(2025年)初中函数应用大题例题(带答案)

(2025年)初中函数应用大题例题(带答案)某社区为响应"绿色城市"建设号召，计划对辖区内一块长120米、宽80米的矩形空地进行绿化改造。改造区域分为三个功能区：A区（草坪）、B区（花卉种植）、C区（健身设施）。社区工作人员通过市场调研和成本核算，整理出以下数据：1.A区为矩形区域，其长边与空地长边平行，宽度为x米（0<x≤40），剩余区域中，B区和C区的总面积为空地面积的60%；2.B区种植两种花卉：月季花和牡丹花，每平方米种植月季花成本为15元，牡丹花成本为25元。为保证景观效果，月季花种植面积至少是牡丹花的1.5倍；3.C区需铺设防滑地砖，每平方米地砖成本为40元，且C区的长比宽多10米；4.社区可申请政府绿化补贴，补贴规则如下：改造总面积不超过4800平方米时，每平方米补贴10元；超过4800平方米但不超过6000平方米的部分，每平方米补贴15元；超过6000平方米的部分，每平方米补贴20元。（1）若A区草坪每平方米维护成本为8元，求A区维护成本y₁（元）与x（米）的函数关系式；（2）在满足B区种植要求的前提下，若B区总种植成本不超过36000元，求牡丹花种植面积的最大值；（3）设C区地砖铺设成本为y₂（元），求y₂关于x的函数关系式，并求当x为何值时，C区地砖成本最低；（4）若社区希望总改造利润（总补贴-总成本）不低于80000元，通过计算说明是否存在符合条件的x值（总成本=A区维护成本+B区种植成本+C区地砖成本）。（1）解：空地总面积为120×80=9600平方米。A区为矩形，长边与空地长边平行，宽度为x米，则A区的长为120米（与空地长边一致），宽为x米，故A区面积S₁=120x平方米。B区和C区总面积为9600×60%=5760平方米，因此剩余未被A区占用的面积为9600-120x平方米，其中包含B区、C区和未改造区域（即未被规划的部分）。但根据题意，B区和C区总面积固定为5760平方米，因此未改造区域面积为(9600-120x)-5760=3840-120x平方米（需满足3840-120x≥0，即x≤32，结合题目x≤40，故x实际范围为0<x≤32）。A区维护成本y₁=8×S₁=8×120x=960x（元），其中0<x≤32。（2）解：设牡丹花种植面积为a平方米，则月季花种植面积至少为1.5a平方米，B区总面积为1.5a+a=2.5a平方米（因B区仅种植两种花，无其他区域）。B区总面积不超过B区和C区总面积中的B区部分吗？不，题目中B区和C区是两个独立功能区，总面积为5760平方米，因此B区面积S_B+C区面积S_C=5760。但题目（2）仅涉及B区的种植要求，因此需明确B区面积的范围。由（1）知，未被A区占用的面积为9600-120x，其中B区和C区共5760平方米，因此B区面积S_B=5760S_C。但题目（2）中未提及x，说明B区面积是独立变量吗？不，可能我理解有误。重新分析：题目中“B区和C区的总面积为空地面积的60%”即5760平方米，因此S_B+S_C=5760。而B区内种植两种花，故S_B=S_月季+S_牡丹。设S_牡丹=a，则S_月季≥1.5a，因此S_B≥1.5a+a=2.5a，即a≤S_B/2.5。B区种植成本=15×S_月季+25×S_牡丹≤36000元。代入S_月季≥1.5a，得15×1.5a+25a≤36000（取等号时成本最大，此时a最大），即22.5a+25a=47.5a≤36000，解得a≤36000÷47.5≈757.89平方米。但需验证S_B是否满足S_B≥2.5a。由于S_B=5760S_C，而C区面积S_C由（3）中条件确定：C区的长比宽多10米。设C区宽为m米，则长为m+10米，面积S_C=m(m+10)。同时，C区位于未被A区占用的区域内，未被A区占用的区域是一个矩形，原空地宽80米，A区宽x米（与空地宽方向一致吗？需明确坐标系：原空地长120米（x轴），宽80米（y轴）。A区宽度为x米，若长边与空地长边平行，则A区应为长120米（x轴方向），宽x米（y轴方向），因此A区占据y轴方向从0到x的区域，剩余未被A区占用的区域是y轴方向从x到80米的区域，即宽为80-x米，长仍为120米的矩形，面积为120(80-x)平方米。哦，之前对A区宽度的理解错误！题目中“宽度为x米”应指A区的短边长度，即A区是矩形，长边与空地长边（120米）平行，因此A区的长为120米，宽为x米（垂直于长边的方向，即空地的宽80米方向），所以A区实际占据的是空地中宽为x米的部分，剩余未被A区占用的区域宽为80-x米，长仍为120米，面积为120(80-x)平方米。此时，B区和C区的总面积为空地面积的60%，即9600×60%=5760平方米，因此有：A区面积S_A=120x未被A区占用的面积=120(80-x)=9600-120xB区+C区面积=5760，因此未被改造的区域面积=(9600-120x)-5760=3840-120x（需≥0，即x≤32）修正（1）中y₁=8×S_A=8×120x=960x（0<x≤32），正确。回到（2）：B区和C区总面积5760平方米，设B区面积为S_B，C区面积为S_C，则S_B+S_C=5760。B区内种植月季花和牡丹花，设牡丹花面积为a，月季花面积为b，则b≥1.5a，且a+b=S_B。B区种植成本=15b+25a≤36000代入b=S_B-a，得15(S_B-a)+25a≤36000→15S_B+10a≤36000→10a≤36000-15S_B→a≤(36000-15S_B)/10=3600-1.5S_B同时，b≥1.5a→S_B-a≥1.5a→S_B≥2.5a→a≤S_B/2.5要使a最大，需同时满足a≤min{3600-1.5S_B,S_B/2.5}令3600-1.5S_B=S_B/2.5→3600=1.5S_B+0.4S_B=1.9S_B→S_B=3600/1.9≈1894.74平方米当S_B≥1894.74时，a≤S_B/2.5；当S_B<1894.74时，a≤3600-1.5S_B但S_B的最大值为5760（当S_C=0时），最小值由C区存在的条件决定：C区需铺设地砖，因此S_C>0，即S_B<5760。为求a的最大值，需找到S_B的可能范围。由于C区的长比宽多10米，设C区宽为m米（与未被A区占用的区域的宽方向一致，即未被A区占用的区域宽为80-x米，长为120米，因此C区的长和宽应在该区域内，即C区的长≤120米，宽≤80-x米）。C区面积S_C=m(m+10)，其中m≤80-x（宽方向限制），m+10≤120（长方向限制）→m≤110，而m≤80-x<80（因x>0），故m≤80-x。因此S_C=m(m+10)≤(80-x)(90-x)（当m=80-x时），同时S_C>0，故S_B=5760S_C≥5760(80-x)(90-x)但题目（2）中未限制x，可能默认x在有效范围内（0<x≤32），且需保证C区存在，即S_C>0→S_B<5760。为简化，假设C区面积固定（或题目（2）不涉及C区具体面积，仅考虑B区自身限制），则当S_B最大时，a可能最大。但B区种植成本限制为36000元，当S_B越大，需要的成本可能越高。另一种思路：题目（2）中“在满足B区种植要求的前提下”，即仅需满足月季花面积≥1.5倍牡丹花面积，与C区无关，因此B区面积可以是任意值（只要S_B≤5760），但种植成本不超过36000元。设牡丹花面积为a，则月季花面积≥1.5a，总种植面积≥2.5a，种植成本=15×1.5a+25a=22.5a+25a=47.5a≤36000→a≤36000/47.5≈757.89平方米。此时总种植面积=2.5a≈1894.74平方米≤5760，满足条件。因此牡丹花种植面积的最大值为757.89平方米，取整为757平方米（因面积为整数）。（3）解：C区为矩形，长比宽多10米，设宽为m米，则长为m+10米，面积S_C=m(m+10)。未被A区占用的区域是长120米、宽(80-x)米的矩形，因此C区需在该区域内，故长≤120米，宽≤80-x米，即：m+10≤120→m≤110（自然满足，因m≤80-x<80）m≤80-x因此S_C=m(m+10)≤(80-x)(90-x)（当m=80-x时）又B区+C区总面积为5760平方米，故S_C=5760S_B，但S_B=未被A区占用的面积S_C未改造区域？不，之前已明确：未被A区占用的面积=120(80-x)=9600-120x，其中B区+C区=5760，未改造区域=9600-120x-5760=3840-120x（≥0→x≤32）。因此C区面积S_C可以是任意值，只要满足S_C≤未被A区占用的面积（即S_C≤9600-120x）且S_C≤5760（因B区+C区=5760，所以S_C≤5760）。但结合C区的形状限制，S_C=m(m+10)，其中m≤80-x，所以S_C≤(80-x)(90-x)。为求y₂（C区地砖成本）=40×S_C=40m(m+10)，需要将m用x表示。由于未被A区占用的区域宽为80-x米，长为120米，C区可以放置在该区域的任意位置，为使C区存在，需满足m≤80-x且m+10≤120（即m≤110），而m>0。但题目可能隐含C区是最大可能的区域，或需利用B区+C区=5760的条件。重新整理：未被A区占用的面积=120(80-x)=9600-120x其中，B区+C区=5760，因此C区面积S_C=5760S_B，而S_B≥0，故S_C≤5760。同时，C区作为矩形，面积S_C=m(m+10)，所以m²+10mS_C=0，解得m=[-10+√(100+4S_C)]/2=√(S_C+25)-5（m>0）。但需要将S_C与x关联。由于未被A区占用的区域面积为9600-120x，其中B区+C区=5760，因此未被改造区域=9600-120x-5760=3840-120x，这部分不影响C区，因此C区面积S_C可以是5760S_B，而S_B≥0，所以S_C≤5760。但题目（3）要求y₂关于x的函数关系式，说明S_C与x有关，可能我之前对A区的位置理解仍有误。重新考虑：A区是矩形，长边与空地长边平行，即A区的长为L，宽为W，题目中“宽度为x米”可能指A区的宽为x米，长为L，且A区位于空地内，因此L≤120，W≤80。题目中“宽度为x米”可能指垂直于长边的方向，即A区的长为120米（与空地长边一致），宽为x米（垂直方向），因此A区面积=120x，剩余区域为长120米，宽(80-x)米的矩形，面积=120(80-x)。B区和C区需在剩余区域内划分，因此B区+C区面积≤120(80-x)。但题目中说“B区和C区的总面积为空地面积的60%”即5760平方米，因此有120(80-x)≥5760→80-x≥48→x≤32，与之前一致。因此C区面积S_C≤120(80-x)，且S_C=5760S_B（B区面积），但B区面积S_B≥0，故S_C≤5760。现在，C区的长比宽多10米，设C区在剩余区域内的放置方式为：长平行于剩余区域的长（即120米方向），宽平行于剩余区域的宽（即80-x米方向），则C区的长≤120米，宽≤80-x米，因此长=宽+10≤120→宽≤110（自然满足，因宽≤80-x<80），宽≤80-x→长=宽+10≤90-x。因此C区面积S_C=长×宽=(宽+10)×宽=宽²+10宽，其中宽≤80-x，长=宽+10≤90-x≤120（因x≥0）。为使C区面积最大，宽取最大值80-x，此时长=90-x，面积S_C=(80-x)(90-x)=x²-170x+7200。但题目中B区+C区总面积为5760平方米，因此S_C=5760S_B，而S_B≥0，所以S_C≤5760。因此有：x²-170x+7200≤5760→x²-170x+1440≤0→解方程x²-170x+1440=0，Δ=170²-4×1440=28900-5760=23140≈152.1²，根为(170±152.1)/2，即x≈(170+152.1)/2≈161.05（舍去，因x≤32），x≈(170-152.1)/2≈8.95。因此当x≤8.95时，S_C=(80-x)(90-x)≥5760，此时C区面积取5760平方米（B区面积为0）；当x>8.95时，S_C=(80-x)(90-x)<5760，此时B区面积=5760S_C>0。因此分两种情况：①当0<x≤8.95时，C区面积S_C=5760平方米（B区面积为0），此时C区的长和宽需满足长=宽+10，且长≤120，宽≤80-x。设宽为m，则m(m+10)=5760→m²+10m-5760=0→解得m=(-10±√(100+23040))/2=(-10±√23140)/2≈(-10+152.1)/2≈71.05米。此时宽m≈71.05米，需满足m≤80-x→71.05≤80-x→x≤8.95，符合条件。此时长=71.05+10=81.05米≤120，符合条件。②当8.95<x≤32时，C区面积S_C=(80-x)(90-x)=x²-170x+7200，此时B区面积=5760S_C=5760(x²-170x+7200)=-x²+170x-1440>0（因x>8.95）。因此C区地砖成本y₂=40×S_C，分两种情况：当0<x≤8.95时，y₂=40×5760=230400元（常数）；当8.95<x≤32时，y₂=40(x²-170x+7200)=40x²-6800x+288000。现在求y₂的最小值。对于二次函数部分，当x>8.95时，y₂=40x²-6800x+288000，其对称轴为x=6800/(2×40)=85，但x≤32<85，因此在区间(8.95,32]上，y₂随x增大而减小（因为二次项系数40>0，开口向上，对称轴在右侧，区间内为递减）。当x=32时，y₂=40×(32²-170×32+7200)=40×(1024-5440+7200)=40×2784=111360元；当x=8.95时，y₂=40×(8.95²-170×8.95+7200)≈40×(80.1-1521.5+7200)=40×5758.6≈230344元（接近230400元，因近似值）。而当0<x≤8.95时，y₂=230400元，因此在x=32时，y₂取得最小值111360元。（4）解：总补贴需根据改造总面积计算。改造总面积=A区面积+B区面积+C区面积=120x+(5760S_C)+S_C=120x+5760（因为B区+C区=5760）。补贴规则：改造总面积≤4800平方米时，补贴=10×总面积；4800<总面积≤6000时，补贴=10×4800+15×(总面积-4800)；总面积>6000时，补贴=10×4800+15×(6000-4800)+20×(总面积-6000)=48000+18000+20×(总面积-6000)=66000+20×(总面积-6000)。改造总面积=120x+5760，x∈(0,32]，因此总面积范围：当x=0时，5760平方米；x=32时，120×32+5760=3840+5760=9600平方米。分区间讨论：①当120x+5760≤4800→120x≤-960→x≤-8（舍去，x>0），故此区间无意义；②当4800<120x+5760≤6000→-960<120x≤240→0<x≤2（因x>0）；③当120x+5760>6000→120x>240→x>2（x≤32）。总成本=A区维护成本+B区种植成本+C区地砖成本=y₁+y_B+y₂=960x+y_B+y₂。需要总利润=总补贴总成本≥80000元。首先计算总补贴：当0<x≤2时，总面积=120x+5760∈(5760,6000]（因x=2时，120×2+5760=240+5760=6000），补贴=10×4800+15×(120x+5760-4800)=48000+15×(120x+960)=48000+1800x+14400=62400+1800x；当2<x≤32时，总面积=120x+5760>6000，补贴=66000+20×(120x+5760-6000)=66000+20×(120x-240)=66000+2400x-4800=61200+2400x。总成本部分：B区种植成本y_B：由（2）知，当牡丹花面积最大为757.89平方米时，y_B=36000元（取最大值，因为要保证总利润≥80000，需考虑最坏情况，即y_B最大）。题目（2）中“不超过36000元”，因此y_B≤36000，取y_B=36000元（使总成本最大，利润最小，若此时利润仍≥80000，则存在解）。C区地砖成本y₂：由（3）知，当x>8.95时，y₂=40x²-6800x+288000；当0<x≤8.95时，y₂=230400元。分情况讨论：情况1：0<x≤2总成本=960x+36000+y₂当0<x≤2≤8.95，y₂=230400元（因x≤8.95时y₂=230400），故总成本=960x+36000+230400=960x+266