小学数学四年级下册奥数第18讲：盈亏问题教案

小学数学四年级下册奥数第18讲：盈亏问题教案

一、教学目标

本教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段“数量关系”主题的核心素养要求，立足小学四年级学生由具体形象思维向初步抽象逻辑思维过渡的认知特征，以“三会”为统领，系统构建盈亏问题的知识体系与思想方法。在知识与技能维度，学生能够精准辨识“盈”“亏”在具体情境中的数学含义，深刻理解“总差额”与“每份差额”的逻辑关系，完整掌握“一盈一亏”“双盈”“双亏”三种基本类型的模型特征与算术解法，能够熟练运用（盈+亏）÷两次分配差=份数、（大盈-小盈）÷两次分配差=份数、（大亏-小亏）÷两次分配差=份数三组核心公式解决常规问题，并初步尝试运用方程思想进行顺向思考。在过程与方法维度，学生通过动手操作学具模拟分配过程，经历“实物操作—图画表征—符号运算—模型抽象”的完整认知进阶；通过对比三类问题的异同，发展分类思想与归纳推理能力；通过对复杂情境进行条件转化，体会“变中抓不变”的数学策略，渗透数形结合、模型意识、化归思想等核心数学观念。在情感态度与价值观维度，借助源于校园生活的“分物”“记账”“测量”等真实问题，使学生感受数学作为刻画现实世界工具的强大力量；在具有挑战性的奥数问题解决中，锻炼抗挫折能力与理性精神；通过介绍《九章算术》“盈不足术”的古代数学成就，增强民族自豪感与文化自信，初步形成严谨求证、开放交流的科学态度。

二、教学重点与难点

教学重点聚焦于盈亏问题数学模型的核心建构。其本质在于引导学生发现：无论分配标准如何变化，被分配的总物品数与参与分配的对象数始终保持不变，而两次分配结果的差异（总差额）正是由于每次分配数量差异（每份差额）累积所致。因此，“份数=总差额÷每份差额”是本讲所有变式的“根模型”。重点落实策略包括：其一，实物操作奠基，让每位学生经历“分糖果”时从盈到亏的动态变化，直观感受总差额的形成过程；其二，双色线段图对比，在数轴上同时呈现两次分配的数量关系，使“总差额”可视化；其三，公式溯源教学，不直接告知公式，而是引导学生从具体算式中抽象出结构关系，经历再创造的过程。

教学难点体现在两个层面。第一层是情境干扰下的模型识别：当问题情境从“分糖果”迁移至“测井深”“乘车船”等非均匀分配情境时，学生难以将“折数”“车次”对应为“份数”，造成“谁除以谁”的方向性错误。第二层是条件残缺时的转化建模：当题目并非直接给出两次分配的盈亏数据，而是需要借助假设法统一分配标准，或将隐含条件（如“正好分完”视为盈为0或亏为0）进行补白时，学生的认知负荷显著增加。难点突破采用“三步阶梯法”：第一步，原型强化，将标准题型练至自动化；第二步，情境迁移，在同结构不同情境中剥离无关信息；第三步，条件手术，设计“添一条件可解”与“换一条件变型”的对比练习，引导学生在补全、调整条件的过程中理解模型成立的前提，从而在认知结构中为模型附上“适用条件”的元认知标签。

三、教学准备与课时规划

教师教学准备包括：开发交互式课件一份，内含三段动画——分物过程逐帧播放功能、线段图分步构建功能、井深测量三维模拟功能；定制磁性学具箱八套，每套含卡通人物磁贴20枚、圆形糖果磁贴30枚，便于学生在黑板磁力区进行公开操作演示；编制本讲专属学历案，特别设计“画图区”与“反思区”，预留公式推导空白行；录制微课《盈不足术的前世今生》供学有余力者课后拓展。学生学具准备：每人备16开白纸三张、直尺、红蓝双色水彩笔、草稿本。本讲共计2课时，每课时40分钟。第一课时为“模型建构课”，核心任务是从生活原型抽象出三类数学模型并实现自动化应用；第二课时为“思维拓展课”，核心任务是运用转化思想解决结构不良的复杂盈亏问题，并实现算术思维与代数思维的初步联结。

四、教学过程

第一课时模型建构：从指尖到心间的数学化之旅

（一）具身操作，激活生活经验

上课伊始，教师以“班级荣誉表彰”为任务驱动，出示真实问题：班主任李老师用班费购买了一批文创书签，要奖励给本周的阅读之星。如果每人奖励5枚，会多出3枚；如果每人奖励6枚，则还差2枚。你知道有多少位阅读之星？李老师共买了多少枚书签吗？教师并不要求学生立即列式，而是请学生在小组内用磁力学具进行模拟分物。组长领取学具袋，将磁力贴片排列成行，一行代表人，一行代表书签。第一次每人分5枚，学生将书签磁贴逐个推至人名下方，发现剩下3枚孤零零无处可去；第二次每人分6枚，学生发现书签不够，缺2枚。教师相机在黑板大磁力板同步演示，并用红色粉笔圈出“多出的3枚”，用蓝色粉笔虚线框出“缺少的2枚”。随即追问核心问题：为什么两次分配，书签总数没变，人数也没变，结果却从“多3”变成了“少2”？学生通过直观对比迅速发现：因为每人多分了1枚，不仅要把多出的3枚分完，还要再补2枚才够。教师顺势抽象：“每人多分1枚”就是两次分配的差额，“多3”与“少2”合起来就是两次分配结果的总差额，总差额5枚对应每人差额1枚，人数就是5÷1=5人。板书核心等量关系：总差额÷每人分配差=人数。随后追问书签总数：5×5+3=28枚或5×6-2=28枚。此环节通过全员参与的实物操作，将内隐的数量关系转化为外显的动作序列，使“为什么用除法”“谁除以谁”不再依赖机械记忆，而是建立在对物理过程深刻感知的基础之上。

（二）数形互译，固化模型表征

为使学生脱离对实物操作的依赖，实现思维抽象水平的提升，教师引入双色线段图作为过渡性工具。以例1为例，教师带领学生在学历案的画图区逐步构图：先画一条线段表示总人数，在线段上方标出“每人5枚”，并在线段末端向右延伸出一段红色虚线段表示“盈3”；接着在线段下方平行位置画等长线段，仍表示相同人数，在线段末端向内收缩一段，并用蓝色虚线段表示“亏2”。学生清晰看到，上下两条线段在“总书签数”这个维度上是不等长的，但通过平移对比，他们发现要使上下等长，要么从上面去掉3，要么给下面补上2，而补或去的差值正是总差额。教师并不止步于画图解题，而是引导学生用文字语言描述线段图所揭示的关系：“上面线段比下面线段多3+2=5个单位，这5个单位是因为上面每人比下面每人少分1枚吗？”学生经辨析纠正：恰恰相反，是下面每人比上面每人多分1枚，才导致需要额外“追回”5枚。这一辨析环节至关重要，它帮助学生厘清了“分配差”的方向与“总差额”的正负关系。随后教师出示两组变式题组，要求学生不计算，仅画图表示“双盈”与“双亏”的线段特征。学生在画双盈时自然将两条线段均向右延伸，发现大盈的延伸更长，总差额即两段红色虚线的长度差；画双亏时两条线段均向左收缩，总差额即两段蓝色虚线的长度差。至此，三类模型的线段图示与数量关系实现一一对应，学生能够指着图流畅说出“份数=总差额÷每份差”的统一模型。

（三）变式冲击，完善认知结构

学生初步掌握一盈一亏模型后，教师呈现两道结构迥异但内核相通的例题。例2：美术兴趣小组分发彩纸，如果每人发3张，还剩8张；如果每人发5张，还剩4张。小组有多少人？彩纸共多少张？部分学生惯性列出（8+4）÷（5-3），得到6人。教师并不直接否定，而是请该生上台展示自己的线段图。该生画出两条均向右延伸的线段，发现总差额不应该是两段红线的和，而应是较长红色线段减去较短红色线段的差。通过全班辨析，学生自主修正为（8-4）÷（5-3）。例3：如果每人发3张，还少8张；如果每人发5张，还少2张。学生独立尝试后，绝大部分能准确列出（8-2）÷（5-3）。教师在此处设置关键追问：“为什么双盈和双亏都是大减小，而一盈一亏却是相加？”学生通过回顾操作经验解释：双盈时，两次都有剩余，把第一次多出的拿走一些补给第二次，拿走的就是差额；双亏时，两次都不够，把第一次少要一些补给第二次，少的差额就是两次不足之差。只有一盈一亏时，需要把盈的全部补进去，还差一些，所以要相加。此环节通过“错误—辨析—修正—提炼”的完整思维链条，使三类模型不再是孤立的三个公式，而是基于统一逻辑的三种特殊情况，学生的认知结构从点状并列升格为有层次的结构网络。

（四）巩固内化，实现技能自动化

本环节设置三组梯度练习。练习一为基本模型辨识题，共6道小题，涵盖三种类型及“正好分完”（盈为0或亏为0）的边缘情形，要求学生快速判断类型并口答算式。练习二为对比计算题，将双盈、双亏、一盈一亏编组呈现，学生在计算中进一步强化“总差额”的提取准确性。练习三为图示应用题，提供一段文字：“用一根绳子测量桥高，将绳子4折后垂到水面，桥外余6米；将绳子6折后垂到水面，桥外余2米。”此题为典型的“双盈”在测量问题中的迁移，部分学生因不理解“折”的含义而将绳子总长与桥高混淆。教师不急不躁，请理解的学生用教具绸带现场演示“四折”和“六折”的实际长度关系，将“桥外余”画成线段图，学生恍然大悟：四折时每段是绳长的1/4，六折时每段是绳长的1/6，每份差额就是（1/4-1/6）的绳长，但此分数运算超出四上范围。教师顺势引导学生用设未知数的方法将绳长设为x米，从而列出方程1/4x-1/6x=6-2，解得x=48，桥高为1/4×48-6=6米。此环节不仅是知识的巩固，更埋下了方程思想的伏笔，为第二课时的代数衔接蓄力。

第二课时思维拓展：在混沌中洞见秩序

（一）认知冲突，催生转化需求

课始教师出示一道“缺条件”问题：同学们去划船，如果每条船坐4人，则多出1条船；如果每条船坐6人，则有一条船空出2个座位。求同学人数与船数。此题与标准盈亏问题的表述结构存在明显差异：第一次“多出1条船”并非直接多出几个人，而是船数有剩余；第二次“空出2个座位”也非直接少几人。学生初次面对这种“船”与“人”的对应错位，普遍陷入困境。教师组织小组讨论，鼓励学生将“多1条船”翻译为“若坐满则可多坐4人”，即盈4；“空2个座位”翻译为“还能再坐2人”即亏2？此处辨析尤为重要。通过模拟坐船情境，学生明确：“空2个座位”意味着还有2个空位没人坐，也就是如果坐满还差2人，因此是亏2。问题成功转化为标准的“一盈一亏”，迎刃而解。此环节深刻揭示了转化思想的价值：当数学问题的表述与标准模型“穿衣不同”时，我们需要拨开情境的迷雾，将非标准信息“翻译”为标准语言。

（二）假设重构，攻克非标分配

例4是典型的非均匀分配问题：少先队植树，如果每人挖5个坑，则还有3个坑没人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，则恰好将坑挖完。求人数与坑数。学生初次尝试套用公式失败，因为第二次分配并非统一标准。教师引导：“能否将第二次分配也转化为每人挖坑数相同的情况？假设这2人也挖6个坑，会比实际多挖几个坑？”学生很快算出：每人多挖2个，2人多挖4个。而实际恰好挖完，说明假设后总共会多出4个坑。此时第二次分配转化为“每人挖6个坑，多4个坑”，与第一次“每人挖5个坑，少3个坑”构成一盈一亏，问题得解。教师进一步追问：“为什么我们可以做这样的假设？假设的本质是什么？”学生归纳：假设是在保持总量不变的前提下，将不统一的条件进行“补差”或“去余”，使其符合标准模型的表达格式。此环节是转化思想的高阶应用，学生不仅学会了技巧，更领悟到数学建模的核心步骤——将非理想状态调整为理想状态，再考虑调整带来的差额变化。

（三）古今对照，体悟文化脉动

在学生充分掌握算术解法的基础上，教师引入《九章算术》第七章“盈不足术”原文：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”教师先请学生用现代算术解法求解，再介绍古代算法：“置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。”教师通过动画演示“维乘”即交叉相乘相加的过程，学生惊讶地发现，古人的算法实质上就是在求（8×4+7×3）÷（8-7）？通过对比，学生发现古代算法与当代算术法在数学本质上完全一致，但古人以筹算为工具发展出这套程序化算法，早于西方近千年。民族自豪感油然而生。教师乘势引入方程思想：设人数为x，根据物价不变列方程8x-3=7x+4，解得x=7。教师引导学生对比算术法与方程法的思维路径：算术法是从已知向未知逆向推导，方程法是将未知视为已知正向建立等量关系。通过对比，学生体会到方程法的顺向思维更接近自然语言描述，且无需记忆三种变式公式，是更具普适性的通法。

（四）项目实践，跨界素养融合

本环节设计综合实践任务“校园义卖财务官”。四年级计划举办图书义卖，各中队需向大队部申请启动资金。已知条件：如果每个中队借给同样多的本金，则总资金多出240元；如果每个中队借给比原来多30元的本金，则总资金还差120元。学生需完成以下跨学科任务：1.运用盈亏模型计算共有多少个中队参与、大队部共准备了多少钱的启动资金；2.以小组为单位，为中队设计一份采购方案，用这笔本金购买单价15元/本的图书，要求将所有本金花完且每种书购买数量为整数，并考虑适合四年级阅读的书目类型；3.撰写一份简洁的义卖策划书，包含资金分配理由及预期收益。学生在任务中不仅巩固了盈亏模型的解题技能，更经历了决策优化、成本核算、语篇表达的综合实践。汇报环节，各组采购方案各异，有的侧重经典名著复本量多，有的侧重种类丰富。教师不设标准答案，而是引导学生反思：数学计算的确定性与现实决策的开放性如何协调？从而深化对数学工具价值的理解。

（五）系统梳理，建构认知地图

全课收束阶段，教师引导学生以思维导图的形式在头脑中构建“盈亏问题认知树”。主干是核心公式“份数=总差额÷每份差额”，三大分支分别是“一盈一亏”“双盈”“双亏”的标准化模型。分支上挂接转化策略：情境翻译法、假设统一法、方程通法。树根处写下“变中抓不变”的思想精髓，树冠处留下空白，供学生在后续学习中补充“浓度问题”“工程问题”中等价模型。教师总结：数学不是公式的集装箱，而是思维的手术台。当我们面对陌生问题时，不妨问自己三个问题——什么是不变的？什么是变的？变与不变如何建立联系？这三问将伴随你们整个数学学习生涯。

五、作业与评价系统

基础巩固型作业：完成教材练习十八第4-8题，要求在每题旁用红笔圈出“盈”“亏”数据，并注明所属类型。能力拓展型作业：搜集一道生活中蕴含盈亏思想的实际问题，可以是购物找零、乘车找座、生产计划等，制作成数学小报，并附线段图解。研究型作业：查阅资料，了解“牛顿问题”即牛吃草问题，比较它与盈亏问题的异同，尝试撰写百字数学小论文。评价体系采用积分制：课堂发言积1星，板演正确积2星，学案画图规范积1星，项目方案被采纳积5星，集满20星可兑换“数学模型建构师”荣誉证书。教师特别关注学