计数原理教学课件

■.I第五章计数原理___________________________

DIWUZHANG§1计数原理

日谦图新国法（教师独具内容）

课程标准：通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

教学重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理.

教学难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用.

核心素养：通过学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理，培养数学抽象、

逻辑推理及数学运算素养.

掌握

HFXINAAINIAN7HAz大WO

目画导学

知识点一分类加法计数原理

完成一件事，可以有〃类办法，在第1类办法中有加种方法，在第2类办法

中有〃22种方法……在第〃类办法中有"力种方法，那么，完成这件事共有N二画

四+加2+…+砧1种方法.（也称“加法原理”）

注意：完成这件事的若干种方法可以分成〃类，且类与类之间两两不交.

知识点二分步乘法计数原理

完成一件事需要经过〃个步骤，缺一不可，做第1步有〃力种不同的方法，做

第2步有加2种不同的方法……做第〃步有〃加种不同的方法，那么，完成这件事

共有N二画皿道二*种方法.（也称“乘法原理”）

新知」拓展

1.使用分类加法计数原理的条件

完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成,

则计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理.

2.使用分步乘法计数原理的条件

完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依

次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计

数原理.

3.使用两个原理解题的本质

将问题分成互相排斥的儿|分类加法|

RFjj］一卜卜致原理|

类,逐类解决

把问题分化为几个互相关

|计数原理|

联的步骤,逐步解决

渣评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同办法中的方法可以相同.()

(2)在分类加法计数原理中，每类办法中的方法都能完成这件事.()

(3)在分步乘法计数原理中，任何一个单独的步骤都能完成这件事.()

(4)为了给某种新品种选择最佳的生产条件，在分别有4种土质、2种不同的

施肥量、3种不同的种植密度、2种不同的播种时间的因素下进行种植试验，则不

同的种植方案共有11种.()

(5)由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数有12个.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X(5)X

2.做一做

(1)从10名任课教师，54名同学中，选1人参加元旦文艺演出，共有

种不同的选法.

(2)一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从

两个袋子里各取一个球，共有种不同的取法.

(3)从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的

选法有种.

(4)如图，从A-C有种不同走法.

A

答案(1)64(2)48(3)5(4)6

形成

HFXINSUYANGXINGCHFNG•

题型一分类加法计数原理

例1有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄

色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？

［解1有三类不同方案：第一类，从第一个袋子中任取1个红色小球，有6

种不同的取法；第二类，从第二个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；

第三类，从第三个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法.

其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成”任取1

个小球”这件事，根据分类加法计数原理知，不同的取法共有6+5+4=15种.

感悟提升

(1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的〃类方法是相互独立的，无论哪

种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事.

(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路

［跟踪训练1］高二⑴班有学生50人，男生30人；高二⑵班有学生60人,

女生30人；高二⑶班有学生55人，男生35人.

(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法?

(2)从高二⑴班、(2)班男生中或从高二⑶班女生中选一名学生任学生会体育

部长，有多少种不同的选法？

解(1)选一名学生有三类不同的选法：

第一类，从高二⑴班选一名，有5()种不同的方法；

第二类，从高二⑵班选一名，有60种不同的方法；

第三类，从高二⑶班选一名，有55种不同的方法.

故选一名学生任学生会主席共有50+60+55=165种不同的选法.

(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法：

第一类，从高二⑴班男生中选有30种不同的方法；

第二类，从高二⑵班男生中选有3()种不同的方法；

第三类，从高二⑶班女生中选有20种不同的方法.

故选一名学生任学生会体育部长有30+30+20=80种不同的选法.

题型二分步乘法计数原理

例2已知集合”={-3,-2,-1,0,1,2},已凡力表示平面上的点Q

M),问：

(1)P(%份可表示立面上多少个不同的点？

(2)产(明加可表示三面上多少个笫二象限的点？

(3)P(%〃)可表示多少个不在直线)，=x上的点？

［解］(1)确定平面上的点P3,切可分两步完成：第一步确定。的值，共有6

种情况；第二步确定方的值，也有6种情况.根据分步乘法计数原理，得户(。，

份可表示平面上6X6=36个不同的点.

(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定明因为所以有3

种情况；第二步确定"因为/»0,所以有2种情况.由分步乘法计数原理，得

P(a,〃)可表示平面上3X2=6个第二象限的点.

(3)分两步：第一步确定出有6种情况；第二步确定乩有5种情况.根据

分步乘法计数原理，得户(凡份可表示6X5=30个不在直线y=x上的点.

感悟提升,

1.运用分步乘法计数原理解决问题时的注意点

⑴要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

(2)各个步骤中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成

这件事.

2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路

［跟踪训练2］书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同

的语文书，第三层放有5本不同的英语书.

(1)从这些书中任取一本数学、一本语文和一本英语共三本书的不同取法有多

少种？

(2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？

解(1)完成这个工作可分三个步骤：

第一步，从第一层中任取一本数学书；

第二步，从第二层中任取一本语文书；

第三步，从第三层中任取一本英语书.

根据分步乘法计数原理，共有6X6X5=180种不同的取法.

(2)本题实际上是从17本书中任取三本放在三个不同位置.完成这个工作分

三个步骤：

第一步，从17本书中任取一本放在第一个位置上，共有17种不同的方法；

第二步，从16本书中任取一本放在第二个位置上，共有16种不同的方法；

第三步，从15本书中任取一本放在第三个位置上，共有15种不同的方法.

根据分步乘法计数原理，共有17X16X15=4080种不同的排法.

题型三计数原理的简单应用

例3某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有

优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.

(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？

(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选

法？

［解1(1)分三类：第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的

选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类

是从三班的6名优秀团员中产生，共有6种不同的选法，由分类加法计数原理可

得，共有8+10+6=24种不同的选法.

(2)分三步：第一步是从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的

选法；第二步是从二班的1。名优秀团员中选1名组长，共有10种不同的选法；

第三步是从三班的6名优秀团员中选1名组长，共有6种不同的选法，由分步乘

法计数原理可得，共有8X10X6=480种不同的选法.

(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选I人,

有8X10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10X6

种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8X6种不同的

选法.因此，共有8X10+10X6+8X6=188种不同的选法.

感悟提升,

(1)运用两个基本计数原理的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就

是能“一步到位”，即任何一类中任何一种方法，都能完成这件事；而分步只能

是“局部到位”，即任何一步中任何一种方法只能完成事件中的某一部分.

(2)在既有分类又有分步的题型中，一般先分类，然后在每一类中再分步.

［跟踪训练3］设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.

(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(2)从国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

解(1)任选一幅画可以分三类：

第一类，从国画中选，有5种不同的选法；

第二类，从油画中选，有2种不同的选法；

第三类，从水彩画中选，有7种不同的选法.

根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14种不同的选法.

(2)从现有的3种画中各选一幅画可以分三步：

第一步，从5幅不同的国画中选1幅，有5种不同的选法；

第二步，从2幅不同的油画中选1幅，有2种不同的选法；

第三步，从7幅不同的水彩画中选1幅，有7种不同的选法.

根据分步乘法计数原理，共有5X2X7=70种不同的选法.

题型四计数原理的综合应用

例4用01,2,3,4五个数字，

(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？

(2)可以排成多少个三位数？

(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

［解］(1)三位数字的电话号码，首位可以是仇数字也可以重复，每个位置

都有5种排法，共可排出5X5X5=125个三位数字的电话号码.

(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0

外共有4种方法，第二、三位可以排0,因此，共可排成4X5X5=100个三位数.

(3)能被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4,因此，可以分两类，一类是

末位数字是()，则有4X3=12种排法；一类是末位数字不是0,则末位有2种排

法，即2或4,再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排

法，因此有2X3X3=18种排法.因而共有12+18=30种排法.即可以排成30

个能被2整除的无重复数字的三位数.

感悟提升.

(1)对于组数问题，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按

特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法

求解.

(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘,

排数时要注意特殊位置、特殊元素优先的原则.

［跟踪训练4］若一个三位正整数如“⑺4243”满足0VG,且则称这样

的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数是多少?

解分八类:

当中间数为2时，百位只能选1,个位可选1,0,

由分步乘法计数原理知，凸数的个数为1X2=2；

当中间数为3时，百位可选1,2,个位可选(),1,2,

由分步乘法计数原理知，凸数的个数为2义3=6；

同理可得：

当中间数为4时，凸数的个数为3X4=12；

当中间数为5时，凸数的个数为4X5=20;

当中间数为6时，凸数的个数为5X6=30；

当中间数为7时，凸数的个数为6义7=42;

当中间数为8时，凸数的个数为7X8=56；

当中间数为9时，凸数的个数为8X9=72.

故所有凸数的个数为2+6+12+20+30+42+56+72=240.

随堂水平.达标

SUITANGSHUIPINGDARIAO

1.甲、乙两个班级分别有29名、3()名学生，从两个班中选一名学生，贝心)

A.有29种不同的选法

B.有30种不同的选法

C.有59种不同的选法

D.有29X30种不同的选法

答案C

解析分两类:第一类从甲班选有29种选法，第二类从乙班选有30种选法.由

分类加法计数原理得共有29+30=59种不同的选法.故选C.

2.若5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则

不同的报名方法共有()

A.10种B.20种

C.25种D.32种

答案D

解析5位同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有2X2X2X2X2

=32种不同的报名方法.

3.如图，小明从街道的E处出发，先到尸处与小红会合，再一起到位于G

处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

()

A.24B.18

C.12D.9

答案B

解析由题意可知，有6种走法，/一G有3种走法，由分步乘法计数

原理知，共有6X3=18种走法.

4.在由0,123,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有

________个.

答案108

解析能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0,由分步乘法计

数原理，共有5X4X3=60个；另一类是末位为5,由分步乘法计数原理，共有

4X4X3=48个.由分类加法计数原理，得共有60+48=108个.

5.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸

爸来这里休息.

(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？

(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？

解(1)小明爸爸选凳子可以分两类：

第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；

第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.

根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8+6=14种坐法.

（2）小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：

第一步，小明先就坐，从东西面共8+6=14个凳子中选一个坐下，共有14

种坐法；（小明坐下后，空闲凳子数变成13）

第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13

种坐法.

根据分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐，共有14X13=182种坐法.

精练

-------------------------------------------------------------------------KFHOUKFAHIJINGIIAN----------------------------------------------------------------------------

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.某商场共有7个大门，东、南、西侧各2个，北侧1个，1人到该商场购

物，则他进出门的走法有（）

A.8种B.7种

C.24种D.49种

答案D

解析完成“进出门”这件事，需分两步，第一步，进商场门，有7种走法；

第二步，购物后出门，也有7种走法，根据分步乘法计数原理可得进出门的走法

有7X7=49种.

2.用（M23组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（）

A.8个B.10个

C.18个D.24个

答案A

解析要组成奇数，因此末位只能取1或3.当末位取1时，首位不取。和1,

故有2X2=4个.当末位取3时，首位不取0和3,故有2X2=4个.所以可以

组成4+4=8个奇数.故选A.

3.某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，一名同学从中共选3门.若

要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有（）

A.30种B.35种

C.42种D.48种

答案A

解析设4门A类选修课为Ai,A2,A、、A4.3门B类选修课为Bi,B2,B3,

分两类：第1类，A类1门B类2门，从A类中选1门有4种选法，从B类中

选2门有BIB2,B1B3,B2B33种选法，所以从A类中选1门B类中选2门有4X3

=12种选法；第2类，A类2门B类1门，从A类中选2门有A1A2,A1A3,A1A4,

A2A3,A2A4,A3A4.6种选法，从B类中选1门有3种选法，所以从A类中选2

门B类中选1门有6X3=18种选法.由分类加法计数原理，知共有12+18=30

种选法.

4.李芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半身裙，另有2套不同样式

的连衣裙.“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿

衣服的方式有（）

A.24种B.14种

C.1（）种D.9种

答案B

解析不选连衣裙有4X3=12种方式，选连衣裙有2种方式.共有12+2=

14种方式.

5.（多选）已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7）,从两个集合中各

取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A.第一象限内不同的点有8个

B.第二象限内不同的点有7个

C.第三象限内不同的点有4个

D.第四象限内不同的点有5个

答案AC

解析对于A,此问题可分为两类：①以集合例中的元素作为横坐标，集合

N中的元素作为纵坐标，在集合M中只能取1,3两个元素中的一个，方法有2种,

在集合N中只能取5,6两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理,

知有2X2=4个;②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标,

在集合N中只能取5,6两个元素中的一个，方法有2种，在集合M中只能取1,3

两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，知有2X2=4个.综

合①②，利用分类加法计数原理知，共有4+4=8个，故A正确；对于B,同理

分两类：①以集合〃中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，有1X2

=2个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，有2X2

=4个.综合①②，共有2+4=6个，故B错误；对于C,①以集合M中的元素

作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，有1X2=2个，②以集合N中的元素

作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，有2X1=2个.综合①②，共有2+

2=4个，故C正确；对于D,①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元

素作为纵坐标，有2X2=4个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合例中的元

素作为纵坐标，有2X1=2个.综合①②，共有4+2=6个，故D错误.故选

AC.

二、填空题

6.如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们由网线相连，连

线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向

结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递.则单位时间内传递的最大信息

量是________.

答案19

解析若以网线为标准，则完成“从结点A向结点B传递信息”这件事也可

分为四类，从而分解为若干个简单的问题后再各个击破.

分四类：第一类，网线为12—5—3,单位时间内传递的最大信息量是3；第

二类，网线为12-6-4,单位时间内传递的最大信息量是4;第三类，网线为

12f6f7,单位时间内传递的最大信息量是6;第四类，网线为12f8f6,单位

时间内传递的最大信息量是6.根据分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信

息量是N=3+4+6+6=19.

7.已知椭圆方程5+^=1，〃?€[123,4,5},〃€{123,4,5,6.7},若椭圆的焦

点在x轴上，则椭圆的个数为；若椭圆的焦点在)，轴上，则椭圆的个数

为.

答案1020

解析若椭圆的焦点在X轴上，则〃考虑机依次取123,4,5时，符

合条件的〃值分别有0』,2,3,4个，由分类加法计数原理知，椭圆的个数为0+1+

2+3+4=10.若椭圆的焦点在〉轴上，贝考虑团依次取123,4,5时，符

合条件的〃值分别有65,4,3,2个，由分类加法计数原理知，椭圆的个数为6+5+

4+3+2=20.

8.从123,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的

对数的值的个数为.

答案17

解析(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为().

(2)不取1时，分两步：

①取底数，5种；

②取真数，4种.

其中logz3=log49,log?2=10g94,log24=log39,10g42=log93.

所以所有不同的对数的值的个数为l+5X4-4=17.

三、解答题

9.有不同的红球8个，不同的白球7个.

(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？

(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？

解(1)由分类加法计数原理，得

从中任取一个球共有8+7=15种不同的取法.

(2)由分步乘法计数原理，得

从中任取两个不同颜色的球共有8X7=56种不同的取法.

10-某校高一(4)班有34人，分为四个小组，其中一、二、三、四组分别有7

人、8人、9人、10人.

(1)若每组选1名组长，有多少种不同的选法？

(2)若推选2人发言，这2人需来自不同的组：则有多少种不同的选法？

解(1)分成