满足条件f(2-a)>的实数u的取值范围.

三.解答题

11.已知恭函数=(实数mWZ)的图像关于了轴对称，且〃2)>/⑶.

(1)求，〃的值及函数〃.。的解析式；

(2)若f(a+2)n),求实数〃的取值范围.

12.已知函数/(力=(〃/-"7-1)厂2,为何值时，/(X)：

(1)是幕函数；

(2)是正比例函数；

(3)是反比例函数:

(4)是二次函数.

【参考答案】

一.选择题

1.给出下列函数：

①y=4;②y=3工-2；⑤y=d；@y=\[^；©y=(x-l)2：⑥y=03,

X

其中是事函数的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】B

2.基函数/(工)的图象过点(3,西)，则〃8)=()

A.8B.6

C.4D.2

【答案】C

3.已知幕函数/(工)=(，〃2_3〃?+3卜”用为偶函数，则加=()

A.1B.2

C.1或2D.3

【答案】A

4.函数的图象是（）

【答案】