导数经典例题高二文科讲稿

►探究点1导数的几何意义例1.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处导数值为0（1）求f(x)的解析式；（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.[解析]

（1）f′(x)=3ax2+2bx-3.依题意f′(1)=f′(-1)=0（2）令f′(x)=0,得x=±1,点A(0,16)不在曲线y=x3-3x上设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足：y0=x30-3x0∵f′(x0)=3x20-3,∴切线方程为y-y0=3(x20-1)(x-x0)又点A(0,16)在切线上,∴16-（x30-3x0）=3(x20-1)(-x0)解得x0=-2,∴切点为M(-2,-2)∴切线方程为9x-y+16=0练习：求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程

►探究点2导数的运用

例2

►探究点3利用导数求解函数的单调区间例3.求函数y=x2-2lnx的单调区间.[解析]首先注意定义域x>0，[点评]求单调区间可用求导方法，但一定要注意定义域.

►探究点4已知单调区间求解参数范围变式2若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数a的取值范围．

►探究点5利用导数求函数极值

►探究点6利用极值求参数例6.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R)，（1）若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值，试求a、b的值；（2）在（1）的条件下，当x∈［-2,6］时，f(x)＜2|c|恒成立，求c

的取值范围.（需要检验）（2）f(x)=x3-3x2-9x+c,f′(x)=3x2-6x-9，当x变化时，有下表而f(-2)=c-2,f(6)=c+54;∵x∈［-2,6］时f(x)的最大值为c+54f(x)＜2|c|恒成立，而且仅当c+54＜|c|恒成立当c≥0时，c+54＜2c，解得c＞54当c＜0时，c+54＜-2c，解得c＜-18∴c的取值范围是(-∞,-18)∪(54,+∞)x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值c+5极小值c-27[解析]（1）∵f(x)在x=-1和x=3时取得极值。∴-1、3是方程f′(x)=3x2-2ax+b=0的两根例7.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点（1,0）,（2,0）,如图所示，求：（1）x0的值；（2）a,b,c的值.[解析]（1）由图象可知在（-∞,1）上f′(x)>0，在（1，2）上f′(x)<0，在（2，+∞）上f′(x)>0.故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增，在（1，2）上递减，因此f(x)在x=1处取得极大值5，所以x0=1.（2）f′(x)=3ax2+2bx+c由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5►探究点7数形结合

解得a=2,b=-9,c=12.[点评]本题是一道识图题与文字理解相结合题目，需要从图形中提取信息，并且要注意极大值点的意义.变式:设函数的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4，（1）求a，b，c