阵列信号处置全专业知识讲座

掌握空间传播波携带信号的获取与处理的基本理论和方法，特别是空时多维信号算法，熟悉参数估计和自适应波束形成的常用算法。

课程要求：

期间：含上机实践。期末：论文、考试。

课程目的：

4/28/20261书：1．Monzingo.R.andMillerT.Introductiontoadaptivearray.WileyInterscience.NewYork,1980.(有中译本)2．HudsonJ.AdaptiveArrayPrinciplesPeterPeregrinusLondon,1981.(有中译本)3．HaykinS.(deitor)AduancesinSpectrumanalysisandarrayProcessing.VolІП.PrenticeHall.NJ.19914．孙超，加权子空间拟合算法理论与应用，西北工业大学出版社5．刘德数等，空间谱估计及其应用，中国科技大学出版社6．张贤达、保铮，通信信号处理，国防工业出版社，2000

参考文献：

期刊：IEEETrans.(SP,ASSP,AP,AES)IEEPt(F,H)荷兰signalProcessing4/28/20262课程安排：第一章：绪论

第二章：数学基础第三章：空域滤波原理及算法第四章：部分自适应处理技术第五章：阵列信号的高分辨处理第六章：相干信源的高分辨处理第七章：最大似然与加权子空间拟合方法估计信号源方向第八章：基于高阶统计量和循环非平稳阵列信号处理简介

4/28/20263第一章绪论

一、阵列信号处理简介1、信号与信息处理的三大支柱：信息获取、处理和传输

2、阵列信号处理的研究内容：检测、估计、滤波、成象等。参数估计：以DOA估计为代表空间滤波：波束形成。基本内容§1.1引言4/28/202643、阵列信号处理的研究对象:

空间传播波携带信号（空域滤波）

4、阵列信号处理方法:

统计与自适应信号处理技术（如谱估计、最优与自适应、滤波）5、阵列信号处理的目的:滤波：增强信噪比获取信号特征：信号源数目传输方向（定位）及波形分辨多个信号源4/28/20265传感器——能感应空间传播信号并且能以某种形式传输的功能装置

传感器阵列(sensorsarray)——由一组传感器分布于空间不同的位置构成定义：

由于空间传播波携带信号是空间位置和时间的四维函数，所以：传播波的接收空间采集

连续：面天线

离散：传感器阵列

时间采集：

所有传感器同步采样又称为快拍（snapshot）4/28/20266传播波的类型与媒质有关，采用的传感器也随之不同：传输波电磁波声波地震冲击波媒质大气（自由空间）大气、水中大气、大地传感器天线（antenna)换能器(transducer)检波器(geophone)空间采样方式

实际阵列虚拟阵列（合成阵列如SAR）

4/28/20267空时处理获取信息：波的到达方(DOA)、波形参数、极化参数估计、空间滤波与检测等N元传感器阵列1N2M次同步采样空时采样示意图如下：

图1.1：空时采样

4/28/20268二、阵列信号的应用

雷达：相控阵天线系统、波束灵活控制、高分辨测向、干扰置零、成像（SAR/ISAR）

移动通信：波束形成、抗多址干扰、空分多址（SDMA）声纳：水声工程、宽带阵列处理地震勘探：爆破、地震检测、地质层机构特征分析、探石油射电天文：定位、测向

电子医疗工程：层析成像、医学成像

4/28/20269三、阵列信号处理的发展史

雷达1936年空域信号处理只有三十多年的历史基本理论：Wiener滤波多维信号处理自60年代以来，经历了三大阶段：自适应波束控制IEEETransAP1964.3自适应零点控制IEEETransAP1976.9空间谱估计IEEETransAP1986.34/28/202610wiener滤波理论应用于阵列处理（60年代）

两个方向

滤波

方向估计

自适应波束控制（指向）

近代谱估计（80年代以前）

自适应零点控制（70年代）

参数化模型（基于子空

间技术）

性能代价，快速算法（80年代以后）

稳健算法，盲信号处理（90年代）

稳健计算（90年代）

4/28/202611§1、2传播波与阵列信号处理1、传播波信号传播波信号为空时信号，是时间和空间的四维函数，服从物理规律——波动方程Maxwell波动方程：其中：

直角坐标系中的解：

一个特解：

（*）4/28/202612代入波动方程：

则：（*）式表示的信号是波动方程的解，称为“单色”或“单频”解。若约束条件：即为传播速度，（周期）称为波数矢量，其大小表示单位波长的周期数，单位为弧度/米，其方向为波的传播方向。4/28/202613时间频率空间频率对比：某一时刻（t固定）的恒等相位面，即=常数的平面，该平面与垂直。波动方程的任意解可以分解为无穷多个“单频”解的迭加（传播方向和频率分量均任意）。任意解：由四维Fourier变换表示：其中4/28/202614波动方程的单频解可以写成单变量的函数：式中，其大小等于传播速度的倒数，其方向与传播方向相同，常称为慢速矢量(slownessvector)。所以表示从原点传播到位置所需时间。波动方程另一个较复杂的解：由Fourier理论可知，任意周期函数，周期波形具有基本频率的调和级数形式：4/28/202615都可以用上述级数表示，其中数。有不同的频率和波数矢量，但是各频率

这时表示了具有任意波形的传播周期波，波传播方向为，速度为。波的各种分量与波数矢量必须满足约束条件，可见，不同频率分量传播速度相同，但是波长不同。

利用Fourier理论，波动方程更一般的解，可以表示任意波形（非周期）：4/28/202616这里函数是任意的，只要其Fourier变换存在即可。该式表达了沿同一方向传播的任意波形（信号），其频率分量任意。波动方程球坐标系中的解

球坐标系，但是，当波动方程的解具有球形对称时,函数并不依赖于和，使解简化，这时波动方程可简化为：4/28/202617单频解为：直角坐标系中的解为平面波，对应远场情况；球坐标系中的解为球面波，对应近场情况，如上图。远场近场图1.2该解可以解释为自原点向外传播的球面波，任何时刻恒等相位平面为=常数的球面上。4/28/202618几点重要说明：

对于沿一

个特定方向传播的空时信号都可以表示为一元函数的形式。如果是带限信号，则由某一位置上的时间采样信号或某时刻的空间采样信号可重构全部空时信号。根据已知传播波的波形以及比较一些位置点上的测量信号，波的传播方向可求得。在某一瞬间空间采样提供了一组数据用此数据，有可能决定波的传播方向（如果空间采样无模糊），这是本课程的一个重要研究内容。应用迭加原理，允许多个传播波（不同方向、不同频率）同时出现而无交互作用。非理想介质对传播波有影响。（略）

4/28/2026192、阵列信号模型

考虑沿某一方向传播的窄带信号。窄带信号的定义与时域表示

正频分量负频分量带宽越宽，信号起伏越快。窄带条件即要求变化比变化慢。通信和雷达等信息系统常用的是实的窄带高频信号。窄带信号：信号的带宽小于其中心频率的信号。4/28/202620窄带信号的复信号表示：，式中为载波，它作为信息载体但不含信息。LPLP实部信号(I)虚部信号(Q)图1.3:信号实现窄带信号复包络（基带信号）表示：

实际信号实现如图1.3：4/28/202621窄带信号空域表示假设在坐标原点的传播波为窄带信号，用复数形式表示为：

由逆Fourier变换：沿方向传播到时，4/28/202622如果信号带宽为，则

式等于

记（传播时间），………………4/28/202623若即要求时，有因此小结：信号带宽足够小使得波到达处时的复包络基本不变。表示了波传播的空间信息（方向、位置），它仅含于载波项中，而与信号复包络无关。4/28/202624阵列信号模型阵列几何结构：传感器可以以很多方式在空间上放置。线阵12N均匀线阵：非均匀线阵：稀布阵，随机阵平面阵

图1.4图1.54/28/202625立体阵

参数化数据模型

图1.6yx图1.7：二维阵列几何结构假设N元阵分布于二维平面上，阵元位置为：一平面波与阵面共面，传播方向矢量为：4/28/202626

元阵输出排成矩阵：

阵元接收信号为：

4/28/202627第二章数学基础

目的：复习基本的线性代数知识，作为一个概念和符号的汇编。线性代数参考书：G.H.Golub,C.F.Vanloan"MatrixComputation",1983,TheJohnsHopkinsUniversityPress.(有中译本，大连理工大学出版社，1988)G.Strang,"Linear

AlgerbraandItsApplications",AcademicPress,NewYork,1976.(有中译本，侯自新译，南开大学出版社，1990)4/28/202628§2.1线性空间和希尔伯特空间一、符号及定义符号以后我们常用字母加低杆表示矢量和矩阵，并且用小写字母表示矢量，大写字母表示矩阵，如：

线性空间：关于线性空间和希尔伯特空间的严格定义，读者可以参阅有关线性代数的教科书，这里仅给出其使用概念和结论。4/28/202629所谓线性空间是指满足线性变换关系的矢量集合，这里“满足线性变换关系”是指严格定义：线性空间首先应满足“加法+”和“数乘”的封闭性。4/28/202630

希尔伯特空间希尔伯特空间是指定义了内积的完备线性空间。式中“”表示共轭转置，“*”表示取复共轭。我们定义两个矢量的内积为：4/28/202631二、独立性、正交性、子空间分解线性无关在N维线性空间中，若，那么，矢量组是线性无关的，否则，若的非平凡组合为零，则称是线性相关的。子空间线性空间的一个子集V，若V对加法和数乘封闭，4/28/202632即则，V是的一个子空间。设是上的一组矢量，则由的所有线性组合构成的集合是的一个子空间，常称为张成的子空间，记为：若是线性无关的，且那么可由唯一地线性表示。4/28/202633如果是线性无关，并且不是的任一线性无关组的真子集，那么，这个子集就是的一个最大线性无关如果是最大线性无关组，那么，1）2）3）称是的一个基。组。4/28/202634矩阵的值域与零空间

给定一组向量，由这组向量张成的子空间容易由以上给出的定义写出。另一种求子空间的方法是给定子空间中矢量的约束条件。如与矩阵有关的两子空间值域与零空间。设，则的值域（或列空间）为

的零空间为矩阵的秩定义为：4/28/202635可以证明，即矩阵的秩等于最大无关行数或最大无关列数。，如果m=n,则如下关系等价：

1）是非奇异的2）3）（满秩）正交性

矢量的角

设，则这两个矢量的夹角余弦定义为：4/28/202636正交性：1）矢量正交是指其夹角余弦等于零，即2）矢量组是正交的，如果对所有，有正交。如果满足，则称之为标准正交的。3）子空间称为互相正交的，如果子空间分解

如果是线性空间的子空间，那么它们的和也是一个子空间若每一个有唯一的表达式则被称为一个直和，并写为：4/28/202637子空间的交集也是一个子空间，如。如果一个子空间的正交补为如果矢量是标准正交的并且张成子空间则为直和。一个重要特例：正交分解，则称矢量组构成子空间的一个标准正交基。它总可以扩充为的一组完全的标准正交基，此时。4/28/202638三、线性变换与投影算子线性变换

线性空间上的一个变换称为线性变换，如果它满足：在一定基的意义上，一个线性变换可用一矩阵表示。用一组基表示它在线性变换下的象，其坐标所排成的矩阵就称为在这组基下的矩阵。线性变换与矩阵一一对应。4/28/202639正交投影算子

一种重要的线性变换是投影算子，而且正交情形是最重要的。正交投影算子的定义：

设子空间，线性变换称为正交投影，如果，4/28/202640几何意义：已知维线性空间中的一个点和子空间，求点，使到点的距离不超过到上各点的距离。如图2.1所示。图2.1向量表示由一系列的实验和调查所给出的数据，由于这些实验或调查包含不少的误差，以致在给定的子空间中不可能找到这组数据，即，我们不可能把表示成子空间中的一个向量，因为我们所遇到的方程组是不相容的，因此，是无解的，这样一来，最小二乘解法就是选择点作为最佳选择。4/28/202641正交投影算子的表示，即点的求解。

若子空间由标准正交基张成，则任一矢量，在子空间上的正交投影矢量可表示为：此公式可用直角坐标系来解释。式中阶方阵常称为投影矩阵。4/28/202642可见，由标准正交基来求正交投影算子是很方便的。

若子空间由一组基（未必正交）张成，求由表示的空间上的正交投影算子。由正交投影的定义，到的投影矢量，即由由(2.12)式可知，上的正交投影矩阵为：线性表示，且与正交，即，则，得投影矢量4/28/202643（2.13）式给出了到矩阵的列空间上的正交投影矩阵，当基矢量是标准正交基时，（2.13）式可简化为（2.11）式形式。（2.13）式也称为的伪逆。正交变换与正交矩阵

线性变换是正交变换，如果对线性空间中的任意矢量，有内积关系：，有时又称为保角变换、酉变换。相应于正交变换的矩阵为正交矩阵或酉矩阵，如果满足关系：4/28/202644两个重要例子：例1：离散傅氏变换DFT是正交变换，其矩阵为：

矩阵常称为一种Bulter矩阵（线性情况）。

则DFT变换4/28/202645正交变换是可逆变换，变换后无信息损失。大家知道，在数字信号处理中，DFT变换是一种很重要的变换，我们常用它对数据变换到频域，以便于分析信号频谱，在阵列信号处理中，对阵列空间抽样数据作DFT，相当于把数据变换到角频域（波束空间beamspace），分析波达方向（DOA）。尽管用DFT技术作谱分析时其分辨率不高，但在高分辨谱估计和自适应滤波技术中，DFT变换仍是很重要的一种正交变换，在后面我们还要多次利用它对数据作DFT预变换，简化问题，这里只简单提一下。4/28/202646注意：DFT变换是一种不依赖数据的变换（data-independent），下面再介绍一种依赖于数据的正交变换（data-dependent），随机矢量的线性变换。例2：K-L变换（卡-洛变换）（karhuen-loeve）一随机序列，若其自相关函数为，则K-L变换为：4/28/202647

的特点：

物理意义：按随机序列的能量大小逐次作N个正交方向分解。Y的各分量去相关且按能量从大到小排列。K-L变换有人叫最佳变换。§2．2矩阵的分解特征值分解

对任一维Hermite矩阵（），其特征矢量构成维空间的一组标准正交基。因此，存在一正交矩阵使得与一对角阵相似，即：

式中为的特征值。

4/28/202648正定（半正定）性：若Hermite阵对任一非零矢量，有，则称为正定（半正定）的。正定的Hermite矩阵的所有特征值为正数，即：

(2.21)式中为的特征值，为特征矢量。称此分解为特征分解（EVD）.奇异值分解（SVD）

对，存在正交矩阵和，使得：式中,是的奇异值

4/28/202649容易验证：

矩阵QR分解

任一矩阵，总可以化为：其中是正交矩阵，是上三角矩阵，（2.22）式称为的QR分解。4/28/202650§2.3复变量实函数求导数研究实函数：

，其中

根据求导法则：

4/28/202651矩阵对标量求微分

若矩阵的元素是某个自变量（标量）的函数，当每一个均为可微函数时，可构成一个与同阶的矩阵：，称作矩阵对自变量的导数或微分。矩阵的微分满足的基本运算规则为：

矩阵对矢量求微分

设的元素是某一矢量的可微函数，则4/28/202652矩阵对矢量的微分：

矩阵对矩阵求微分

右边矩阵共有st个块，每分块矩阵为矩阵对矩阵的元素求导，所有分块矩阵按阵排列方式排列。则4/28/202653例：

其中，求。

解：

4/28/202654第三章空域滤波：原理及算法介绍空域波束形成的概念，自适应控制最优准则及最优权的稳态解，以及最优权的求解算法（梯度算法、递推算法）。目的：4/28/202655§3.1波束形成的基本概念1.阵列信号的表示

空间平面波是四维函数，

简化：窄带条件：同时刻采集信号，所有阵元上信号的复包络相同，只需考虑相位的变化，而它只依赖于阵列的几何结构。对于等距线阵，则更简单，只依赖于与x轴的夹角。如图3.14/28/20265612N图3.1如前所述的窄带信号的空域表示：若以阵元1为参考点，则各阵元接收信号可写成：4/28/202657写成矢量的形式：

称为方向矢量或导向矢量（SteeringVector）。在窄带条件下，只依赖于阵列的几何结构（已知）和波的传播方向（未知）。

4/28/202658波束形成（Beamforing）

波束形成（空域滤波）技术与时间滤波相类似，也是对采样数据作加权求和,输出为：目的是：增强特定方向信号的功率。

我们记：，称为方向图。当对某个方向的信号同相相加时得的模值最大。4/28/202659

对于实际上是空域采样信号，波束形成实现了对方向角的选择，即实现空域滤波。这一点可以对比时域滤波，实现频率选择。等距线阵情况：若要波束形成指向，则可取，波束形成：

4/28/202660为天线功率方向图。如图3.2

13.6db主瓣副瓣图3.2根据Fourier理论，主瓣宽度正比于天线孔径的倒数。4/28/202661§3.2自适应波束形成技术§3.2.1普通波束形成的优缺点

优点：是一个匹配滤波器，在主瓣方向信号相干积累，实现简单，在白噪声背景下它是最优的，在色噪声背景下，维纳滤波是最优的。缺点：波束宽度限制了方向角的分辨。存在旁瓣，强干扰信号可以从旁瓣进入。加窗处理可以降低旁瓣，但同时也会展宽主瓣。总之，普通波束形成依赖于阵列几何结构和波达方向角，而与信号环境无关，且固定不变，抑制干扰能力差。4/28/202662§3.2.2自适应波束形成

自适应波束形成是将维纳滤波理论应用于空域滤波中，它的权矢量依赖于信号环境。一般框架：波束形成：对于平稳随机信号，输出信号功率为：定义：阵列信号相关矩阵，它包含了阵列信号所有的统计知识（二阶）。4/28/202663§3.2.3最优波束形成

最优波束形成的一般形式：

最优滤波的准则：1、SNR（信噪比）最大准则2、均方误差最小准则(MSE)3、线性约束最小方差准则(LCMV)4、最大似然准则4/28/202664SNR（信噪比）最大准则

若阵列信号为：如果信号分量与噪声分量统计无关，且各自相关矩阵已知：则

输出功率：

其中为信号功率，为噪声功率。

4/28/202665则SNR（信噪比）最大准则即

4/28/202666根据瑞利熵，可看出即是求的最大特征值问题。

SNR最大准则的求解方法：

利用瑞利熵：

4/28/202667是矩阵对的最大广义特征值对应即（广义特征值分解）的特征矢量。4/28/202668均方误差最小准则(MSE)

应用条件：需要一个期望输出（参考）信号。

令则目标为：

其中

是相关矢量，是相关矩阵。4/28/202669此求解可利用实函数对复变量求导法则，得

由公式可看出：应用此方法仅需阵列信号与期望输出信号的互相关矢量，因此寻找参考信号或与参考信号的互相关矢量是应用该准则的前提。

MSE准则的应用：

1)自适应均衡（通讯）2)

多通道均衡（雷达）3)自适应天线旁瓣相消（SLC）4/28/202670实例：天线旁瓣相消技术(ASC),

如图3.3-主天线辅助天线（增益小，选取与主天线旁瓣电平相当，无方向性，因此几乎仅为干扰信号）加在辅助天线的权矢量获得好的干扰抑制性能的条件：主天线与辅助天线对干扰信号接收输出信号相关性较好。图3.34/28/202671线性约束最小方差(LCMV)准则

阵列输出：,方差为：（输出功率）导向矢量约束为目标信号方向矢量。求解过程分析：信号：则目的是寻找最优的权。

4/28/202672我们可以固定，即信号分量就固定了，然后最小化方差，相当于使的方差最小，所以可得最优准则为：（1可变为任意非零常数）解得：如果固定，则。的取值不影响SNR和方向图。4/28/202673注意：本准则要求波束形成的指向已知，而不要求参考信号和信号与干扰的相关矩阵。推广到约束多个方向：一般的线性约束最小方差法为：解之：

特例：当，即约束单个方向，则4/28/202674实际应用：当已知目标在方向，但也可能在附近，这时可令，结果可把主瓣展宽。

可增加稳健性。注：针对白噪声，为单位阵，，此时自适应滤波是无能力的。

4/28/202675§3.2.4三个最优准则的比较准则解的表达式所需已知条件SNR已知MSE已知期望信号LCMV已知期望信号方向4/28/202676阵列信号假定已知且信号与噪声不相关。SNR：

对比LCMV:4/28/202677 中含有期望信号分量，而中不含期望信号分量，仅为噪声分量。注意：由矩阵求逆引理：

所以：4/28/202678上式表明：在精确的方向矢量约束条件和相关矩阵精确已知条件下，SNR准则与LCMV准则等效。上述条件若不满足，应该用来计算。直接用求逆计算最优权会导致信号相消。在最优波束形成方法中，降低旁瓣电平的方法是加窗处理。

为加窗矩阵。

4/28/202679MSE：若已知与不相关，则由此看出，上述三个准则在一定条件下是等价的。

4/28/202680小结：

自适应波束形成原理如图3.4

12N图3.44/28/202681实现框图为图3.5.

图3.5需已知二阶统计量自适应波束形成的特点：矩阵求逆运算量大，有待于寻找快速算法。已知4/28/202682

§3.3自适应算法

分块算法（批处理方式）SMI

连续算法（每次快拍单独计算）LMS

自适应算法§3.3.1LMS算法

最小均方(LMS)算法差分最陡下降(DSD)算法加速梯度(AG)算法基于梯度的算法

4/28/202683LMS算法

MSE准则：波束形成：期望输出：误差：图3.64/28/202684LMS思想(widrow提出)：用瞬态值代替稳态值.

迭代算法：LMS算法的优点：实现简单收敛性本质上依赖于的特征值的分散程度，当EVD:特征值很接近时，可找到一个使算法快收敛。严重缺陷：收敛性太慢。4/28/202685加速收敛性问题：

对角加载技术：

的特征值一般具有以下结构：(如图3.7)

序号图3.74/28/202686上式中的第二项为个大特征值对应的特征矢量的线性组合。 是要求自由度，当越大，自适应能力越差。4/28/202687对角加载：

易知的离散程度大于的离散程度，所以对角加载以后，LMS算法收敛速度加快。实际实现时是在数据域加入功率一定的白噪声。注意此过程是在计算权时进行，而在波束形成时则不需要。4/28/202688§3.3.2SMI（采样协方差矩阵求逆）算法

最优波束形成：

应不含信号分量，而实际中则是用一批接收数据估计。由估计理论：

,此估计是最即：

SMI算法：

问题是：取多少合适？SMI算法性能如何?大似然无偏估计，4/28/202689分析：

是随机变量，由此计算的也是随机变量。假设独立且同服从高斯分布，

代入得

4/28/202690而

所以归一化信噪比为：

令

,是一个随机变量，其概率密度函数为

4/28/202691工程一般要求，解得，即当M大于两倍的自由度时性能损失不超过3db。

同样可以采用对角加载技术来加速收敛速度。在用理论相关矩阵计算时，只有p个大特征值和特征矢量参与计算，而N-p个小特征值和特征矢量对没有贡献，但是用计算时，所有特征4/28/202692值和特征矢量都参与计算。通过对角加载可以的贡献。减弱N-p个小特征值及其特征矢量对计算在对角加载情况下，可得当时，性能损失不超过3db。

4/28/202693第四章部分自适应阵列处理技术

§4.1部分自适应概念

全自适应：对全部单元作自适应控制（使用了全部可利用的系统自由度degreeoffreedom）.部分自适应：对其中部分单元作自适应控制（只使用了部分可利用的系统自由度）。4/28/202694比较：

方式

指标全自适应部分自适应自由度全部部分运算量大小收敛性慢快性能潜在性能高使用性好（与理论极限性能相比有损失）4/28/202695关键：如何合理设计部分自适应结构，使得性能损失最小而运算量显著降低。部分自适应技术的发展情况：chapman,IEEE,TransAP-24,1979,P685~696变换降维Morgan,IEEE,Trans,AP-26,1978,P823~833多重旁瓣对消器（MSC）Gabriel,IEEE,AP-34,1986,No.3,P291~300自适应—自适应方法4/28/202696Adams,IEEE,AES-16,1980,P509~516用几个指向目标临近方向的波束进行对消VanVeenB.D,IEEE,Trans,ASSP-35,1987,P1524~1532深入系统研究了广义旁瓣相消结构（GSC处理器）

4/28/202697§4.2阵元空间(elementspace)部分自适应处理

Chapman方法：子阵级对阵列数据用降维矩阵作变换：变换前的自适应：变换后的自适应处理：4/28/202698变换后的导向矢量为：由最优波束形成原理，变换域的最优权为：在变换域用进行最优波束形成，实际上是对进行波束形成，即：

其中：

4/28/202699一般地，,此时不可逆，在变换域处理的性能不如变换前处理的结果（有性能损失）；特殊地，当可逆时：

此时在变换域处理的结果与变换域前一样，但这时需要，并不能降维，所以无实际意义。关于变换矩阵的构造（子阵划分）问题：

简单子阵法

选取的子阵只是位置上靠近的阵元。明显缺点：各子阵的相位中心通常超过半波长（甚至几个波长），产生子阵间栅瓣。

4/28/2026100几种改进方法：使子阵间栅瓣出现于子阵方向图的零点位置。

例：33阵元合成为16个（采用滑动重叠技术）如图3.1所示图3.11234529303132331215164/28/2026101新阵列方向图子阵方向图图3.24/28/2026102非均匀划分，使各子阵内的阵元数不等，破坏栅瓣的出现。如图3.3123456123图3.316334/28/20261032、Morgan的MSC方法：阵元级选取部分单元进行自适应加权控制，而其余单元用固定权（非自适应）进行处理。

如图3.4所示12KN有几个干扰复用几个信号进行自适应处理相消图3.44/28/2026104选取的阵元数M=1单旁瓣相消器M>1多旁瓣相消器

MCS中的问题：1、对几个点干扰抑制问题，选取自适应单元几乎可任意。2、对很多干扰或连片的地物杂波，如何选取自适应处理单元有待于进一步研究。

当,全自适应

4/28/2026105§4.3波束空间部分自适应处理

波束指的是普通波束。波束空间自适应处理：最常见的是对傅氏基波束进行处理。选取部分波束进行处理就称为波束域部分自适应处理。下面研究波束选取的方法4/28/2026106

Gabriel方法：分两步：首先估计干扰方向（粗略）。再选取指向干扰方向的若干波束。

Adams方法：在目标邻近方向选取若干波束。以等距线阵为例(间距为)。N元阵经过butler波束形成得到N个波束。如图3.5Butler矩阵123N123N图3.54/28/2026107其特点：N个波束在旁瓣区共零点。如图3.60图3.64/28/2026108一、分析Gabriel方法：

已知两个干扰及其方向选取两个指向干扰方向的波束。（干扰2）(目标)（干扰1）最优准则：4/28/2026109图3.7用“辅助天线”的主瓣对消“主天线”的旁瓣干扰4/28/2026110二、分析Adams方法

注意各波束在旁瓣区共零点，可行成宽的凹口。可用较少的波束进行自适应处理来抑制密集型的多干扰（连片杂波）。如图3.8密集型干扰图3.8用“辅助天线”的旁瓣对消“主天线”的旁瓣凹口4/28/2026111§4.4基于广义旁瓣相消器的部分自适应设计

最优波束形成：：指向目标的导向矢量（固定）。：4/28/2026112：自适应权，依赖于数据。：固定权（匹配filter）在计算最优权时，实际上只需计算。更进一步，在已知一组基矢量时，为计算，只涉及p个参数（p<N）。更一般最优波束形成：（LCMV）4/28/2026113令

而

满足约束方程。

上述约束方程可转变为无约束

4/28/2026114LCMV处理框图：图3.8广义旁瓣相消器（GSC)上支路：形成目标检测通道(是匹配滤波权)下之路：形成辅助通道，用其加权求和去预测检测通道中的干扰信号进而对消掉。要求：下支路中不含目标信号，由保证。

4/28/2026115称为信号阻塞矩阵（BlockMatrix）

在上述结构中，用了L个约束条件，全自适应处理的自由度为N－L个。由上述结构可方便设计降维处理。如图3.9图3.94/28/2026116由上图得：令（合并）

有两层要求：对信号进行阻塞是降维矩阵

关于的设计问题：

方法一（Gabried法）：由指向干扰方向的方法二（Adams法）：由指向目标方向邻傅立叶变换基矢量波束作为权矢量构成的。近波束权矢量构成。方法三：由R的特征分解的特征矢量构成。

4/28/2026117§4.5频率波数处理

W：时间频率，数字信号处理，时域采样。k：空间频率矢量，只能离散处理，空间采样。W－k处理：就是W－方向处理。

仅方向滤波问题（仅考虑波束形成）。宽带阵列信号：同时刻的不同阵元信号的复包络不尽相同

W－方向的滤波问题:(宽带阵列信号处理)4/28/2026118频域表示：

4/28/2026119宽带阵列处理方法：一般结构：多通道横向滤波器。频域处理：FFTFFTFFT阵列处理IFFT对同频数据进行类似于窄带阵列处理图3.104/28/2026120§5.1测向问题

第五章阵列信号的高分辨处理

如何测定传播波的到达方向传统测向方法：比相法（测定波程差,干涉仪，比相单脉冲）只适合单个源。波束扫描（比幅单脉冲，用和波束）4/28/2026121信号模型分析：

窄带条件下：

比相法仅需两元阵：N元阵单信源在不模糊的情况下()，可以测定。在保证不模糊的情况下，天线离越远越好。,精度提高。

4/28/2026122波束扫描波束形成：普通波束形成（匹配滤波）扫描指：变化在[0,180°]范围内，画出输出功率随扫描角度变化的图形。问题：虽可测多个信源，但当多个信源的夹角小于一个波束宽度时，无法分辨。波束宽度与阵列孔径成反比，又称为瑞利限。4/28/2026123§5.2正交子空间投影与高分辨处理

信号子空间与噪声子空间的定义

信号模型：N元阵接收p个信源无噪声条件下：

定义为信号子空间，是N维线性空间中的P维子空间，记为。

的正交补空间称为噪声子空间，记为只是数学上的定义，并非物理上的噪声。

4/28/2026124分析：信号子空间：对于等距线阵（ULA）

其中

范德蒙矩阵：是满秩的充要条件为。4/28/2026125已知和，则只要，则即当，时，

和线性无关，

和线性无关。当信号子空间已知（），进行方向估计方法：用为搜索矢量，向上做投影，或向做投影。定理：在上投影矢量长度等于零的充要条件为。或在上投影矢量就是自己本身的充要条件为下面给出简单证明4/28/2026126证明：N维矢量向上投影。“”：显然∵“”：记向（或）投影矩阵为（或）则

反证：假设，

即线性相关（P＋1个导向矢量）。而当时，应线性独立。矛盾。4/28/2026127或的建立

已知：N元阵列接收的一批数据由计算相关矩阵

假定满秩先对矩阵作特征分解4/28/2026128特例：P个信号独立，∴有P个非零特征值

另有个零特征值，个特征矢量4/28/2026129对的特征分解为有P个大特征值可以证明：P个大特征值对应的特征矢量张成信号子空间

（但是不能推出）

或的个小特征值对应的特征矢量张成。4/28/2026130Music方法步骤：由阵列数据估计相关矩阵对作特征分解。用个大特征值对应的特征矢量构成或用个小特征值对应的特征矢量构成。用搜索矢量向作投影计算谱峰：谱峰与信号强度无关，只反映与的正交性。4/28/2026131§5.3子空间高分辨处理与波束形成方法比较

波束扫描法

常规波束形成方法：最优波束形成方法：（LCMV法）最优权：用进行波束扫描，比较各方向的输出功率，以判断DOA。这时的极值必须对所有角度取同一标准。4/28/2026132取，则。用为权系数进行波束扫描。阵列波束形成的输出功率为

DOA估计：。这里是Capon谱。分辨率明显高于普通波束扫描。基理可由最优波束形成的原理来理解。波束扫描无论是普通波束形成还是最优波束形成，其分辨率或多或少是受限于阵列孔径。4/28/2026133子空间法（Music法）与Capon法比较

相关矩阵当

4/28/2026134Music：Capon法与Music法的分辨率：Capon法基于信号与干扰加噪声之比最大来求最优波束形成。Music法则只关心信号与干扰之比最大来求最优波束形成，不关心噪声。在相关矩阵精确已知（要求无穷多次快拍数据）情况下，白噪声功率（或信噪比）不影响Music方法。在精度足够的情况下，一般Music法优于Capon法。

4/28/2026135关于谱峰强度：Music谱峰只是反映了阵列流形矢量与噪声子空间的正交性，而与信噪比无关。而Capon谱峰是真正的输出功率，与信噪比有关。4/28/2026136§5.4信号源数目的判定

在非相干源情况：的秩为P阵列信号相关矩阵特征值具有规律，在一定条件下（主要是SNR足够高），由大特征值数目可以简单地判定信号源数目。但是在实际情况下问题出现于：SNR不足够高，大小特征值不便于确定。有限次快拍条件估计有误差，小特征值扩散。色噪声情况下，问题更多相干源问题4/28/2026137信源数目判定问题，文献称为信号检测。采用的方法有两个准则：AIC（信息论），MDL（最小描述长度）参数模型选择为（条件:白噪声非相干源）未知参数集合总的独立参数

4/28/2026138阵列数据独立同服从高斯分布联合概率密度函数似然估计：取对数

其中——最大似然无偏估计用的特征值及特征矢量估计的特征值与特征矢量：4/28/2026139，的最大似然估计为：代入似然函数

4/28/2026140两个准则：

对寻优，最小值对应的为信息源数P的估计

4/28/2026141§5.5旋转不变因子ESPRIT空间参数估计方法

已知条件：P个非相干信号源到达阵列

对阵列的要求：由两个子阵组成，而且子阵1是子阵2完全平移（整体平移）。以线阵为例如图5.1

123N图5.14/28/2026142用Music法：对2N元阵列采用特征法进行方向估计子阵1：子阵2：其中为：其中为：4/28/2026143从子空间来看，无噪声：信号子空间信号子空间由子阵1：（在白噪声背景下）

再由子阵1和子阵2之间的互相关矩阵:4/28/2026144（子阵1和子阵2接收的噪声不同，不相关）其中

由特征分解后，用个小特征值平均估计4/28/2026145令（秩为P）考虑：矩阵的秩小于P的充分必要条件为：搜索，可得P个旋转因子具体求的方法：

方法1：求与的非零广义特征值视为的对应的特征矢量，为的特征值。4/28/2026146方法2：考虑：的特征分解分析：4/28/2026147说明：是的P个特征矢量。

对应的特征值是的P个对角线元素4/28/2026148此性质可用于：阵列流形未知的情况（条件：子阵2是子阵1的整体平移）阵列校正盲波束形成方法3：

由

其中P个大特征值P个大特征值对应的特征矢量

4/28/2026149构造：

进行EVD，有P个大特征值和矢量其中可逆矩阵

而且与的列空间相等，等于的列空间的秩为P，存在唯一的使4/28/2026150∴的特征值就是的特征值求负。

4/28/2026151第六章相干源高分辨处理

§6.0相关性

随机变量,相关系数若为常数。称和为完全相关或相干。，称和不相关。称和相关。4/28/2026152例：多径传播（如图6.1）图6.1如果是窄带信号

此时和相干。对多径传播，各径分量之间是否相干取决于信号带宽。若延迟时间大于相干时间，则不相干。4/28/2026153§6.1相干源问题

以为例阵列信号阵列相关矩阵信号功率

当，秩为1，秩亏损。4/28/2026154对任意的，如果个信号源完全相关（相干），则的秩为1。当（相干源），即：称为广义阵列模型或广义导向矢量，不对应某个DOA。若无噪声：

4/28/2026155§6.2空间平滑法

N元等距线阵分成L个M元子阵

（如图6.2）全阵时：

其中导向矢量

123MM+1N12图6.24/28/2026156第一个子阵：

其中导向矢量第二个子阵：

4/28/2026157第L个子阵：若（相干源），则采用这种方法后破坏了相关性。通过多个子阵，每个子阵相当于空间平移，多出的旋转因子归并到信号包络[不同信号由于方向不同，旋转因子不同]。然后将各子阵数据在相关域平均。4/28/2026158第一个子阵：第二个子阵：第L个子阵：空间平滑：

用此式进行EVD，采用Music实现DOA估计。4/28/2026159可以严格证明：

如果无全零行，对角矩阵的对角元素不两两相等，

则

其中是的秩，是的维数可见最坏情况，当，

4/28/2026160§6.3空间平滑去相关性性能分析

在相干源情况：不满秩，空间平滑得到的为满秩。

另一种极端情况，个不相关源，则的非对角元素为零。

问题：在相干源情况下，空间平滑后，的非对角元素的模的减小程度如何？第i行j列的元素为：4/28/2026161其中：

4/28/2026162当时，

当时，

——减小了相关性。

由上式可知：去相关能力依赖于和信号源波达角的正弦差，4/28/2026163分析：当一定时，时，很大，进入sinc函数副瓣区，去相关效果较好。时，很小，，去相关效果不明显。越大去相关能力越强。

改进的空间平滑方法

元等距线阵 固定：

在和固定情况下，设法提高平滑次数

4/28/2026164原空间平滑方法：沿一个方向（前）滑动子阵。改进的空间平滑方法：再沿相反方向（后向）滑动子阵，这样可提高平滑次数而阵元数不变。元阵导向矢量：

令

4/28/2026165则是的倒置。共轭倒置得到的信号子空间与原来的一样。4/28/2026166共轭倒置后向平滑得到另个子阵

在相关域平滑：其中：是前向平滑子阵的相关矩阵：

是后向平滑相关矩阵。

4/28/2026167分析改进平滑方法的去相关能力，就是研究非对角线元素的模值。的第元素其中：4/28/2026168一般的：几何关系如图6.3图6.3所以用前后向平滑增强了去相关能力。空间平滑方法可以推广到二维均匀阵结构。4/28/2026169特征结构法性能与信号源的相关性

只讨论两个信号源，不考虑噪声。

元阵的相关矩阵：研究的特征值的离散性与信号源相关性的关系。

的两个非零特征值

其中：

为与的相关系数。称空间相关系数.4/28/2026170当（独立源）。如图6.4当（两信号方向矢量相交）。（图似）特征值的大小(db)大的一个0db-5db10图6.44/28/2026171§6.4高分辨广义信号子空间方法

广义信号子空间的建立方法先讨论无噪声的情况任意快拍矢量

时间快拍取样

考虑两个不相干源，即4/28/2026172第三次快拍：

其中可由解线性方程组得到。

一般情况下，有个信号源，分成组，组内相干，组间信号源不相干，若快拍足够多，则最多能得到属(信号子空间）的线性独立矢量个数为。空间平滑取样

单次快拍

元等距线阵，空间滑动取样

4/28/2026173可以证明：

线性独立空间共轭倒置取样

已知则的秩为2。在有噪声的情况下设法滤去噪声：

简单相关矢量：4/28/2026174空间相关矩阵法（用小特征值平均估计）

由相关矩阵的特征矢量来形成独立矢量。至少有一个大特征值对应的特征矢量，记为则，即

得到维矢量，进行“空间平滑”，对作降维到维。平滑得到个维矢量。

的列空间为。

4/28/2026175用SVD方法，从中找出个独立矢量，由的SVD的个非零奇异值对应的左奇异矢量就是的一组独立矢量，此方法称为EVD-SVD.4/28/2026176第七章最大似然法与加权子空间拟合方法

§7.1最大似然法原理（ML）

先验概率

后验概率条件概率基本思想：已知一组服从某概率模型的样本集其中为参数集合，使下列条件概率最大的参数的估计称为最大似然估计，4/28/2026177用于DOA估计：阵列数据假定条件：列满秩（空间角不模糊）采样数据假设是独立的。将视为未知的确定型函数。为零均值的高斯分布。求：的条件概率因为：4/28/2026178取对数：

先估计使似然函数最大，得：

代入原似然函数：4/28/2026179先固定估计：

未知变量个数：

将代回似然函数，求关于的估计。

4/28/2026180化简为：

噪声子空间的投影矩阵。

为向4/28/2026181∴求或其中：数学上：维寻优。物理上：搜索维信号子空间去拟合阵列数据，使得投影误差最小。几何意义见图7.1图7.14/28/2026182特例：单个信号源情况：普通波束扫描方法一般情况：多信源时，ML法涉及多维优化问题，计算量很大。4/28/2026183§7.2ML法的交替投影算法（AP法）

AP法：是多维寻优中坐标轮换寻优方法，其中有个关键的步骤：

相当于将中与相交部分挖去。AP法的步骤：

第0步：设定初始值（非线性优化与初始值有关）。第k步：假定已完成的估计。

第步中，再假定已经完成前个角度的第步估计。记为：

K+14/28/2026184则第个角度的第步估计为：其中

4/28/2026185概念上理解：固定个变量，则相当于从阵列数据中滤除这个信号源，而仅留下第个信号源，再进行普通波束扫描。4/28/2026186§7.3加权子空间拟合方法

给出DOA估计方法的统一模式

一、问题的提出

阵列数据

高斯分布数据矩阵：

复包络：ML方法：

4/28/2026187在服从高斯分布时，最小二乘就是ML。

ML方法的更一般形式：

式中为维矩阵，代表与数据矩阵有关的矩阵。为维矩阵，为维矩阵。几何意义：选择使其列空间与反映数据矩阵的列空间尽可能接近，则参数可从中获取。具体求解方法：由于与是变量可分离的。其中4/28/2026188二、子空间拟合方法

对约束取某种形式，可得到不同子空间拟合法。在特征结构方法中，有个大特征值及其对应的特征矢量。选取

则子空间拟