《19.1.1 变量与函数》教案、同步练习

第19章《19.1.1变量与函数》

教学内容19.1.1变量与函数第一课时

知识与技能：

1.认识变量、常量.

2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.

过程与方法；1.经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有

教学条理地、清晰地阐述自己观点.

目标2.逐步感知变量间的关系.

情感、态度与价值观：

1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.

2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.

1.认识变量、常量.

教学重点

2.用式子表示变量间关系.

教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量.

教学方法引导、探索法

教学准备PPt

教学过程设计（含各环节中的教师活动和学生活动以及设计意图）

I.提出问题，创设情境

情景问题:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米.

行驶时间为t小时.

1.请同学们根据题意填写下表：

1/时12345

教学过程

s/千米

2.在以上这个过程中，变化的量是________.变变化的量是_•

3.试用含t的式子表示s.

通过本节课的学二，相信大家一定能够解决这些问题.

II.导入新课

1

［师］我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答.

［生］从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小

时行驶2X60千米,即120千米,3小时行驶3X60千米,即180千米,4

小时行驶4X60千米,即240千米,5小时行驶5X60千米,即300千米...

因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系：s=60t.其中里程s与时间

t是变化的量，速度60千米/小时是不变的量.

［师］很好！谢谢你正确的阐述.

这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实

现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量

的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中

的时间t、里程s,有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米

/小时.

［活动一］

活动内容设计：

1.每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，口场售出205张，晚

场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张，票房

收入y元.怎样用含x的式子表示y?

2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧

长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使

弹簧伸长0.5cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？

设计意图：

让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步

学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.

教师活动：

引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.

学生活动：

在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得

到正确的结论.

活动结论：

2

1.早场电影票房票入：150X10=1500（元）

日场电影票房收入:205X10=2050（元）

晚场电影票房收入:310X10=3100（元）

关系式:y=10x

2.挂1kg重物时弹簧长度：1X0.5+10=10.5（cm）

挂2kg重物时弹簧长度:2X0.5+10=11（cm）

挂3kg重物时弹簧长度；3X0.5+10-11.5（cm）

关系式:L=0.5m+10

［师］通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首

先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的.在一个变化

过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）,那么数值始终不变

的量称之为常量（constant）.如上述两个过程中，售出票数X、票房收入y；

重物质量m,弹簧长度L都是变量.而票价10元，弹簧原长10cm……都

是常量.

III.随堂练习

1.购买一些铅笔，单价0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，指出

其中的常量与变量，并写出关系式.

2.一个三角形的底边长5cm,高h可以任意伸缩.写出面积S随h变化关

系式，并指出其中常量与变量.

IV.课时小结

本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方

法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义.

1.确定事物变化中的变量与常量.

2.尝试运算寻求变量间存在的规律.

3.利用学过的有关知识公式确定关系区.

本课作业课后思考题、练E题.

课题:《19.1.1变量与函数》

一、例题展示

板书设计

二、作业

3

13票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值.例如早场x=150,

则y=1500；口场x=205,则y=2050；晚场x:310,则y=3100.

问题(2)中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长

度L就随之确定一个值.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长

0.5cm.当m=10时，则L=15,当m=20时，则L=20.

［:师］很好，他说得非常正确.谢谢你.我们再来回顾活动二中的两个问题.看

看它们中的变量又怎样呢？

［生］活动二中的两个问题也都分别有两个变量.

问题(1)中，很容易算出，当S=10cm时，r=l.78cm；当S=20cm时，r=2.52cm.

每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r=

问题(2)中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，即可得出另

一边长，再计算出矩形的面积.如：当x=lcm时，则S=1X(5-1)=4cm2,

当x=2cm时，则S=2X(5-2)=6cm'...它们之间存在关系S=x(5-x)

=5x-x2.因此可知，每当矩形长度x取定一个值时，面积S就随之确定一

个值.

［师］谢谢你，大家为他鼓掌.

由以上回顾我们可以归纳这样的结论：

上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一

个变量随之就有唯一确定的值与它对应.

其实，在一些月图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系.我们

来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：

(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏

部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每个确定的值，

y都有唯一确定的对应值吗？

5

（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与

y,对于表中每个确定的年份（x）,都对应着个确定的人口数（y）吗？

中国人口数统计表

年份人口数/亿

198410.34

198911.06

199411.76

199912.52

［生］我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值,

y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2〕中，对于表中每个确定的年份

x,都对应着一个确定的人口数y.

［师］一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每

个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量

（independentvariable）,y是x的函数（function）.如果当x二a时，y二b,

那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数."1

时的函数值s=60,t=2时的函数值s=120,1=2.5时的函数值s=150,…,

同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数;

人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数.当x=1999时，

函数值y=12.52亿.

从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.

［活动一］

活动内容设计：

1.在计算器上按照下面的程序进行操作：

［输入M任再一个丽］

卜键区］因日国目

显为（4算结航|

填表:

6

30

y

显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？

2.在计算器上按照下面的程序进行操作.

I

按键区O□□目

［显示算结果71

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果:

X1230-1

y3572-1

所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表

达式（用含有x的式子表示y）.

设计意图：

通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过时表中数据分

析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法.

教师活动：

引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式.

学生活动：

在教师引导下，1.经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更

加深刻理解函数意义.2.通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一

系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法.

活动结论：

1.从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的

y值与其对应，所以在这两个变量中，x是白变量、y是x的函数.

2.从表中两行数据中不难看出第三、四按键是3W这两个键，且每个x

的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是

x的函数.关系式是：y=2x+l

7

［:师］通过以后活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系

式确定的方法.为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题.

［活动二］

活动内容设计：

一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y(L)随行

驶里程x(km)的增加而减少，平均耗油量为0.IL/km.

1.写出表示y与x的函数关系式.

2.指出自变量x的取值范围.

3.汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？

设计意图：

通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法.学会

确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题.

教师活动：

注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围

的方法.

学生活动：

通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并

能掌握其一般方法.

活动过程及结果：

1.行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数.

行驶里程x时耗油为：0.lx

油箱中剩余油量为：50-0.lx

所以函数关系式为:y=50-0.lx

2.仅从式子y=50-0.lx上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实

际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为O.lx,它不能

超过油箱中现有汽油50L,即0.lxW50,xW500.

因此自变量x的取值范围是：

0WxW500

3.汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.lx在x=200时的

8

函数值，将x=200代入y=50-0.lx得：y=50-0.1X200=30

汽车行驶200km时,油箱中还有30升汽油.

［师］通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础

上，又学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法.知道了自变量取值

范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义.

in.随堂练习

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表

示函数的式子.

1.改变正方形的边长X,正方形的面积S随之改变.

2.秀水村的耕地面积是10"/,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n

的变化而变化.

解答：

1.正方形边长x是自变量，正方形面积S是x的函数.

函数关系式：S=x2

2.这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数.

函数关系式：y=—

n

IV.课时小结

本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，

并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量

取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力.

本课作业课后思考题、练习题.

课题：《19.1.1变量与函数》

三、例题展示

板书设计

四、作业

《19.LI变量与函数》同步练习

9

一、单选题（共15题；共30分）

1、物体从足够高的地方做自由落体运动，下降的高度h与时间t满足关系

1

式h=2gt2!/lij3秒后物体下落的高度是（g取10）（）

A、15米

B、30米

C、45米

D、60米

2、下列关系式中，变量x=T时，变量y=6的是（）

A、y=3x+3

B、y="3x+3

C^y=3x-3

D^y=-3x-3

3、如图，矩形的长和宽分别为8cm和4cm,截去一个宽为x的小矩形（阴

影部分）后余下另一个矩形的面积S与x之间的关系可表示为（）.

A、S=4x

B、S=4（8-x）

C、S=8（4-x）

D、S=8x

4、要画一个面积为20cn?的长方形，其长为xcm,宽为ycm,在这一变化过

程中，常量与变量分别为1）。

A、常量为20,变量为x,y

B、常量为20、y,变量为x

C、常量为20、x,变量为y

D、常量为x、y,变量为20

5、当x=2时，函数行2xT的值是（）.

A、0

1()

B、-3

C、3

D、4

6、已知函数y=3xT,当x=3时，y的值是（）.

A、6

B、7

C、8

D、9

1

7、在函数y二二中，自变量x的取值范围是（）.

A、x#-2

B、x>2

C、x<2

D、xW2

8、某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元.则y与

x之间的函数关系式为（）

1

A、y二一2x

1_

B、y=2x

C、y=-2x

D^y=2x

9、在关系式y=3x+5中，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数

值可以任意选择：③y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象

表示；⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（）

A、①②⑤

B、①②④

C、①③⑤

D、①④⑤

11

10、一名老师带领X名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票

每张10元.设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（）

A、y=10x+30

B、y=40x

C、y=10+30x

D、y=20x

11、某种型号的计算器单价为40元，商家为了扩大销售量，现按八折销售，

如果卖出x台这种计算器，共卖得y元，则用x表示y的关系式为（）

A、y=40x

B、y=32x

C、y=8x

D、y=48x

12、某地的地面温度为21℃,如果高度每升高1千米，气温下降3℃,则气

温T（℃）与高度h（千米）之间的表达式为（）

A、T=21-3h

B、T=3h-21

C、T=21+3h

D、T=（21-3）h

13、在利用太阳能热火器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的

长短而变化，这个问题中因变量是（）

A、太阳光强弱

B、水的温度

C、所晒时间

D、热水器

14、某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元.则y

与x之间的函数关系式为（）

1

A、…尹

B.y=2x

C、y=-2x

12

D、y=2x

1

15、若y与x的关系式为y=30x-6,当x=3时，y的值为（）

A、5

B、10

C、4

D、-4

二、填空题（共5题；共6分）

16、“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地

区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是,因变量是.

17、小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他自己的脚长25.5cm,若用x（cm）表示

脚长，用y（码）表示鞋码，则有2x-y=10,根据上述关系式，小强应给爷爷买

________码的鞋.

18、一列火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程*（千米）是所用时

间t（时）的函数，这个函数关系式可表示为.

19、林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一

个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，

数值一直在变化，在这三个量当中元/升是常量，是变量。

20、下列变量间的关系是函数关系的有________（填序号）

①正方形的周长与边长；②圆的面积与半径；

③土④商场中某种商品的单价为a元，销售总额与销售数量

三、解答题（共5题；共25分）

21、海水受日月的引力而产生潮汐现象.早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上

涨叫做汐，合称潮汐.潮汐与人类的生活有着密切的联系.某港口某天从0时到

12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深.

T（时）036912

h（米）57.45.12.64.5

上述问题中，字母T,h表示的是变量还是常量，简述你的理由.

22、根据下列情境编制一个实际问题，说出其中的常量与变量，小王春节骑

车去看望爷爷，小王家与爷爷家相距10千米，小王骑车的速度为每小时12千米。

13

23、齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间.

(1)用n的代数式表示t；

(2)说出其中的变量与常量.

24已知x无论取何正值,y)=-3x+7都比y2=kx+5大，求k的取值范围.

25、根据下列情境编制一个实际问题，说出其中的常量与变量，并说明变量

的取值范围：

小王春节骑车去看望爷爷，小王家与爷爷家相距13千米，小王骑车的速度

为每小时12千米.

答案解析部分

一、单选题

1、

【答案】C

【考点】函数值

1

【解析】【分析】直接把t二3代入函数关系式h=1gt?中即可得的答案.

【解答】把t=3代入函数关系式得：

1

h=2X10X3M5,

故选：C.

乙方用7此题主要考查了待定系数法求函数值，题目比较基础，关键是正确

代入.

2、

【答案】B

【考点】函数值

【解析】【分析】把x-1分别代入各项，看y的值是否是6即可判断。

【解答】A、当x=T时，y=-3+3二0,故本选项错误；

B、当x=T时，尸3+3二6,故本选项正确；

C、当x=T时,y=-3-3=-6,故本选项错误;

D、当x=T时，尸3-3二0,故本选项错误；

14

故选B.

【点评】解答本题的关键是掌握好求函数值的基本方法。

3、

【答案】B

【考点】函数关系式

【解析】【分析】观察图形可知：阴影部分面积=大矩形的面积-小矩形的面

积.

【解答】由题意得，S与x之间的关系可表示为S=4X8-4x=4(8-x),

故选B.

【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的面积公式，准确把握图形的特征。

4、

【答案】A

【考点】常量与变量

【解析】【分析】根据常量与变量的定义即可判断c

由题意得，常量为20,变量为x,y,故选A。

【点评】解答本题的关键是熟记常量是指不变的量，变量是指变化的量。

5、

【答案】C

【考点】函数值

【解析】【解答】x=2时，y=2X2-l=4-l=3

选：C.

【分析】把x=2代入函数解析式计算即可得解.

6、

【答案】C

【考点】函数值

【解析】【解答】x=3时，y=3X3T=8选：C.

【分析】把x=3代入函数关系式进行计算

7、

【答案】D

15

【考点】函数自变量的取值范围

【解析】【解答】根据题意，有X-2W0,解可得xW2

选：D.

【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0;分析原函数式可得关系式

X-2W0,解可得自变量x的取值范围.

8、

【答案】D

【考点】函数关系式

【解析】【解答】依题意有：y=2x

选：D.

【分析】根据总价=单价X数量得出y与x之间的函数关系式

9、

【答案】A

【考点】函数关系式

【解析】【解答】①x是自变量，y是因变量；正确；②x的数值可以任意选

择；正确；

③y是变量，它的值与x无关：而y随x的变化而变化；错误；

④用关系式表示的不能用图象表示；错误；

⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确

选：A.

【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x

取全体实数：y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表

法和图象法.

10、

【答案】A

【考点】函数关系式

【解析】【解答】一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30

元，学生票每张10元.设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为y=10x+30

选：A.

【分析】根据师生的总费用，可得函数关系式

11、

【答案】B

【考点】函数关系式

【解析】【解答】依题意得y=40X80%Xx=32x.选：B.

【分析】等量关系是：总价=单价X80%X数量.

12、

【答案】A

【考点】函数关系式

【解析】【解答】•・•当高度为h时，降低3h,・•・气温TC与高度h（千米）

之间的关系式为T=21-3h

选：A.

【分析】气温=地面温度-降低的气温，把相关数值代入

13、

【答案】B

【考点】常量与变量

【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而

变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量.故选：B.

【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x

在某一范园内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的困

数，x叫自变量.函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的

数的变动而变动，就称为因变量.

14、

【答案】D

【考点】函数关系式

【解析】【解答】依题意有：y=2x,故选：D

【分析】根据总价:单价X数量得出y与x之间的函数关系式即可.

15、

【答案】C

17

【考点】函数值

【解析】【解答】解：由题意得：

1

y=30X3-6=4.

故选：C.

1

【分析】将x二q代入函数解析式可得出y的值.

二、填空题

16、

【答案】时间；温度

【考点】常量与变量

【解析】【解答】

“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一

天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是：时间，因变量是：温度.

【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终

不变的量称为常量

17、

【答案】41

【考点】函数值

【解析】【解答】,・•用x表示脚长，用y表示鞋码，

则有2x-y=10,而x=25.5,

则51-y=10,

解得:y=41

【分析】由于已知用x表示脚长，用y表示鞋码，则有2x-y=10,而爷爷只

告诉他自己的脚长25.5cm,代入公式即可求出小强该买多少码的鞋

18、

【答案】s案0t

【考点】函数关系式

【解析】【解答】s与t的函数关系式为：s=60t,

故答案为:s=60t.

【分析】根据路程二速度义时间即可求解.

19、

【答案】数量、金额

【考点】常量与变量

【解析】【解答】在这三个量当中元/升是常量，数量、金额是变量

【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在程序的运行过程中随

时可以发生变化的量

20、

【答案】①②④

【考点】函数的概念

【解析】【解答】在一个变化过程中，有两个变量和y,对于x的每一

个确定值，y都有唯一的值与之对应，则称y是x的函数.在③中，当x取一个

值时，对应的y值有两个，故不是函数。

【分析】函数要满足两个条件，一是有两个变量，二是对于自变量每取一个

确定的值，因变量有且仅有一个值与之对应

三、解答题

21、

【答案】解：字母T,h表示的是变量.因为水深h随着时间T的变化而变

化

【考点】常量与变量

【解析】【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生

变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量.

22、

【答案】解答：设小王与爷爷家的距离为s,出发时间为t,则

s=-12t+10,

T2与10是常量，s与t是变量

【考点】常量与变量

【解析】【分析】根据函数的定义，需要有两个变量，可以从小王与爷爷家

的距离和时间考虑求解

23、

【答案】解：（1）由题意得：

120t=n,

t=l20；

（2）变量：t,n常量：120.

【考点】常量与变量

【解析】【分析】（1）根据题意可得：转数=每分钟120转X时间；

（2）根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称

为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量.

24、

【答案】解答：由题意得，-3x+7>kx+5,

所以（k+3）x<2,

*.*x无论取何正值，y^-Sx+7都比y2=kx+5大，

・・・k+3W0,

解得kW-3

【考点】函数值

【解析】【分析】根据函数值列出不等式，再根据对任意正数x不等式都成

立列出关于k的不等式，然后求解

25、

【答案】解：设小王与爷爷家的距离为s,出发时间为t,

则s=-12t+10,

-12与10是常量，s与t是变量，

Vs>0,BP-12t+10>0,

5

At<6,

5

t的取值范围是OWtWE,

s的取值范围是OWsWIO.

【考点】常量与变量

【解析】【分析】根据函数的定义，需要有两个变量，可以从小王与爷爷家

2()

的距离和时间考虑求解.

《第19章1.1变量与函数》教案

教学目标

知识与技能：理