北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.复数z=3−i的虚部为(

)A.i B.−i C.1 D.−12.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是(

)

A.①是棱台 B.②不是圆台 C.③是棱锥 D.④是棱柱3.已知向量a=(2,−1)，b=(x,4).若a⊥b，则xA.8 B.−2 C.−8 D.24.若a+2i=i(b+i)(a,b∈R)，其中i是虚数单位，则a+b=(

)A.−1 B.1 C.−3 D.35.下列说法不正确的是(

)A.底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

C.棱柱的侧棱相互平行 D.正棱柱的高与侧棱长相等6.在复平面内，复数z1,z2对应的点关于实轴对称，且z1A.−1+2i B.1−2i C.5 D.−37.在▵ABC中，已知a=33，c=2，B=56πA.13 B.22 C.28.“A、B、C、D四点共线”是“AB与CD共线”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.在Rt▵ABC中，C=90∘，AC=3，BC=4，D为AB的中点，点P在线段CD上，则PA⋅PBA.−254,0 B.0,254 10.在▵ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，若A=π3，a=3，则b+cA.(0,2] B.3,23 C.二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.如图所示，已知正方形网格中每个小正方形边长为1，则向量a与b夹角的余弦值为

．

12.在▵ABC中，AC=2，BC=2，A=π6，则B=13.如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则z2=

；|z1z14.如图所示，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，若A′B′=2，B′C′=1，则四边形ABCD的面积为

．15.如图正八边形ABCDEFGH，O为正八边形中心，已知OA=1，P为正八边形ABCDEFGH边上的动点，给出下列结论：①OA与OB夹角为②OD在OA上的投影向量为③AP⋅④存在点P，使得|PA其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知平面向量OA=(1,−2)，OB=(4,m)(1)若2OA−OB(2)设C(52,1)，若A,B,C三点共线，求17.已知▵ABC的周长为18，cosA=−17，(1)求BC；(2)求▵ABC的面积．18.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，点E为边CD的中点，点F为线段BE上靠近B的三等分点(即BF=13BE)，设(1)用基底{a,b}表示向量BD，(2)若点P为线段BD上的动点，求AF⋅AP19.在▵ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，且bcosC+c(1)求角A；(2)已知c=3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在且唯一确定，求BC边上中线AD的长．条件①：cosB=−条件②：a=条件③：b=5．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.在▵ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，AD是∠BAC的角平分线．(1)证明：BDDC(2)已知AB=23，AC=33，AB⋅AC21.设n是给定的正整数，a=(x1,x2,⋯,xn)，b=(y1,条件①：对于集合S中任意一个元素α，都有α⋅α为奇数；条件②：对于集合S中任意两个不同元素α1，α2，都有(1)判断集合A={(1,0,0),(0,1,0)}和B={(0,0,1),(1,1,1)}是否具有性质P；(2)若n=4，且集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值；(3)若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．

参考答案1.D

2.A

3.D

4.B

5.B

6.C

7.D

8.A

9.A

10.B

11.51312.π4或3π13.2+i

；

；

；

；

；；14.415.①②④

16.解：(1)因为OA=(1,−2)，OB=(4,m)，所以因为|2OA−OB整理得m2+8m+12=0，解得m=−2或(2)法一：因为A，B，C三点共线，所以AB//因为AB=OB−所以32(m+2)=9，所以法二：因为A，B，C三点共线，所以存在实数t，使得OC=t即52所以4−3t=52−2t+m−mt=1

17.解：(1)因为▵ABC周长为18，AB=7．所以AC+BC=11，即AC=11−BC．由余弦定理可得cosA=所以−17=72(2)因为cosA=−1所以sin由(1)可知AC=11−BC=3所以S▵ABC

18.解：(1)BEAF=(2)设BP=λBD，则AP=a2所以AF===4−λ当λ=1时，取得最小值为3．

19.解：(1)方法一：由正弦定理asinA=代入bcosC+ccos即sin(B+C)=2由A+B+C=π，sin(B+C)=sinA因为sinA≠0，所以cosA=12，又方法二：因为bcos由余弦定理得b⋅a化简得b2+c又A∈0,π，所以A=(2)选条件①：cosB=−23，c=3因为cosB=−23<0，所以则sin=sin三角形内角正弦值必为正，故▵ABC不存在．选条件②：a=19，c=3，由余弦定理a2=b即19=b2+9−3b，整理得b2−3b−10=0，解得b=5故b=5，三角形唯一确定．因为AD为BC边上中线，由向量关系得AD=两边平方得|AD代入|AB|=c=3，|AC得|AD|2选择条件③：b=5，c=3，A=πAD为BC边上中线，所以AD=|AD代入|AB|=3，|AC得|AD|2

20.解：(1)在▵ABD中，BDsin∠BAD=在▵ACD中，DCsin∠DAC=因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠DAC，sin∠BAD=因为sin∠ADB=所以BDc=DC

(2)因为AB=23，AC=3所以cos∠BAC=AB⋅所以∠BAC=π3，所以因为CM=tCA+(1−t)CB，所以当DM⊥AB时，|DM

在▵ABC中，a2由a>0解得a=由(1)得BDDC=c在▵ABC中，cosB=所以sinB=在Rt▵ABM中，DM=BDsin所以|DM|的最小值为

21.解：(1)集合A具有性质P，集合B不具有性质P．(2)集合S中的每个元素含奇数个1，所有含有奇数个1的元素共有8个，将所有含有奇数个1的元素分成如下4组：E1={(1,0,0,0),(1,0,1,1)}，E3={(0,0,1,0),(1,1,1,0)}一方面若集合S中有5个元素，由抽屉原理S中至少有两个元素来自Ei因为每个集合Ei(i=1,2,3,4)中的元素不能同属于集合所以集合中元素个数不超过4；另一方面，S={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}，具有性质P；所以集合S中元素个数最大值是4．(3)设集合S中元素个数为m，一方面m≤n，若m≥n+1，记S={α对于任意一数组(t1,t2可生成一个n维向量t1记t1其中xi∈{0,1}，上式左边的数组(t1,t2,⋯,t由抽屉