2025-2026学年黑龙江省绥化市北林区名校协作九年级4月月考数学试题 含答案

/黑龙江省绥化市北林区名校协作2025-2026学年九年级4月月考数学试题一、单选题1．的相反数是（

）A． B． C．2024 D．2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形3．如图是一个有小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体最多有（

）个．A．5 B．6 C．7 D．84．要使式子有意义，则的取值范围是（

）A．且 B． C． D．5．下面计算正确的是（

）A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6 D．a3•a2＝a66．在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（

）A． B．C． D．7．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙、丁的成绩分析如表所示：甲乙丙丁平均数7.97.98.08.0方差3.290.491.80.4根据以上图表信息，参赛选手应选（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．A地至B地的航线长9360km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机无风时的平均速度是（

）A．720km/h B．750km/h C．765km/h D．780km/h9．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，且与的相似比为的位似图形，若点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C．或 D．或10．下列命题中，真命题的个数有（

）①如果不等式的解集为，那么②已知二次函数，当时，y随x的增大而减小③顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形④各边对应成比例的两个多边形相似A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如图，，点C，D在内部，连接，在射线上取一点E，在射线上取一点F，连接，得到四边形CEFD，若，，，则四边形周长最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．1112．如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．二、填空题13．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为：__________．14．在实数范围内分解因式：___________．15．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，的延长线交于点，若，则________°．16．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度CD为______．三、解答题17．化简：1-．四、填空题18．已知一个圆锥的母线长为3cm，它的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面圆的半径等于________cm．19．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在的双曲线上．点的对应点分别是点．若点为的中点，且，则的值为____．20．如图，正方形中，A，E，F分别为上的点，交于点H，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．下列结论：①；②；③；④，正确的有______．（填序号）

21．如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝3，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△An﹣1AnCn﹣1的高为______.(用含正整数n的代数式表示)22．如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，若线段交于点，且为直角三角形，则的长为______．

五、解答题23．如图，在中.（1）尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法）（2）若，，的面积为12，求的面积24．为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．

请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有________人；（2）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．25．为了进一步落实“双减”政策，丰富多彩的课外活动，如篮球、足球、徒步行等运动形式，实验学校九年级（1）班准备购买一些篮球和足球．据了解，购买8个篮球和10个足球共需2000元；购买10个篮球和20个足球共需3100元．（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）若该班恰好用3500元购买这些篮球和足球（两种均购买），求共有几种购买方案；（3）实验学校组织了一次远足活动，由九年级（1）班男生拿着校旗打头阵，一名教师负责摄影，学生们匀速步行从学校出发，教师等学生们都出发后，骑车匀速出发，追上拿着校旗的同学后为学生们拍照，后继续按原骑车速度追赶学生，与学生一起到达人工湖休息．如图是教师和学生间的距离y（单位：）与学生出发时间单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：①图中a的值是；②请直接写出教师出发多长时间，教师与拿着校旗的学生相距．26．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD·2OE；（3）若AB：AC=3：5，BE=6，求OE的长．27．（1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与轴相交于两点，点的坐标为，与轴相交于点．

（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后新抛物线对称轴上一点，点为新抛物线上一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标．

参考答案1．【答案】C【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．【详解】解：的相反数是2024，故选C．2．【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，故选D．3．【答案】D【分析】此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数．根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．【详解】解：根据主视图和左视图可得：这个几何体有2层，3列，最底层最多有个正方体，第二层有个正方体，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是个；故选D．4．【答案】B【分析】根据分式有意义的条件，可知分式的分母不为，可以求出的取值范围．【详解】要使式子有意义，，．故选B．5．【答案】C【分析】分别根据合并同类项的法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．【详解】解：2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；a2与a3不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；（-2a3b2）3=-8a9b6，正确，故选项C符合题意；a3•a2=a5，故选项D不合题意．故选C．6．【答案】B【分析】此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，．先设这个一元二次方程的两根是、，甲看错常数项，解得两根为8和2，说明，即，乙看错一次项系数，解得两根为和，说明，即，两式联合，可求关于、的方程．【详解】解：设这个一元二次方程的两根是、，根据题意得，，那么以、，为两根的一元二次方程就是，故选B．7．【答案】D【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【详解】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中丙和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，∴综合平均数和方差两个方面说明丁成绩既高又稳定，∴最合适的人选是丁．故选D．8．【答案】B【分析】设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据飞机顺风速度×时间＝路程，飞机逆风速度×时间＝路程，列方程组进行求解．【详解】设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，由题意得，，解得，，答：飞机无风时的平均速度为750千米/时，故选B．9．【答案】C【分析】相似比为，点是点的对应点，根据相似比与点的关系即可求解．【详解】解：点的坐标为，相似比为，∴当对应坐标的比为时，点的横坐标为，纵坐标为，即；当对应坐标的比为时，点的横坐标为，纵坐标为，即；综上所述，点的坐标为或，故选．10．【答案】C【分析】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，二次函数的图象和性质，中点四边形以及菱形的判定方法，相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：如果不等式的解集为，则：，；故①为真命题；已知二次函数，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小；故②为真命题；根据三角形的中位线定理，结合有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形，故③为真命题；各边对应成比例且对应角都相等的两个多边形相似，故④是假命题；故选C．11．【答案】B【分析】过点C作的对称点，过点D作的对称点，连接交、于点E和F，则四边形周长取得最小值，证明是等边三角形，据此求解即可．【详解】解：过点C作的对称点，过点D作的对称点，连接交、于点E和F，则四边形周长取得最小值，∵点C、点关于对称，点D、点关于对称，∴∴，∴四边形周长，∵，，∴，∴，∴是等边三角形，∵，，∴四边形周长最小值是．故选B．12．【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确．【详解】解：由图可得：，对称轴，，，①错误；由图得，图象经过点，将代入可得，，②正确；该函数图象与轴的另一个交点为，且，对称轴，该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，③正确；，，关于的一元二次方程的根为，，，，④正确；，即，解得，即，，，⑤正确．综上，②③④⑤正确，共个．故选．13．【答案】3.7×105【详解】科学记数法是指：a×，且1≤＜10，n为原数的整数位数减一，370000=3.7×．14．【答案】【分析】本题考查了因式分解的方法，分母有理化，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是本题的解题关键．先提起公因式，然后用平方差公式分解因式．【详解】解：.15．【答案】136【分析】本题考查了折叠性质、平行线的性质，熟练掌握折叠性质是解答的关键．根据矩形性质和平行线性质得到，再根据折叠性质得到，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，又，∴，，根据折叠性质得，则，∴.16．【答案】米【分析】根据题意，作构造直角三角形和矩形，根据锐角三角函数得到AM、DE的长，然后计算出CD的长度．【详解】作于点E，如图所示，则四边形是矩形，由已知可得：，，米，，米，，米，米米解得米米17．【答案】【分析】先算除法运算，在计算之前，最好先进行因式分解，以便约分，最后算减法运算【详解】原式＝1-＝18．【答案】1【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径．【详解】设圆锥的母线为l=3cm，底面圆半径为r则∴(cm)19．【答案】【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG和EO之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG和OD之间的关系，设EG=x，FG=y，用它们表示出D点坐标，接着得到B点坐标，利用，得到，再利用反比例函数的定义，计算出B点横纵坐标的积，即为所求k的值．【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD，∵点为的中点，∴AE=OA，∴,∵MN∥y轴，∴，∴，∵，∴,∴，∴，设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y，∴，因为D点和B点关于MN对称，∴∵，∴∴,∵点恰好落在的双曲线上，∴.20．【答案】①②③④【分析】利用正方形的性质证明，即可判断①；通过证明，即可判断②；过点O作交于点G，通过证明，即可判断③；由，得，根据直角三角形的性质即可判断④．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故①正确；∵四边形是正方形，O是的中点，∴，∵，∴，∴，∴；故②正确；过点O作交于点G，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；故③正确；∵，∴，∴，∴，∴；故④正确；综上，正确的有①②③④.21．【答案】()n﹣1【分析】证明△A1A2C1是等边三角形，△A2A3C2、…、△An﹣1AnCn﹣1都是等边三角形，求出A1C1＝A1B1＝B1C1＝，由等边三角形的性质得出等边△A1A2C1的高为：A1C1＝，同理求出等边△A2A3C2的高为：A2C2＝()2，…，得出规律即可；【详解】解：∵∠MON＝30°，B1A1⊥OM，△A1B1C1是等边三角形，∴A1B1＝OB1＝，∠OA1B1＝60°，∠B1A1C1＝60°，∴∠C1A1A2＝60°，∵A2B2⊥OM，∴A2B2∥A1B1，∴∠A1A2C1＝∠OA1B1＝60°，∴△A1A2C1是等边三角形，同理：△A2A3C2、…、△An﹣1AnCn﹣1都是等边三角形，∴A1C1＝A1B1＝B1C1＝，∴等边△A1A2C1的高为：A1C1＝，∵∠C1B1B2＝90°﹣60°＝30°，∴B2C1＝B1C1＝，∴A2C2＝A2B2＝A1C1+B2C1＝，∴等边△A2A3C2的高为：A2C2＝×＝()2，…，∴△An﹣1AnCn﹣1的高为()n﹣1.22．【答案】6或【分析】由三角函数得出∠A=30°，由直角三角形的性质得出AB=2BC=8，由折叠的性质得出DA=DC=2，FA′=FA，∠DA′F=∠A=30°，设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，①当∠BEA′=90°时，由三角函数得出AE=3，得出EF=3-（8-x）=x-5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可；②当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，证明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′=BC=4，求出∠FA'H=60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：∴∠A=30°，∴AB=2BC=8，∵点D是AC的中点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，线段A′D交AB于点E，设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，下面分两种情况讨论:①当∠BEA′=90°时，在Rt△ADE中，∴EF=3-（8-x）=x-5，在Rt△A'FE中，∵∠FA'E=30°，∴FA'=2FE，即8-x=2（x-5），解得x=6，即BF=6；②当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，如图所示：

在Rt△BDA'和△BDC中∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL），∴BA′=BC=4，∵∠BA'F=∠BA'E+∠FA'E=90°+30°=120°，∴∠FA'H=60°，在Rt△FHA'中，在Rt△BFH中，∵FH2+BH2=BF2，解得：x=，即BF=.综上所述，BF的长为6或.故答案为6或.23．【答案】（1）见详解（2）21【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．（1）根据角平分线的作法作图即可；（2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解．【详解】（1）解：如图，射线即为所求：（2）解：如图，过点作交与点，作交与点，平分，，的面积为12，∴，∴，，，．24．【答案】（1）；（2），补全统计见详解；（3）．【分析】（1）从两个统计图可知，样本中参加组的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数；（2）求出样本中选择组的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角度数，求出选择组的学生人数，即可补全条形统计图；（3）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【详解】（1）解∶人，故答案为∶；（2）解：组所对应的扇形圆心角的度数为∶，选择组的人数为∶（人），补全条形统计图如下∶

（3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶

共有种等可能出现的结果，其中个小组恰好是和小组的有种，所以选中的个小组恰好是和小组的概率为．25．【答案】（1）篮球的单价为元，足球的单价为元（2）共有3种采购方案（3）①；②或或【分析】本题考查二元一次方程组的应用、从函数图象提取信息，读懂题意，能正确识图，根据题意，正确的列出二元一次方程（组）是解题的关键．（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可；（2）设购买篮球个，足球个，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得解；（3）①根据图象求得学生步行的速度为，教师的骑车时间为，教师的骑车速度为：，再根据学生出发，教师追上学生列方程求解即可；②设教师出发，分三种情况：当教师出发，在拍照前教师追赶拿着校旗的学生相距时，当教师出发，拍照时，拿着校旗的学生超过教师时，当教师出发，达到人工湖之前，教师追赶拿着校旗的学生相距时，分别求解即可．【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意，得：，解得：，∴篮球的单价为元，足球的单价为元；（2）设购买篮球个，足球个，则：，∴，∵，，且，均为正整数，∴方程的解为：或或，∴共有3种采购方案：方案1：采购18个篮球，10个足球；方案2：采购10个篮球，25个足球；方案3：采购2个篮球，40个足球．（3）①由题意可知，学生步行的速度为，则全程为：，教师的骑车时间为：学生步行时间减去学生提前出发，再减去教师拍照时间，则教师的骑车时间为：，∴教师的骑车速度为：，由题意可知，学生出发，教师追上学生：，解得：.②设教师出发，当教师出发，在拍照前教师追赶拿着校旗的学生相距时，则，解得：；当教师出发，拍照时，拿着校旗的学生超过教师时，即教师追上学生后时，此时；当教师出发，达到人工湖之前，教师追赶拿着校旗的学生相距时，则，解得：；综上，教师出发或或时，教师与拿着校旗的学生相距．26．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见详解（2）见详解（3）OE=【分析】（1）连接OD，BD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CE=DE=BE=BC，推出∠C=∠CDE，再证明∠A=∠ADO，根据∠C+∠A=90°，得到∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，即可证明结论；（2）先由三角形中位线定理得到AC=2OE，再证明△ABC∽△BDC，得到，即,即可证明；（3）设AB=3k，AC=5k，在Rt△ABC中，，即，由此求解k的值即可得到答案．【详解】（1）解：DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵