【吃透中考数学29个几何模型】模型04 等腰直角三角形构造三垂直模型

专题04等腰直角三角形构造三垂直模型

一、解答题

1.如图，在平面直角坐标系工。)，中，一次函数)，=上/+〃的图象与X轴交于点A(-3,0),与y轴交于点

B,且与正比例函数)，=h的图象交点为C(3,4).

(1)求2值与一次函数y=klX+b的解析式：

(2)在x轴上有一动点P,求当P8+PC最小时。点坐标.

(3)若点。在第二象限，是以A8为宜角边的等腰直角三角形，请求出点。的坐标；

【分析】

(1)根据待定系数法求解即可；

(2)作点B关于x轴对称的点B',连接B'C,交x轴于点P,此时PB+PC最小，求出直线B'C的解析

式，求出直线B，C与x轴的交点坐标即可：

(3)分两种情况讨论：①当NDAB=90。时：②当/D'BA=90。时，添前辅助线构造全等三角形进行求解即

可.

【详解】

解：⑴由题意，将点C(3,4)代入y=kx中，得：4=3k,

4

解得：k=—,

再将点C(3,4)、点A(-3,0)代入y=kix+b中，得：

-3勺+6=0

'3k1+b=4，

k,=—

解得：13.

b=2

2

，函数y=kix+b的解析式为：y=yx+2：

（2）如图，作点B关于x轴对称的点B',连接B'C,交x油于点P,此时PB+PC最小,

2

在y=/x+2中,令x=0,则y=2,

・・・B(0,2),则B'(0,-2),

设直线C的解析式为y=k2X-2,

将C（3,4）代入得:4=3k2-2,解得:k2=2,

・•・直线B'C的解析式为y=2x・2,

令y=0,由0=2x-2得：x=l,

工点P坐标为（I,0）；

(3)根据题意,OA=3,OB=2,分两种情况:

①当NDAB=90。时，DA=AB,

过点D作DM_Lx轴于E,

VZDAM+ZBAO=90°,ZBAO+ZABO=90%

:.ZDAM=ZABO,

VZDM/X=ZAOB=90°,DA=AB,

.*.△DAM^AABO(AAS),

ADM=OA=3,MA=OB=2,

.,.D(-5,3)；

②当/D'BA=90。时，D'B=AB,

过D'作D'N_Ly轴于N,

同理可证△□'BN^ABAO(AAS),

.\BN=OA=3,D'N=OB=2,

AD'(-2,5),

故点D的坐标为（-5,3）或（-2,5）.

【点睛】

本题是•次函数的综合题，主要考查待定系数法求•次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判

定与性质、一次函数与几何图形及最苑路径相关问题、解二元一次方程组等知识，熟练掌握一次出数的相

关知识，添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键.

2.在A8C中，ZACB=90°,AC=BC,直线，MN经过点C,且AD_LMN于点D,BE_LMN于点E.

(1)当直线MN绕点C旋转到如图I的位置时，求证：DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当宜线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直

【答案】(1)见解析：(2)见解析；(3)DE=BE-AD

【分析】

(1)由题意易得/DAC+/ACD=90。，则NDAC=NBCE,进而可证AADCgaCEB,然后根据全等三角

形的性质可求解：

(2)由题意易得NCEB=NADC=90。，则可求NCAD=NBCE,进而可证△CADgZXBCE,然后根据全等三

角形的性质可求解；

(3)根据题意可证△CADg/SBCE,然后根据全等三角形的性质可求解.

【详解】

(1)证明：VAD±MN,BEXMN,

・•・ZADC=ZCEB=90°,

/.ZDAC+ZACD=90°,

ZACB=90°,

/.ZBCE+ZACD=90%

:.ZDAC=ZBCE,

/ADC和^CEB,

/ADC=NCEB

<NDAC=NECB,

AC=CB

AAADC^ACEB(AAS),

/.CD=BE,AD=CE,

，DE=CE+CD=AD+BE：

(2)证明：VAD1MN,BE_LMN,

/.ZADC=ZCEB=90°,

:.ZDAC+ZACD=90°,

ZACB=90°,

・•・ZBCE+ZACD=90°,

:.ZDAC=ZBCE,

•/AC=BC,

/.△/XDC^ACEB,

.\CD=BE,AD=CE,

.*.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)解:DE=BE-AD,理由如下:

VADIMN,BE1MN,

:.ZADC=ZCEB=90°,

ZDAC+ZACD=90°,

■:ZACB=90°,

.,.ZBCE+ZACD=90°,

:.ZDAC=ZBCE,

VAC=BC,

.*.△ADC^ACEB,

ACD=BE,AD=CE,

/.DE=BE-AD.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等二角形的性质与判定

及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

3.课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：

（1）求证：△ADC^ACEB：

<2）已知DE=35cm,请你帮小明求已砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）

【答案】（1）见详解：（2）砌墙砖块的厚度a为5cm.

【分析】

（1）根据题意可得AC=BC,ZACB=90°,AD1DE,BE1DE,进而得到NADC=NCEB=90。，再根据

等角的余角相等可得/BCE=NDAC,再证明△ADC^ACEB即可.

（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答.

【详解】

（1）证明：由题意得：AC=BC,NACB=90。，AD_LDE,BE±DE,

:.ZADC=ZCEB=90°,

:.NACD+ZBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

/.ZBCE=ZDAC,

NADC=NCEB

在^ADC和NDAC=NBCE,

AC=BC

AAADC^ACEB(AAS)：

(2)解：由题意得：•・•一块墙砖的厚度为a,

AD=4a,BE=3a,

由(1)得：△ADC^ACEB,

/.DC=BE=3a,AD=CE=4a,

，DC+CE=BE+AD=7a=35,

/.a=5,

答：砌墙砖块的厚度a为5cm.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件.

4.己知，A(-1,0).

(I)如图I，B(0,2),以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角AABC.

①求C点的坐标；

②在坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使APAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标:

若不存在，请说明理由：

(2)如图2,点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角AAEM,设M(a,b),求a-b的值.

【答案】⑴①C(-2,3)；②存在，P(2,l)或(1,-1)或(-3,1)：(2)I.

【分析】

(1)作CDJLy轴于D,证△CEBgABOA,推出CE=OB=2,BE=AO=1,即可得出答案：

(2)分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案;

(3)作MF_Ly轴于F,证△EFMgAAOE,求出EF,即可得出答案.

【详解】

(1)①作CE_Ly轴于E,如图1,

0A=1,0B=2,

,:ZCBA=90°,

:.ZCEB=ZAOB=ZCBA=90°,

ZECB+ZEBC=90°,ZCBE+ZABO=90°,

:.ZECB=ZABO,

在BAO中

NECB=NABO

•NCEB=NAOB

BC=AB

：.ACBE^ABAO,

.\CE=BO=2,BE=AO=1,

即OE=1+2=3,

AC(-2,3).

②存在点P，使△PAB与ABC全第,

分为三种情况：①如图2,过P作尸E_Lx轴于E

则ZPA8=ZAO3=NP£4=90，

.•.HX+NPAE=90，NPAE+N8AO=90，

NEPA=NBAO,

在PE4和AOB中

NEPA=/BAO

ZPEA=NAOB,

PA=AB

.♦.PEA丝AOB,

^PE=AO=\,EA=BO=2,

OE=l+2=3,

即〃的坐标是(-3,1)：

②如图3,过。作CM_Lx轴于•例，过，作PEJ.X轴于，

则NCMA=N〃E4=9()，

CBAPBA,

/.ZPAB=^CAB=45，AC=AP,

/.ZCAP=90，

.•.NMC4+NC4M=90，NC4M+NPA石=90

/MCA=乙PAE,

在CAM和〃中，

4MCA=4PAE

<NCMA=ZPEA,

AC=AP

CMAT4AEP,

PE—AM,CM=AE,

C（-2,3）,A（-l,0）,

PE=2-1=1.OE=AE-AO=3-\=2.

即P的坐标是（2,1）；

③如图4,过如作尸E_Lx轴于E,

：.AB=AP,NC8A=N8”=90,

则NA律=4408=90，

/.ZBAO+/PAE=90，ZPAE+/APE=90，

NBAO=/APE,

在和PE4中，

NBAO=/APE

・408=Z.PEA,

AB=AP

/.AOBmPEA,

：.PE=AO=l,AE=OB=2,

:.（）E=AE-AO=2-\=\.

即〃的坐标是（1,-1）,

综合上述：符合条件的P的坐标是（—3,1）或或（2,1）.

（2）过M作M/7，），轴于尸，得到下图5

二•M（a,b）

:.MF=a,FO=b,

由上图得：ZAEM=ZEFM=ZAOE=90,

4AEO+NMEF=90，ZA/EF+ZEMF=90，

:.ZAEO=ZEMF,

在AAOE和△£例尸中

ZAOE=NEFM

<ZAE0=4EMF,

AE=EM

.・.AEO^EMF(AAS),

EF=AO=],MF=OE,

朋N_Lx轴，M/JLy轴，

/.ZMFO=/FON=ZMNO=90，

/.四边形"ONM是矩形，

MN-OF,

a-b=MF-OF=EO-OF=EF=OA=\.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用

性质进行推理的能力，用了分类讨论思想.

5.公路上，A,8两站相距25千米，C、。为两所学校，。4_146于点八，C8_LA8于点8,如图,

己知。4=15千米，现在要在公路A8上建一报亭”，使得C、。两所学校到”的距离相等，且

ZDHC=90°,|hj：〃应建在距离A站多远处？学校。到公路的距离是多少千米？

【答案】”应建在距离A站ior米处，学校。到公路的距离是ior米.

【分析】

先根据垂直的定义可得乙4=N8=90。，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得/O=NB”C,

然后根据三角形全等的判定定理与性质可彳HA"=BC.DA==15T米，最后根据线段的和差可得.

【详解】

由题意得：DH=HC,48=25千米，

DA±AB.CB±AB,

.•.NA=N8=90。，

/.ND+NA"。=90。，

ZD/7C=90°.

ZBHC+NAHD=180°-NDHC=90°,

ND=NBHC，

NA=NB

在PAD“和中，•NO=N8，C,

DH=HC

：.ADH=BHC(AAS),

AH=BC,DA=HB,

0A=15千米，AB=25千米，

〃B=15千米，

BC=AH=AB-HB=10千米，

答：〃应建在距离A站10千米处，学校C到公路的距离是10千米.

【点睛】

本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三

角形全等的判定方法是解题关键.

6.如图所示，在A4BC利AOBC中，ZACB=ZDBC=90°,点E是BC的中点，EF1AB,垂足为F,且

AB=DE.

(1)求证：BC=BD：

(2)若BD=10厘米，求AC的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)5MX

【分析】

(1)由DE_LAB,可得/BFE=90。，由直角三角形两锐角互余，可得NABC+/DEB=90。，由NACB=90。，

由直角三角形两锐角互余，可得NABC+NA=90。，根据同角的余角相等，可得NA=NDEB,然后根据AAS

判断△ABC^AEDB,根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC；

(2)由(1)可知^ABC会2XEDB,根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE,由E是BC的中点，得

到BE=gBC==BD=5厘米.

22

【详解】

解：(1)VDE1AB,可得NBFE=90。，

・•・ZABC+ZDEB=90°,

■:ZACB=90°,

ZABC+ZA=90°,

:.ZA=ZDEB,

在△EDB中，

ZCB=4DBC

-^A=ZDEB,

AB=DE

：.AABC^AEDB(AAS),

，BD=BC；

(2)VAABC^AEDB,

.*.AC=BE,

,.,E是BC的中点，BD=10厘米，

・•・BE=gBC=!BD=5厘米.

22

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS,直

角三角形可用HL定理，但AAA、SSA,无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的

三角形是解决本题的关键.

7.综合与实践

特例研究：

将矩形A8CO和R/CE/按如图1放置，己知NFCE=90。,AD=CD,CE=CF,CF>CD,连接

BF\DE.

F

(1)如图1,当点。在C/'上时，线段8F与OE之间的数量关系是；直线3F与直线OE之

间的位置关系是：

拓广探索：

(2)图2是由图1中的矩形4AC。绕点C顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段B6与OE之间的数量

关系和直线8/与直线DE之间的位置关系，并说明理由.

图2:

【答案】C)RF=DE>RF1DE,(2)RF=DE、RFIDE,理由见解析

【分析】

(1)BF=DE,BF工DE,延长石。交B/7于点G先证△FBC^^EDC(SAS),可知

BF=DE,ZCED=ZCFB,由NDCE=90°,可得NDEC+NCDE=90",可推出NFDG+NGFD=900即可，

(2)先下结论，BF=DE,BF1DE,再证明，证法与(1)类似，延长ED交CF于点M,交FB于点N,由

四边形48C7)为矩形且AD=CD可得CD-C4,DCEx可推出

BF=DE,NCED=/CFB.由NFCE=9U°,知

ZGV/E+ZCED=90°.由NOE，可用等量代换得/2例2+/。m=90。,由三角形内角和得

Z.FNE=90°,即可.

【详解】

解：(1)BF=DE,BF工DE,

延长EO交B尸于点G,

•・•四边形A8C。为矩形，且AD=DC

BC=CD,

Z/^CF=ZDC£=90°,

由旋转的FC=EC,

/.△FBC^AEDC(SAS),

BF=DE,ZCED=ZCFB,

,/ZDCE=90°,

二ZDEC+ZCDE=90°,

ZFDG+ZGFD=90°

ZFGD=90°

(2)BF=DE,BFA.DE,

理由如下：

如答图，延长E。交CT于点用，交于点N.

答图

ZFCE=90°,

四边形ABC。为矩形，

/.ZBCD=4FCE,

NFCB+ZFCD=NECD+ZFCD,

：.NFCB=ZECD,

AD=CD,

矩形ABC。为正方形.

/.CD=CB,

在DCE和aBC产中，

CD=CB,

<4ECD=/FCB,

CE=CF,

DCE^BCF(SAS).

BF=DEICED=NCFB.

NFCE=90。,

ZC/WE+ZCED=90°.

4cME=4FMN、

4FMN+/CFB=90。,

NFNE=90。,

BFLDE.

【点睛】

本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会

利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法.

8.已知：在A8C中，ZBAC=90°,AB=CA,直线机经过点A,BQJ_直线小于点。，CE_L直线小于点

E.求证：△8D4二△AEC：

【答案】证明见解析.

【分析】

先根据垂直的定义可得NADB=NCE4=90。，再根据直角三角形的两锐角互.余、角的和差可得

ZBAD=ZACE,然后根据三角形金等的判定定现即可得证.

【详解】

:.Z.AD13=ZCEA=9O0,

.•.NACE+NCAE=90。，

NBAC=90。，

/./BAD+ZCAE=180°-^BAC=90°,

/BAD=NACE,

NADB=/CEA

在V3OA和AEC^,ZBAD=ZACE,

AB=CA

BDA=AEC（AAS）.

【点睛】

本题考查了垂直的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是

解题关键.

9.（提出问题）如图1,在直角A6C中，N8AC=90。，点A正好落在直线/上，则/I、N2的美系为_

（探究问题）如图2,在直角A8C中，N朋C=90。，AB=AC,点A正好落在直线/上，分别作8。）于

点。，CE工I于点E,试探究线段B。、CE、。£之间的数量关系，并说明理由.

（解决问题）如图3,在A3C中，NCAB、NC8A均为锐角，点4、8正好落在直线/上，分别以A、B

为直角顶点，向A4C外作等腰直角三角形4CE和等腰直角三角形8cH分别过点£、尸作直线/的垂线,

垂足为M、N.

①试探究线段EM、AB、尸N之间的数量关系，并说明理由；

②若AC=3,BC=4,五边形EMNFC面积的最大值为

【答案】提出问题：Zi+Z2=900；探究问题：BD+CE=DE,理由见解析；解决问题：①+FN=AB,

49

理由见解析；②二

【分析】

提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；

探究问感：先根据垂直的定义可得408=NC£A=90。，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可

得NABD=/2,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得5£>=A£；AD=C£,最后根据线段的和基

即可得；

解决问题：①如图（见解析），同探究问题的方法可得EM=AD,FN=8。，再根据线段的和差即可得：

②如图（见解析），同探究问题的方法可得EAM,BCDWFBN,再根据三角形全等的性质可

得S・一。EAM，SKD=SFBN，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC面积表示出来，由此即可得

出答案.

【详解】

提出问题：Z1+Z2+ZBAC=180°,ABAC=90°,

Zl+Z2=90°,

故答案为：Zl+Z2=90°；

探究问题：BD+CE=DE,理由如下：

BD上l,CEJJ,

NAO8=NCEA=90。，

...48。+/1=90。，

由提出问题可知，Nl+N2=90。,

...NABD=Z2,

/ADB=LCE\

在XABC和VCAE中，•NABD=N2,

AB=CA

：.ABD=CAE(AAS),

:.BD=AE,AD=CE,

DE=AE+AD=BD+CE,

即8D+CE=OE；

解决问题：①EM+FN=AB,理由如下：

同探究问题的方法可证：EM=AD,FN=BD,

AB=AD+BD=EM+FN,

即+=A3：

②如图，过点C作C。_L/丁点D,

同探究问题的方法可证：EAM,BCD=FBN,

=

••s1HHw,SBCDSFBN，

QVACE和ABCF都是等腰宜用三角形，且AC=3,8C=4,

...AE=AC=3,BF=BC=4,

〃边形EMNFC面积为+SACD+SBCD+SBCF+S

则当44c面积取得最大值时，五边形EMNFC面积最大,

设AZJC的BC边上的高为/?,则5八品=3以：〃=2/?，

在48c中，NCA8、NC8A均为锐角，

二.当乙4。8=90。时，力取得最大值，最大值为AC=3,

.・.48C面积的最大值为SABC=2x3=6.

2549

则五边形EMNFC面积的最大值为2x6+二二—,

22

49

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三珀

形全等的判定定理与性质是解题关键.

10.如图，在△ABC中，AC=BC,直线1经过顶点C,过A,B两点分别作1的垂线AE,BF,E,F为垂

足.AE=CF,求证：ZACB=90°.

【答案】见解析

【分析】

根据题意易得RSACEWRSCBF,则有NEAC=NBCF,然后根据等角的余角相等及领补角可求证.

【详解】

证明：如图，在RsACE和RSCBF中，

AC=BC

AE=CF'

RIAACE^RIACBF(HL),

:.ZEAC=ZBCF,

ZEAC+ZACE=90°,

ZACE+ZBCF=90°,

/.ZACB=180°-90°=90°.

【点睛】

本题主耍考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键.

II.如图1,在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,过C在^ABC外作直线MN,AM1MN于点M,BN±MN

于点N.

(1)求证：MN=AM+BN；

(2)如图2,若过点C作直线MN与线段AB相交，AM_LMN于点M,BN_LMN于点N(AM>BN),(1)

中的结论是否仍然成立？说明理由.

【答案】(1)见解析：(2)不成立，理由见解析

【分析】

(1)根据垂直的定义得到NAMC=/CNB=90。，则NMAC+NACM=90。，又/ACB=90。，则

ZACM+ZNCB=90°,于是根据等量代换得到NMAC=NNCB,根据“AAS”可证明△ACM乌ZkCBN,根据

全等的性质得到AM=CN,CM=BN,则MN=MC+CN=AM+BN.

(2)根据已知条件能证得△ACMgZXCBN,利用全等的性质得到AM=CN,CM=BN,WMN=CN-CM=AM-BN.

【详解】

解:(1)・・・AM_LMN于点M,BN_LMN于点N,

:.ZAMC=ZCNB=90°,

...ZMAC+ZACM=90°,

ZACB=90°,

:.ZACM+ZNCB=90°,

:.ZMAC=ZNCB,

在△ACM和△CBN中，

2AMe=NCNB

<ZMAC=NNCB\

AC=BC

AACM^ACBN,

r.AM=CN,CM=BN,

:.MN=MC+CN=AM+BN.

(2)题(1)中的结论不成立，

同题(1)证明可知：ACM^ACBN,

.*.AM=CN,CM=BN,

MN=CN-CM=AM-DN,

【点睛】

本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键.

4

12.在平面直角坐标系中，函数y=+4的图像分别交x轴、》轴于点4、C,函数丁=奴+。的图象

分别交x轴、了轴于点仇。，且OC=4OB,过点。作射线CR//x轴.

(1)求直线3c的解析式：

(2)点P自点。沿射线CR以每秒1个单位长度运动，同时点。自点A沿线段AC以每秒I个单位长度的

速度向终点C运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，走接夕。.设△尸OC的面积为S,点

0的运动时间为/(秒)，求5与1的函数关系式，并直接写出f的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点尸作尸尸//C3,交X轴于点尸，连接Q尸，在夕、。运动的过程中，是否存

在f值，使得/尸产。=45°,若存在，求，值：若不存在，请说明理由.

2IS25

【答案】(1)y=4x+4.(2)5=—r2+2r(0<r<5)；(3)存在，一或一

5117

【分析】

(1)利用待定系数法求出A,。两点坐标，再求出点B坐标即可解决问题：

(2)想办法用/表示点Q坐标，利用三角形面积公式计算即可：

(3)分两种情形，通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题.

【详解】

4

解：(I)函数)，=-§x+4的图象分别交x轴、y轴于点A,C，

A(3,0),C(0,4),

OA=3,OC=4,

OC=4OB,

JOB=1,

8(—1,0),

b=4

设直线BC的解析式为y=^+b,则有〈，,八，

-k+b=0

fk=4

二.直线BC的解析式为)，=4x+4.

(2)如图1中，

图1

34

由题意AQ=PC=I,易知。(3-三，，-Z),

:.S=-f(4-i/)=--r+2/(0<f<5)

255

(3)存在；

情形①如图2中，取点”(4,3),连接CM,8W，作MG_LC7?垂足为G交OA于K,作Q〃_LOA垂足为

H.

I图2

CG=CO=4,NCGM=NCO〃=90。，MG=BO=l

.-.△CGM=△COB(ASA),

4GCM=乙OCB,CB=CM,

.•.N8CM=NOCG=90。，

ABCM的等腰直角三角形，

/.Z1=Z3=45°,

PFIIBC,

Z2=Z1=45°,Z4=45°,

.•.N2=N4，

:.FQ//BN,

/QFH=/MBK,NQHF=/MKB=90°,

.△QHFMMKB,

43

'~MK~~BK''y=------------

15

:.t=—.

II

情形②如图3中，由/2=N4=45°,可知NMN〃=90。,

/图3

由△QHFsgKM得到丝=把，

BKMK

94，3（"/）,

53

25

t=—,

7

15?5

综上所述1=—或，.

117

【点睛】

此题考查一次函数的应用，直角三角形的性质及全等三角形以及相似三角形的判定及性质，属于综合性较

强的题目，对于此类动点型题目，首允要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间，表示出有关

线段的长度，进而建立关于线段的关系式，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，难度较大.

13.已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a,0）、C（b,c）,且a、b、c满足Ja+3+|b-3|+（2+c）~

=0.

（1）求点A、C的坐标；

（2）在x轴正半轴上有一点E,使NECA=45。，求点E的坐标：

<3）如图2,若点F、B分别在X轴正半轴和『轴正半轴匕且OB=OF,点P在第一象限内，连接PF,过

P作PMJ_PF交y轴于点M,在PM上截取PN=PF,连接PO、BN,过P作NOPG=45。交BN于点G,求证:

点G是BN的中点.

【分析】

(I)根据题意，由算术平方根，绝对值和平方数的非负性，求出a、b、c的值，即可得出点A、C的坐标；

(2)通过辅助线作图，构造•线三垂直模型，证明心，求出点G的坐标，由等面积法求出AE

长度即可求出点E坐标：

(3)作EO_LOP交PG的延长线于E,连接EB、EN、PB,只要证明四边形ENPB是平行四边形即可.

【详解】

(1)由题意知，Va+3+lb-3|+(2+c)2=0,

所以a=-3,b=3,c=-2,

点A坐标为(-3,0),点C坐标为(3,-2),

故答案为：(-3,0)；(3,-2)：

(2)过点A作AC的垂线，交CE的延长线于点G,过点A作x轴的垂线KL,过点C作KL的垂线于点K,

过点G作KL的垂线于点L,过点G作x轴的垂线于M,过点C作x轴的垂线于N,

VZECA=45%AG1AC,

ZCAG=9()0,AG=AC,△CAG为等腰直角三角形，

由一线三垂直模型可知，ZGAL=ZACK,

在△ALG和aCKA中

N4LG=NCKH=90。

NGAL=ZACK

AG=AC

•*,SBBR名SCKA

:.AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2，

，GM=6,OM=3-2=1,

，点G坐标为(-1,3),

22

在R2ANC中，AN=6,CN=2,由勾股定理得，AG=AC=>/6+2=2x/10•

由等面积法，得LXACXAG='X4EX(GM+CN),

22

.,.-x2Vl()x2ViO=-xAEx8,

22

/.AE=5,

/.OE=AE-OA=5-3=2,

故点E坐标为(2,0),

故答案为：(2,0)；

(3)如图，作EO_LOP交PG的延长线于E,连接EB、EN、PB,

VZEOP=90°,ZEPO=45°,

:.ZOEP=ZEPO=45",

AEO=PO,

VZEOP=ZBOF=90°,

:.ZEOB=ZPOF,

在AEOBfllAPOF中,

BO=OF

<ZEOB=ZPOF

OE=OP

/.△EOB^APOF,

，EB=PF=PN,Z1=ZOFP,

•/Z2+ZPMO=180°,

ZMOF=ZMPF=90°,

/.ZOMP+ZOFP=180°,

:.Z2=ZOFP=Z1,

，EB〃PN,

VEB=PN,

・•.四边形ENPB是平行四边形,

.*.BG=GN,

即点G是BN的中点.

【点睛】

本题考查了算术平方根，绝对值和平方数的非负性，一线三垂直模型，等面积法求线段长度，三角形全等

的判定和性质，平行四边形的判定和性质应用，熟练掌握图形的判定和性质是解题的关键.

14.在平面直角坐标系中，已知点A(a,O)、。(0⑼满足(〃+2)2+加d=()

图1

(1)直接写出：a=,b=.

(2)点B为x轴正半轴上一点，如图1,BEJ.AC于点E,交y轴于点。，连接0E,若0E平分NAEB,

求直线踮的解析式.

(3)在(2)的条件下，点M为直线BE上一动点，连OM,将线段0M绕点M逆时针旋转90。，如图2,

点。的对应点为N,当点M运动时，判断点N的运动路线是什么图形，并说明理由.

2320

【答案】(I)—2,-5：(2)y=-x—2；(3)点N的运动路线是直线y=~~^jx—亍，理由见解析

【分析】

(1)根据题意得到关于a、b的方程，求a、b即可：

(2)如图I,过点。作O/_LO石，交BETF,分别证明△石OC经AEOB,\AOC^\DOB,得到

OB=OC,OA=OD,确定点B、D坐标，利用待定系数法即可求解；

(3)如图2,过点M作“G_Lx轴，叁足为G,过点N作N”_LGM曼GM的延长线于H,证明&V0M

为等腰直角三角形，得到0G=M〃.GM=NH,设加［"?,:/〃一2),则〃(也一(〃?一2),得到

I,即一〃?-2=x,--m-2=y,消去m,即可得到点N运动轨迹.

V55J55

【详解】

解：(1)由题意得a+2=0,b+5=0,解得a=—2，b=-5,

故答案为：—2»-5：

(2)如图1,过点0作。尸_LOE,交BE于F,

VBELAC,。£平分NAE8,

・•・\EOF为等腰直角三角形，

.•・OE=OF,ZBOF=ZCOE=45°,

VBEJ.AC于点E,

/.ZI+ZBAC=90°,

•/Z2+ZBAC=90°,

r.zi=Z2,

:.AEOCZ\FOB,

・•・OB=OC,

VZ1=Z2,ZAOC=ZDOB=90°,

Z.^AOgADOB,

OA=OD,

VA(-2,0),C(0,-5),

.•.仇0,-2),8(5,0),

设直线BD解析式为y=k+〃，

*b=—2

"5k+b=0'

b=-2

lc=—

5

2

・•・直线80,即直线BE的解析式为y=gx-2：

图1

(3)由题意得，&VOM为等腰直角三角形

如图2,过点〃作HG_Lx轴，垂足为G,过点N作N〃_LGM交GA7的延长线于〃,

•••AVOW为等腰直角三角形，

・•・AGOM9AHMN.

：.0G=MH,GM=NH,

2

由(2)得直线8。的解析式y=gx—2,

设M/〃,[/〃一2),则“(/〃,一•1〃?一2),

N(-fn-2,--fn-2,

155>

73

令一〃7-2=,—"，一2=y,

55

.32U

••y=--x

7

20

7

图2

【点睛】

本题为一次函数综合题，考查了三角形全等判定，等腰直角三角形性质，待定系数法等，综合性强，根据

题意构造全等，理解函数图象是点的运动轨迹是解题的关键.

15.如图，将RSABC的斜边8。绕点8顺时针旋转90。得边8Z),过点。作人8的垂线，交八8延长线于点

【答案】见解析.

【分析】

先由旋转的性质得到/。8c=90。=/048,再运用“AAS，证得△£758经△相€?即可.

【详解】

证明：YBC绕点B顺时针旋转90。得边B。，

：,BC=RD,NDBC=900=NCAB,

...NABC+NAC8=90。，NABC+/DBE=9()。,

：./ACB=/DBE,

又•••/C43=NOE3=9(r,

:*AEDB^AABC(AAS).

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和旋转的性质，根据旋转的性质得到判定全等三角形的条件是解答本题的关

健.

16.如图，已知在△ABC中，AB=AC,NBAC=90。，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、

(1)如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF：

(2)如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE-10,CF-3,求：FE长.

【答案】(1)见解析；(2)7

【分析】

(1)此题根据已知条件容易证明△BEA四△AFC,然后利用对应边相等就可以证明题目的结论;

(2)根据(1)知道4BEA0aAFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了.

【详解】

解：(1)VBE±EA,CF_LAF,

/.ZBAC=ZBEA=ZCFE=90°,

/.ZEAB+ZCAF=90°,ZEBA+ZEAB=90°,

:.ZCAF=ZEBA,

在△48£和4AFC中，

ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA=ZCAF,AB=AC,

.,.△BEA^AAFC.

，EA=FC,BE=AF.

r.EF=EB+CF.

(2)解：VBEXEA,CF1AF,

/.ZBAC=ZBEA=ZCFE=90°,

.•・NEAB+NCAF=90。，ZABE+ZEAB=90°,

:.ZCAF=ZABE,

在△AFC中，

ZBEA=ZAFC=90°,NEBA=NCAF,AB=AC,

AABEA^AAFC.

AEA=FC=3,BE=AF=10.

.,.EF=Ar-cr=io-3=7.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题.

17.在AABCW，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BEJ_MN于E,

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系并加以证明；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，你在（I）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想

并加以证明.

<3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这

个等量关系.

【答案】（1）DE=AD+BE,理由见详解：（2）发生变化，AD=BE+DE,理由见详解：（3）BE=AD+DE.

【分析】

（1）由题意易得NCDA=NBEC=90。，ZDCA+ZECB=90°,ZDCA+ZDAC=90°,则有NDAC=NECB,

进而可知^ADC^ACEB,然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证：

（2）由题意易得NCDA=NBEC=90。，ZDCA+ZCAD=90°,ZDCA+ZBCE=90°,则有/DAC二NECB,

进而可知^ADC之△CEB,然后根据金等三角形的性质及线段等量关系可求证；

（3）由题意易得NCDA=NBEC=90。，ZDCA+ZECB=90°,ZEBC+ZBCE=90°,则有NACD=NCBE,进

而可知△ADC^ACEB,然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可得解.

【详解】

解：（1）DE=AD+BE,理由如下:

ZACB=90°,AD_LMN于D,BE_LMN于E,

/.ZCDA=ZBEC=90°,ZDCA+ZECB=90°,ZDCA+ZDAC=90°,

/.ZDAC=ZECB,

AC=BC,

ADC^ACEB,

AD=CE,CD=BE,

DE=DC+CE

DE=AD+BE：

(2)发生变化，AD=BE+DE,理由如下：

ZACB=90°,AD_LMN于D,BEJ.MN于E,

/.ZCDA=ZBEC=90°,ZDCA+ZCAD=90°,ZDCA+ZBCE=90°,

ZDAC=ZECB,

AC=BC,

ADC^ACEB,

AD=CE,CD=BE»

CE=DC+DE

AD=BE+DE：

(3)BE=AD+DE,理由如下：

同理(2)的方法可得△ADC丝Z\CEB,

AD=CE,CE=AD,

CD=EC+DE

BE=AD+DE.

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.

18.如图，在ABC4JZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BEJ_MN于E.

(1)求证：△AOCWZiCEB：

(2)若AD=2,BE=3,求ABC的面积.

B

【分析】

(1)根据垂直定义求出NBEC=NACB=NADC,根据等式性质求出NACD=NCBE,根据AAS证出

△ADC和小CEB全等即可:

(2)由(1)可推出CD=BE,AD=CE,进而可得到AC=AB=旧，再计完△ABC面积即可.

【详解】

解：(1)证明：VZACB=90°,AD1MN,BE1MN,

:.ZBEC=ZACB=ZADC=90°,

ZACE+ZBCE=90%ZBCE+ZCBE=90°,

:.ZACD=ZCBE,

在△ADC和△CEB中

ZADC=ZBEC

<ZACD=ZCBE,

AC=BC

AADC^ACEB(AAS)；

(2)VAADC^ACEB

.\BE=CD,AD=CE,AC=BC,

又AD=2,BE=3,

.*.AC=BC=713,

ABC的面积为=

22

13

故^ABC的面积为—.

2

B

全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在

判定二角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

二、填空题

19.一个等腰直角三角尺不小心掉到丙墙之间（如图），已知NAC3=90°,AC=8C,从三角尺的刻度可

知A8=20c?〃,A。为三块砖的厚度，BE为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块

砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为cm.

1()726

【答案】

13

【分析】

设质坎的厚度为xcm,由题意可知；AD=3x,BE=2x,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AC,利

用AAS即可证出△DACgZ^ECB,从而得出CD=BE=2xcm,利用勾股定理列出方程即可求出x.

【详解】

解：设砖块的厚度为xcm,由题意可知：AD=3xcm,BE=2xcm

丁ZACB=90°