浙教版九年级数学下册《第一章解直角三角形》单元测试卷（附答案）

第页精品试卷·第2页（共2页）浙教版九年级数学下册《第一章解直角三角形》单元测试卷（附答案）（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（）A．12 B．22 C．32．2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（）A．100sin28° B．100cos28° C．3．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生用一个锐角是30°的三角板测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18米，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5米，则教学楼的高度是（）A．63米 B．63+32米 C．94．如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面AC的圆心为O，若AB的度数为α，伞柄BO=m，则伞面展开距离AC=（）A．msinα B．2msinα C．5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中，不能使△DAC∽△DCB的是（）A．∠ACB=90° B．sinA=BDBC C．6．如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥ABDF⊥BC垂足分别为EF连接EF若cosA=23△BEF的面积为2则菱形A．18 B．24 C．30 D．367．已知Rt△ABC中∠C=90°sinA=45BC=8A．6 B．323 C．10 8．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍那么我们称这个三角形为“实验三角形”下列各组数据中能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（）A．112 B．113 C．123 D．1239．如图一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m此时小球距离地面的高度为（）A．25m B．2m C．45m D．10310．如图在Rt△ABC中∠ABC=90°分别以ABAC为边向外作正方形ABDEACFG连结DA并延长交FG于点H连结CH．若tan∠HCF=k(0<k<1)则ABA．1−k1+k B．1−k21+k C．二填空题(本大题有6个小题每小题3分共18分)11．如图长为4m的梯子AB靠在墙上与地面成60°角则梯子的顶端与地面的距离BC为12．计算：(2−513．如图在ΔABC中DC平分∠ACBBD⊥CD于点D∠ABD=∠A若BD=1AC=7则cos∠CBD的值为14．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图AE=10m∠BDG=30°∠BFG=60°已知测角仪DA的高度为1.5m则旗杆BC的高度约为m．（结果精确到0.1m参考数据：3≈1.73215．如图AB是半圆O的直径弦AD，BC相交于点P且CD，AB是一元二次方程x2−10x+24=0的两根则cos∠BPD是16．6个全等的小正方形如图放置在△ABC中则tanB的值是．三综合题(本大题有9个小题每小题8分共72分要求写出文字说明证明过程或演算步骤)17．如图已知矩形ABCD中.（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E使EC平分∠BED（不写画法保留画图痕迹）（2）在（1）的条件下若AD=10AB=6求出tan∠BEC18．某体育看台侧面的示意图如图所示观众区AC的坡度i为1：2顶端C离水平地面AB的高度为10m从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30'竖直的立杆上CD两点间的距离为4mE处到观众区底端A处的水平距离AF为（1）观众区的水平宽度AB（2）顶棚的E处离地面的高度EF.（sin18°30'≈0.3219．如图甲乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时152千米的速度沿西偏北30°方向前进乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处此时甲船发现渔具丢在乙船上于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？20．如图直线l与⊙O相切于点D过圆心O作EF∥l交⊙O于EF两点点A是⊙O上一点连接AEAF并分别延长交直线l于BC两点（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°（2）若⊙O的半径R=5BD=12求tan∠ACB的值.21．如图P为⊙O直径AB延长线上的一点PC切⊙O于点C过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D交CP于点H连结ACCD．（1）求证：∠PBH＝2∠D．（2）若sin∠P＝23BH＝2求⊙O的半径及BD22．如图所示在矩形ABCD中E是BC边上的点AE=BCDF⊥AE垂足为F连接DE.（1）求证：AB=DF（2）若AD=10AB=6求tan∠EDF23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时一辆小轿车由西向东匀速行驶测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°∠BPO=45°．（1）求AB之间的路程（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据：2=1.414324．如图在△ABC中∠B=∠C=67.5°．（1）求sinA的值（2）求tanC的值．25．已知AB是⊙O的直径CDE是半圆上三点且AC=CDDE=BE．（1）如图（1）求证：AB=2（2）如图（2）若AC=1BE=2求cos答案一选择题(本大题有10个小题每小题3分共30分.在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的)1．如果∠α是等边三角形的一个内角那么cosα的值等于（）A．12 B．22 C．3【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值即可解答．【解答】∵∠α是等边三角形的一个内角

∴∠α=60°．

∴cosα=cos60°=12．

【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算特殊角三角函数值计算在中考中经常出现要掌握特殊角度的三角函数值和等边三角形的性质．2．2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会很多学校都开展冰雪项目学习．如图某滑雪斜坡的坡角为28°一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米则该同学在竖直方向上下降的高度为（）A．100sin28° B．100cos28° C．【答案】A【解析】【解答】∵坡角为28°斜边为100米

∴竖直方向上下降的高度为100sin28°

故答案为：A.3．如图某中学初三数学兴趣小组的学生用一个锐角是30°的三角板测量教学楼AB的高度已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18米测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5米则教学楼的高度是（）A．63米 B．63+32米 C．9【答案】B【解析】【解答】解：如图过D作DE⊥AB依题意∠ADE=30°∵DC⊥CB∴四边形DCBE是矩形∵BC=DE=18∴AE=DE⋅∴AB=AE+BE=AE+CD=(6故选：B．

【分析】过D作DE⊥AB根据题意得到∠ADE=30°再根据矩形的判定结合题意解直角三角形得到AE再根据AB=AE+BE即可求解。4．如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图伞面AC的圆心为O若AB的度数为α伞柄BO=m则伞面展开距离AC=（）A．msinα B．2msinα C．【答案】D【解析】【解答】解：连接OA则AO=BO=m

根据题意：∠AOB=α∠ODA=90°在Rt△AOD中AD=OA·sin∠AOB=msinα

【分析】根据题意本题利用垂径定理及锐角三角函数即可表示出弦长.5．如图在△ABC中CD⊥AB于D下列条件中不能使△DAC∽△DCB的是（）A．∠ACB=90° B．sinA=BDBC C．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°∴∠A=∠BCD∵∠ADC=∠CDB=90°∴△DAC∽△DCB故A不符合题意∵sinA=BDBC∴∠A=∠BCD∵∠ADC=∠CDB=90°∴△DAC∽△DCB故B不符合题意ACAD=BDCD不能使∵C∴∵∠ADC=∠CDB=90°∴△DAC∽△DCB故D不符合题意故答案为：C

【分析】根据相似三角形的判定结合正弦函数的定义对选项逐一分析即可求解。6．如图在菱形ABCD中过顶点D作DE⊥ABDF⊥BC垂足分别为EF连接EF若cosA=23△BEF的面积为2则菱形A．18 B．24 C．30 D．36【答案】D【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB垂足为G在四边形ABCD中AD=BC=CDAD∥CB∠A=∠C

∴∠A=∠FBG∵DE⊥ABDF⊥BC

∴∠AED=∠CFD=90°

∴△ADE≌△CDF

∴AE=CF

∴EB=BF

∵cosA=cos∠FBG=23

设BG=2a

∴BF=3a=BE

∴FG=BF2−BG2=5a

∵△BEF的面积为2

∴12BE·FG=2

12×5a·3a=2

∴a2=435

∵cosA=23

∴AEAD=【分析】先通过证明△ADE≌△CDF得出AE=CF根据菱形的性质得出BE=BFcosA=cos∠FBG=23设BG=2a根据△BEF的面积为2求出a27．已知Rt△ABC中∠C=90°sinA=45BC=8A．6 B．323 C．10 【答案】A【解析】【解答】解：如图在Rt△ACB中∵sinA=BC∴8AB=∴AB=10∴AC=AB故选A．【分析】先根据正弦的定义得到sinA=BCAB=45则可计算出AB=108．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍那么我们称这个三角形为“实验三角形”下列各组数据中能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（）A．112 B．113 C．123 D．123【答案】B【解析】【解答】解：A若三边为112由于12+12=（2）2则此三边构成一个等腰直角三角形所以这个三角形不是“实验三角形”所以A选项错误B由113能构成此三边构成一个等腰三角形通过作底边上的高可得到底角为30°顶角为120°所以这个三角形是“实验三角形”所以B选项正确C若三边为123由于12+（3）2=22则此三边构成直角三角形最小角为30°所以这个三角形不是“实验三角形”所以C选项错误D由123不能构成三角形所以D选项错误．故选B．【分析】根据勾股定理的逆定理对AC进行判断利用等腰三角形的性质和锐角三角函数对B进行判断根据三角形三边的关系对D进行判断．9．如图一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m此时小球距离地面的高度为（）A．25m B．2m C．45m D．103【答案】A【解析】【解答】解：∵i=1：2一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m∴小球距离地面的高度为：10×112+故选A．【分析】根据题目中的坡度可以求得坡角的正弦值由一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m可以求得小球距离地面的高度．10．如图在Rt△ABC中∠ABC=90°分别以ABAC为边向外作正方形ABDEACFG连结DA并延长交FG于点H连结CH．若tan∠HCF=k(0<k<1)则ABA．1−k1+k B．1−k21+k C．【答案】D【解析】【解答】解：连接AF过点H作HP⊥AF于点P如图：∵正方形ABDEACFG中AD和AF为对角线

∴∠DAB=∠CAF=45°=∠HFP.

∵∠DAB+∠BAC+∠CAF+∠α=180°.

∴∠BAC+∠α=90°.

∵在Rt△ABC中∠ABC=90°

∴∠BAC+∠BCA=90°.

∴∠α=∠BCA.

∵tan∠HCF=k(0<k<1)

设CF=xtan∠HCF=HFCF

∴HF=kx

∵HP=FP=sin∠HFP×HF=22·kx=22kx.【分析】连接AF过点H作HP⊥AF于点P根据平角的定义和正方形的性质可证得∠BAC+∠α=90°.再根据直角三角形角的性质可证得∠α=∠BCA.设CF=x利用tan∠HCF=k表示出HF计算出AF.在△HPF中求出HP和FP利用AF-PF得到AP再在△HAP中计算tan∠α即可得到AB二填空题(本大题有6个小题每小题3分共18分)11．如图长为4m的梯子AB靠在墙上与地面成60°角则梯子的顶端与地面的距离BC为【答案】2【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°∠BCA=90°AB=4

∴在Rt△ABC中BC=AB·故答案为：23【分析】利用特殊角的三角函数值解直角三角形进行求解.12．计算：(2−5【答案】1+2【解析】【解答】解：(2−=1+4×=1+2故答案为：1+23【分析】根据0次幂的运算性质以及特殊角的三角函数值可得原式=1+4×3213．如图在ΔABC中DC平分∠ACBBD⊥CD于点D∠ABD=∠A若BD=1AC=7则cos∠CBD的值为【答案】1【解析】【解答】解：如图延长BD交AC于点E∵DC平分∠ACBBD⊥CD于点D∴∠CDE=∠CDB=90°在ΔDCE和ΔDCB中∠CDE=∠CDB∴ΔDCE≅ΔDCB∴BD=ED=1∵∠ABD=∠A∴AE=BE=2BD=2∵AC=7∴CE=AC−AE=7−2=5∴CB=CE=5∴cos故答案为：15.

【分析】延长BD交AC于点E由角平分线的概念可得∠DCE=∠DCB利用ASA证明△DCE≌△DCB得到BD=ED=1CB=CE由已知条件可知∠ABD=∠A则AE=BE=2BD=2CE=AC-AE=514．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图AE=10m∠BDG=30°∠BFG=60°已知测角仪DA的高度为1.5m则旗杆BC的高度约为m．（结果精确到0.1m参考数据：3≈1.732【答案】10.2【解析】【解答】解：由题意得：CG=AD=1.5mAE=DF=10m设BG=xm在Rt△BFG中则DG=在Rt△BDG中tan30°=解得x=5经检验x=53∴BC=BG+CG=5故答案为：10.2．【分析】设BG=xm根据正切定义及特殊角的三角函数值可得FG=33xm则DG=33x+10m在15．如图AB是半圆O的直径弦AD，BC相交于点P且CD，AB是一元二次方程x2−10x+24=0的两根则cos∠BPD是【答案】2【解析】【解答】解：如图连接BD解方程x得x1=4即CD=4AB=6.∵∠CDP=∠ABP∠C=∠A∴△DPC∽△BPA∴CD∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=90°.∴cos故答案为：23.

【分析】连接BD利用因式分解法求出方程的解得到ABCD的值由圆周角定理可得∠CDP=∠ABP∠C=∠A∠ADB=90°证明△DPC∽△BPA16．6个全等的小正方形如图放置在△ABC中则tanB的值是．【答案】1【解析】【解答】解：如图∵有6个大小相同的小正方形恰好如图放置在△ABC中设小正方形的边长为a∴EH=aFH=2a∠EHF=∠FHD=∠HDC=90°∴FH∥BC∴∠B=∠EFH∴tanB=故答案为：12【分析】本题考查解直角三角形熟知锐角三角函数是解题关键.设小正方形的边长为a依题意可得EH=aFH=2a∠EHF=∠FHD=∠HDC=90°根据平行线的判定：内错角相等两直线平行可知：FH∥BC再根据平行线的性质：两直线平行同位角相等可知：∠B=∠EFH最后根据锐角三角函数的定义：tan=角的对边三综合题(本大题有9个小题每小题8分共72分要求写出文字说明证明过程或演算步骤)17．如图已知矩形ABCD中.（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E使EC平分∠BED（不写画法保留画图痕迹）（2）在（1）的条件下若AD=10AB=6求出tan∠BEC【答案】（1）解：如图（2）解：∵EC平分∠BED∴∠BEC=∠CED∵矩形ABCD∴AD∥BCAD=BC=10∴∠BCE=CED∴∠BEC=∠BCE∴BC=BE=10在Rt△ABE中由勾股定理得AE=∴ED=10−8=2在Rt△CDE中得tan∵∠BEC=∠CED∴tan【解析】【解答】解：（1）解：以点C为圆心CD长为半径画圆作BC的垂直平分线以BC的垂直平分线与BC的交点为圆心BC长为直径画圆与圆C相交连接点B与交点并延长交AD于点E交点E即为所求.

【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求解

（2）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC=∠BCE于是由等角对等边可得BC=BE在直角三角形ABE中用勾股定理可求得AE的值由线段的构成ED=AD-AE可求得ED的值在直角三角形CDE中根据锐角三角函数tan∠CED=CDDE18．某体育看台侧面的示意图如图所示观众区AC的坡度i为1：2顶端C离水平地面AB的高度为10m从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30'竖直的立杆上CD两点间的距离为4mE处到观众区底端A处的水平距离AF为（1）观众区的水平宽度AB（2）顶棚的E处离地面的高度EF.（sin18°30'≈0.32【答案】（1）解：∵i=∴AB=2BC∴AB=20m.（2）解：如图过D点作DG与AB平行交EF于点G∴GD=BF=20+3=23m∵tan∴EG=23×∴EF≈7答：EF的高度约为21.【解析】【分析】（1）根据AC的坡度可知i=tan∠CAB=BCAB=12据此即可求解

（2）过D点作DG与AB平行交EF19．如图甲乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时152千米的速度沿西偏北30°方向前进乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处此时甲船发现渔具丢在乙船上于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？【答案】（1）如图过A作AD⊥BC于点D．

由题意知：AC=152×2=302AG∥NS∠WAB=45°∠EAC=30°∠NCB=75°

∴∠BAC=180°-∠WAB-∠EAC=180°-45°-30°=105°

∠GAC=90°-∠EAC=90°-30°=60°

∵AG∥NS

∴∠ACS=∠GAC=60°

∴∠ACB=180°-∠NCB-∠ACS=180°-75°-60°=45°

∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-105°-45°=30°

又∵AD⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90°

在Rt△ACD中AD=AC·sin45°=302×22=30

在Rt△ACD中（2）在Rt△ACD中CD=AC·cos∠ACB=302×22=30

在Rt△ABD中BD=ADsinB=30tan30°=3033=303【解析】【分析】（1）作AD⊥BC先利用已知的方向角求出△ABC中的各角的度数然后利用锐角三角函数的定义在Rt△ACD中求得AD再利用直角三角形中30°角的性质在Rt△ABD中求得AB的长就可求出时间

（2）利用锐角三角函数的定义分别在Rt△ACD和Rt△ABD中求出CDBD则可求BC的长根据（1）中的结果求得时间即可求得速度．20．如图直线l与⊙O相切于点D过圆心O作EF∥l交⊙O于EF两点点A是⊙O上一点连接AEAF并分别延长交直线l于BC两点（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°（2）若⊙O的半径R=5BD=12求tan∠ACB的值.【答案】（1）证明：如图∵EF是⊙O的直径∴∠EAF=90°.∴∠ABC+∠ACB=90°（2）解：连接OD则OD⊥BD过点E作EH⊥BC垂足为点H∴EH∥OD.∵EF∥BCEH∥ODOE=OD∴四边形EODH是正方形.∴EH=HD=OD=5.∵BD=12∴BH=7.在Rt△BEH中tan∠BEH=BHEH又∵∠ABC+∠BEH=90°∠ABC+∠ACB=90°∴∠ACB=∠BEH.∴tan∠ACB=7【解析】【分析】（1）由直径所对圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得结论.（2）求出tan∠BEH=BHEH=721．如图P为⊙O直径AB延长线上的一点PC切⊙O于点C过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D交CP于点H连结ACCD．（1）求证：∠PBH＝2∠D．（2）若sin∠P＝23BH＝2求⊙O的半径及BD【答案】（1）证明：如图所示：连结OC∵PC切⊙O于点C∴∠OCP＝90°又∵BH⊥CP∴OC∥BH∴∠COP＝∠PBH又∵∠COB＝2∠D∴∠PBH＝2∠D（2）解：如图所示：连结AD∵在Rt△BPH中sin∠P＝BHBP=2∴BP＝3∵在Rt△COP中sin∠P＝0cOP设OC＝x则OP＝x+3∴xx−3解得：x＝6即半径为6．∴AB＝12∵AB是直径∴∠ADB＝∠BHP＝90°∵∠ABD＝∠HBP∴∠P＝∠DAB即sin∠P＝sin∠DAB∴在Rt△ABD中BD＝AB×sin∠DAB＝23【解析】【分析】（1）如图连接OC由PC与圆相切得到OC垂直于PC再由DH与PC垂直得到OC与BH平行根据圆周角定理及等量代换即可得证（2）连接AD在直角三角形BPH与直角三角形COP中设OC=x利用锐角三角函数定义分别表示出sin∠P列出关于x的方程求出方程的解即可得到结果．22．如图所示在矩形ABCD中E是BC边上的点AE=BCDF⊥AE垂足为F连接DE.（1）求证：AB=DF（2）若AD=10AB=6求tan∠EDF【答案】（1）证明：在矩形ABCD中AD=BCAD//BC∠B=900∵AD//BC∴∠BEA=∠FAD∵DF⊥AE∴∠DFA=90∴∠B=∠DFA∵AE=BCAD=BC∴AE=AD∴ΔAEB≌ΔDAF∴AB=DF（2）解：由（1）可知：AF=AB=6AE=AD=10在RtΔAFD中∠DFA=900∴AF=A∴EF=AE−AF=10−8=2在RtΔDFE中∠DFE=900∴tan∠EDF=EF【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE∠DAF=∠EAB.再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理可以求得DFEF的长再根据勾股定理求得DE的长运用三角函数定义求解.23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时一辆小轿车由西向东匀速行驶测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°∠BPO=45°．（1）求AB之间的路程（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据：2=1.4143【答案】（1）解：在Rt△APO中∠APO=60°PO=120米∴AO=3PO=1203米在Rt△BPO中∠BPO=45°BO=PO=120米∴AB=AO−BO=1203（2）解：车速为87.65=17.52米/秒限速约为∵17.52<18.06∴没有超过万丰路每小时65千米的限制速度．(或