河南名校联盟2025-2026学年高一下学期期中数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南名校联盟2025-2026学年高一下学期期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2−i1+i=(

A.32−12i B.322.已知向量a=1,−3，则与a同方向的单位向量的坐标为(

A.−1,3 B.32,−13.已知平面α和两条不同的直线m、n，则下列说法正确的是(

)A.若m上有无数个点不在α内，则m//α

B.若m//α，则m与α内的任意一条直线都没有公共点

C.若m//α，则m平行于α内的任意一条直线

D.若m//n，且m//α，则n//α4.设复数z=2cosα+4isinα，则“α=π6”是“z>2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知▵ABC的三个顶点分别为A0,0，B2,1，C1,3，则▵ABC是(

)A.A=90∘的直角三角形 B.B=90∘的直角三角形

C.6.在▵ABC中，AN=13AC，CM=−34BC，BN交AM于点PA.λ=13，μ=−12 B.λ=13，μ=12

C.7.若直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点均在半径为2的球O的球面上，且BC=3A.2 B.3 C.4 D.58.在▵ABC中，BC=23，2AB−AC⋅BC=0，且▵ABC的面积为A.3 B.27 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.若a,b为非零向量且a//b，则a⋅b=±a⋅b

B.若a//10.下列关于复数z1，z2的说法正确的是(

)．A.若z12∈R，则z1为实数或纯虚数 B.若z1+z2=z111.在四棱锥A−A1B1C1D1中，AA1⊥底面A1B1CA.当θ增大时，四棱锥A−A1B1C1D1的体积逐渐增大

B.若sinθ=14，则三棱锥D1−AA1C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为

．13.已知某圆锥的底面半径为1，体积为33π，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为___

14.如图，等边三角形ABC是由三个全等的三角形(▵ACD,▵CBF,▵BAE)与中间一个小等边三角形DEF拼成的，且▵ABC的面积是▵DEF的面积的19倍，设AD=mAB+nAC，则m−n=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=2m+1+4m−1(1)求实数m的取值范围；(2)已知O为坐标原点，若m为整数，且z，z2在复平面内对应的点分别为A，B，求向量OA在向量OB上的投影向量的坐标．16.(本小题15分)已知e1，e2为不共线的单位向量，a=λ(1)若λ=2且a⊥b，求e1(2)若e1，e2的夹角为60∘，且a17.(本小题15分)某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成(如图所示).已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m.(取π的近似值为3)(1)求该灯塔主体结构的体积；(2)已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元(不包括底面).人工施工费为总物料费用的20%.若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？18.(本小题17分)在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB(1)求A．(2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D，AD=2．(ⅰ)若sinB=2sinC(ⅱ)求▵ABC周长的最小值．19.(本小题17分)如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．

(1)若cos∠OPQ=14，向量PO+2PQ(2)若过△OPQ的重心G的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且PM=λPQ，PN=μPO，且(3)设PQ=x(x>0且为常数)，若PO+mPQm∈R的最小值为3参考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.D

9.ACD

10.AD

11.BCD

12.213.π

14.21915.解：(1)复数z=2m+1+4m−1i在复平面内对应的点为可得2m+1>04m−1<0，解得−所以实数m的取值范围为−1(2)由(1)可知，当m为整数时，m=0，则z=1−i，z2所以A1,−1,B0,−2则向量OA在向量OB上的投影向量为OA⋅

16.解：(1)a⊥b

则则2e1则4−5e1则e1则1×1×cose1(2)a−(λ−1)2(λ−1)2(λ−1)2(λ−1)2(λ−1)2解得：λ当λ1=2时，a=2当λ2=−1时a=−∴λ=2,

或λ=−1．

17.解：(1)设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h1，圆锥的母线长为l，圆锥的高为h则r=3,h1=5,l=5所以圆柱的体积为V1圆锥的体积为V2所以该灯塔主体结构的体积为V=V(2)由(1)得：主体结构材料费为y1=1000V=1000×171=171000(元又外部的表面积为S=2πrh所以外部装饰涂料费为y2=200S=200×135=27000(元所以总物料费为：171000+27000=198000(元)，所以人工施工费为198000×20%=39600(元)，所以总的费用为：198000+39600=237600(元)，即总的费用为：23.76万元<40万元，所以景区预算够用．

18.解：(1)因为sinBsinA+sinC所以cosA=b2+c(2)(ⅰ)因为sinB=2sinC因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π因为S▵ABC所以12将AD=2,b=2c代入上式得c2=3c，解得c=3，由余弦定理得a2=b(ⅱ)由S▵ABC得12将AD=2代入上式得34bc=3则b+c=2b+c当且仅当b=c时，等号成立，则b+c的最小值为8；由余弦定理得a2=b令t=b+c，则a2因为t≥8，当t=8时，a2的最小值为8−1则a的最小值为4所以▵ABC周长的最小值为a+b+c=4

19.解：(1)因为向量PO+2PQ与所以PO+2则aPO而cos∠OPQ=14，OP=OQ=2即4a+2a−1×2×1×1(2)连接PG交OQ