苏教版小学二年级数学下册第一单元第二课时：除法算式中的“余数”奥秘探究教案

苏教版小学二年级数学下册第一单元第二课时：除法算式中的“余数”奥秘探究教案

  一、教材内容与学情深度剖析

  本节课的教学内容隶属于“数与代数”领域中的“数的运算”部分，具体聚焦于整数除法运算中“有余数除法”的初步认识。在苏教版教材的编排体系中，学生已于此前掌握了表内乘除法，具备了将一些物体进行平均分的操作经验和数学表达（用无余数的除法算式表示）能力。本节课的核心在于引导学生从“恰好分完”的除法认知，跨越到“分后有剩余”的数学现实，从而建构“余数”概念，并掌握有余数除法的横式写法与读法，理解余数小于除数的道理。这是学生从整除思维迈向更为一般、更为完整的除法概念的关键一步，也是后续学习多位数除法、除法竖式计算以及解决复杂实际问题的重要基石。

  从学情角度分析，二年级下学期的学生思维正处于具体运算阶段向初步逻辑思维过渡的时期。他们的认知活动仍需要具体、形象的操作和感知作为强有力的支撑。对于“分后有剩余”这一生活现象，学生具备丰富的前置经验（如分糖果、分小组等），但如何将这种生活经验进行数学化的抽象、概括与表达，即用规范的数学语言和算式来表征，是他们面临的主要挑战。同时，学生对“为什么剩下的不能再分了？”以及“剩下的数有没有什么规律？”等问题怀有天然的好奇心，这是驱动探究性学习的宝贵动力。因此，教学设计必须充分激活学生的生活经验，设计层次分明、指向明确的数学活动，引导学生在“分一分、摆一摆、写一写、比一比”的系列化操作与思辨中，自主发现并建构新知，实现从感性认识到理性抽象的飞跃。

  本设计将立足于数学核心素养的培育，着重发展学生的数感、运算能力和模型意识。通过创设真实、连贯的问题情境，让学生经历“发现问题—动手操作—抽象算式—观察比较—归纳规律”的完整数学探究过程，深刻体会余数产生的必然性及其在除法算式中的意义与规范表达，理解余数与除数之间的本质联系。

  二、学习目标与重难点精确界定

  基于以上分析，设定以下多维度的学习目标：

  1.知识与技能目标：在具体情境中，通过平均分物的操作活动，理解余数产生的意义。学会用有余数的除法算式表示平均分后有剩余的情况，掌握算式的规范写法和读法。通过观察、比较和操作，发现并理解“余数必须比除数小”的规律。

  2.过程与方法目标：经历从平均分物活动中抽象出有余数除法算式的过程，体会数学抽象和模型建立的思维方法。在动手操作、合作交流中，提高观察、比较、归纳和初步的逻辑推理能力。

  3.情感态度与价值观目标：在探索有余数除法奥秘的过程中，感受数学与日常生活的紧密联系，体验探究的乐趣和成功的喜悦。养成认真操作、仔细观察、合作交流的良好学习习惯。

  教学重点确定为：理解余数的含义，掌握有余数除法的横式表示方法。

  教学难点确定为：理解“余数必须比除数小”的道理，并能通过操作和思考解释这一规律。

  三、教学准备与资源创新整合

  为实现沉浸式、探究式学习，需精心准备以下资源：

  1.教师准备：

  （1）多媒体课件：包含情境动画（如草莓采摘、分组游戏）、动态演示分物过程（突出“每几个一份”和“剩余”部分）、交互式练习题、思维导图式课堂小结框架。

  （2）实物教具：磁性小圆片或小正方形（便于黑板演示）、一套标有数字的卡片（用于算式组合游戏）。

  （3）结构化学习单：设计“操作记录表”，包含“我分的是什么？（总数）”“我是怎么分的？（每份几个）”“分的结果（分了几份，剩几个）”“我的算式”等栏目，引导操作与记录同步。

  2.学生准备：

  （1）每小组一套学具：小棒（不少于20根）、棋子或扣子等便于计数的物品。

  （2）个人学习单、铅笔、尺子。

  3.环境与心理准备：布置合作学习小组（4-6人异质分组），创设鼓励猜想、敢于试错、乐于分享的课堂氛围。

  四、教学实施过程详案

  （一）创设情境，孕伏问题——从“恰好分完”到“分后有剩”

    师：同学们，欢迎来到我们的“数学探索营”。上节课，我们化身公平小使者，学会了把一些物品平均分，并且能用除法算式清晰地记录下来。看，营地里的小朋友们正在分享草莓呢。（课件出示：盘子里有6颗草莓，平均分给2个小朋友）你能用除法算式表示这个分的过程和结果吗？

    生：6÷2=3（颗）。

    师：算式表示什么意思？

    生：表示把6颗草莓平均分给2个小朋友，每人分得3颗。

    师：分得真是清清楚楚，公平公正！数学就是这样帮助我们清晰表达世界的。现在，挑战升级！（课件动态变化：盘子里的草莓变成7颗，还是分给2个小朋友）瞧，草莓变成了7颗，如果还是平均分给这2个小朋友，每人先分3颗（课件演示分走6颗），嗯？发生了什么情况？

    生：草莓还剩1颗！

    师：没错，这颗草莓“剩下”了。在平均分的时候，有时候能刚好分完，有时候却会像这样“剩下”一些。这剩下的部分，在我们的数学王国里，给它起了一个专门的名字，它就叫——“余数”。今天，我们就一起来揭开“余数”的神秘面纱，探究除法算式中这个新朋友的奥秘。（板书课题：除法算式中的“余数”奥秘探究）

    设计意图：从学生已掌握的无余数除法入手，通过数量的细微变化（6颗→7颗），制造认知冲突，自然引出“分后有剩余”的现象。以“给剩下的部分起名字”的方式赋予新知趣味性和期待感，明确本课学习主题。

  （二）操作探究，建构概念——亲历“余数”的产生与表达

    活动一：分一分，体验“余数”的产生。

    师：光是看草莓不过瘾，让我们亲手来分一分。请各小组拿出你们的小棒。我们的第一个任务是：把10根小棒，每2根一份地分一分。分之前，先想一想，结果会怎样？分完后，在学习单上记录下你是怎么分的，结果是什么。

    （学生以小组为单位进行操作。教师巡视，关注学生是否进行“每2根一份”的规范操作及记录情况。）

    师：谁来分享一下你们组是怎么分的？结果如何？

    生：我们把10根小棒，每2根圈在一起，正好圈了5份，全部分完了，没有剩余。

    师：能用除法算式表示吗？

    生：10÷2=5（份）。

    师：很好，这是我们已经掌握的“平均分正好分完”的情况。现在，任务升级：还是这10根小棒，换成每3根一份地分一分。动手试试看，结果又会怎样？别忘了在学习单上做好记录。

    （学生再次操作。很快，学生会发现分成了3份，但还剩下1根。）

    师：大家分得真投入！我发现很多同学都停下来了，脸上带着思考的表情。谁能说说这次分的结果和刚才有什么不同？

    生：刚才每2根一份，正好分完。现在每3根一份，分了3份，但还剩下1根小棒，这1根不够再分一份了。

    师：“不够再分一份了”，说得非常关键！这剩下的、不够再分一份的1根小棒，就是我们今天认识的新朋友——“余数”。在数学上，我们把这种平均分后还有剩余，并且剩余的部分不够再分的情况，称为“有余数的除法”。

    活动二：写一写，学习“有余数除法”的算式。

    师：这么重要的分物过程和结果，我们当然要请除法算式来帮忙记录下来。可是，算式里怎么表示这个“余数”呢？数学家们想出了一个好办法。看老师怎么写。（在黑板或课件上规范板书：10÷3=3（份）……1（根））

    师：这个算式读作：10除以3等于3份余1根。这个像六个小圆点一样的符号叫“省略号”，在算式里它有一个特别的名字，叫“余号”。写的时候要注意，余号前后各有一个空格，写在中间的位置。余号后面的“1”表示分完后剩下的根数，也就是“余数”。请大家伸出手指，跟老师一起书空这个算式，注意余号的写法和位置。

    （学生书空练习。）

    师：现在，请大家在自己学习单的“我的算式”一栏，规范地写下这个算式，并读给同桌听一听。

    （学生书写、互读，教师巡视指导书写格式。）

    师：谁能结合刚才分小棒的过程，完整地说一说这个算式表示什么意思？

    生：这个算式表示把10根小棒，每3根一份地分，可以分成3份，还剩下1根。

    师：说得真完整！算式就像一个数学故事，清楚地告诉了我们分什么、怎么分、结果怎样。现在，请大家再尝试一个任务：用13根小棒，每4根一份地分一分，并把分的过程和结果用一个除法算式记录下来。

    （学生独立操作、记录。完成后指名汇报：13÷4=3（份）……1（根）。教师强调算式的读法和含义。）

    设计意图：本环节是概念建构的核心。通过两个对比性的操作活动（每2根分与每3根分），让学生在强烈的对比中感受“余数”产生的具体情境。教师不是直接告知余数概念和算式写法，而是引导学生从操作结果中发现问题（“剩下”、“不够再分”），进而自然引出“余数”的命名和有余数除法的算式表达。规范的板书、书空和书写练习，确保学生掌握正确的数学表达格式。从“10÷3”到“13÷4”的迁移练习，巩固了刚建立的概念和书写技能。

  （三）深入探究，发现规律——揭秘“余数”与“除数”的关系

    活动三：摆一摆，探寻余数的秘密。

    师：同学们已经学会了用有余数的除法算式来记录分物结果，真是了不起的发现者！不过，数学探索永无止境。让我们当一回小小数学家，来做一个更有挑战性的研究。请听研究任务：用小棒分别摆出独立的正方形，想一想，摆一个正方形需要几根小棒？

    生：4根。

    师：是的。现在，我们研究的问题是：分别用8根、9根、10根、11根、12根、13根、14根、15根小棒来摆独立的正方形，各能摆几个？最后会剩余几根小棒？请小组合作，一边摆，一边把结果记录在学习单的表格里。（课件或学习单出示记录表，表头为：小棒总数、摆的结果（摆几个，剩几根）、除法算式。）

    （小组合作，动手操作并记录。教师巡视，指导学生有序操作和记录，并收集有代表性的记录结果。）

    活动四：比一比，归纳“余数比除数小”。

    师：哪个小组愿意来分享你们的研究成果？（教师选择一组，将他们的记录表投影或在黑板上有序板书出所有算式：8÷4=2（个）；9÷4=2（个）……1（根）；10÷4=2（个）……2（根）；11÷4=2（个）……3（根）；12÷4=3（个）；13÷4=3（个）……1（根）；14÷4=3（个）……2（根）；15÷4=3（个）……3（根）。）

    师：请大家静静地、纵向地观察这一列算式，特别是那些有余数的算式。看看余数部分，你有什么惊人的发现？先独立思考，再和同桌小声交流你的发现。

    （学生观察、思考、交流。）

    师：谁来说说你的“伟大发现”？

    生1：我发现余数有时候是1，有时候是2，有时候是3。

    生2：我发现余数都是1、2、3，没有4、5、6……

    师：眼光很锐利！为什么余数只能是1、2、3，而不能是4或者更大呢？谁能联系摆小棒的过程来解释一下？

    生：因为我们在摆正方形，4根小棒就能摆一个。如果剩下4根或更多，比如剩下4根，那就正好可以再摆一个正方形了，就不能叫“余数”了。

    师：哇，解释得太精彩了！掌声送给他！也就是说，在有余数的除法里，剩下的数量如果还够再分一份（也就是大于或等于除数），我们就会继续分下去，直到剩下的部分比一份的数量少，不够再分为止。所以，余数永远要比除数——

    生（齐）：小！

    师：（板书规律：余数<除数）这就是有余数除法中一个非常重要的规律。我们一起来读一读：余数比除数小。

    师：那如果除数是5，余数可能是哪些数呢？

    生：可能是1、2、3、4。

    师：除数是8呢？

    生：余数可能是1、2、3、4、5、6、7。

    师：真棒！看来你们真正理解了这个规律。它可以帮助我们检查有余数的除法算式是否合理。

    设计意图：此环节是本节课思维攀登的顶峰。通过“摆正方形”这一操作性强、规律性明显的探究活动，让学生在一系列有结构的操作和数据记录中，亲身经历“余数”变化的序列。引导学生纵向观察一组算式，自主发现余数的取值范围，并通过“为什么余数不能是4”的深度追问，促使学生将操作经验与数学原理（剩下的如果够一份就继续分）相结合，从而真正理解“余数比除数小”这一核心规律的必然性，而非机械记忆。从特殊（除数是4）到一般（除数是5、8）的举例推理，巩固了对规律的理解和应用。

  （四）分层练习，深化理解——实现知识向能力的转化

    练习设计遵循“基础巩固→变式辨析→综合应用→思维拓展”的梯度，满足不同层次学生的发展需求。

    1.基础巩固园地（面向全体，巩固概念与格式）

    （1）看图圈一圈，填一填。（课件出示：17个苹果，每5个装一盘。）

    圈一圈：学生在学习单或互动白板上圈出每5个一份。

    填一填：17个苹果，每（）个装一盘，装了（）盘，还剩（）个。

    算式：17÷（）=（）（盘）……（）（个）

    （2）用小棒摆一摆，再填算式。（如：23根小棒，每6根一份，可以分几份？还剩几根？）

    设计意图：借助直观图示和再次操作，强化平均分的过程与有余数除法算式的对应关系，确保全体学生掌握基本概念和书写格式。

    2.变式辨析擂台（提升判断与说理能力）

    （1）判断下面的说法对吗？并说明理由。

    ①在算式27÷6=4……3中，余数是6。（）

    理由聚焦：余数与除数的辨析。

    ②除数是7，余数可以是8。（）

    理由聚焦：对“余数比除数小”规律的应用。

    （2）下面的算式书写正确吗？请把错误的改正过来。

    ①19÷4=4……3

    ②33÷5=5……8（引导学生发现余数8比除数5大，说明计算或思考过程有误，可能是商小了。）

    设计意图：通过判断和改错，引导学生辨析概念细节，深化对“余数”含义及“余数小于除数”规律的理解，初步感受试商的过程。

    3.综合应用天地（解决简单实际问题，培养模型意识）

    （1）联系生活：有35颗纽扣，每件衣服需要钉4颗纽扣。这些纽扣最多能钉几件衣服？还剩几颗纽扣？

    （引导学生将生活问题转化为数学问题：35颗纽扣，每4颗一份，求份数和余数。理解“最多”的含义即求可以分的份数。）

    （2）周期现象初探（渗透跨学科思想）：老师把彩灯按照“红、黄、蓝、绿”的顺序挂起来。第15盏彩灯是什么颜色？

    （引导学生通过画图或列算式（15÷4=3……3）发现规律，余数3表示是这一组中的第3个颜色“蓝”。初步感受有余数除法在解决周期问题中的应用。）

    设计意图：将数学与生活、其他学科初步联系，让学生体会有余数除法的实用价值。实际问题需要学生理解题意，抽象出除法模型，并使用算式解决问题。周期问题则为学有余力的学生提供了思维拓展的空间，渗透函数思想和建模思想。

    4.思维拓展空间（挑战性任务，发展推理能力）

    □÷6=4……△

    在这个有余数的除法算式中，当△是（）时，□最大；当△是（）时，□最小。□最大是（），最小是（）。

    （引导学生根据“余数比除数小”，确定△可以是1、2、3、4、5。再根据“被除数=商×除数+余数”的逆推关系（不出现此术语，可通过具体例子引导发现），计算最大和最小值。）

    设计意图：此题综合考查学生对除法算式各部分关系及“余数小于除数”规律的灵活运用，需要逆向思考和推理，为后续学习奠定基础，满足学优生的发展需求。

  （五）课堂总结，反思升华——构建知识网络与元认知

    师：快乐的数学探索之旅即将结束，让我们一起来回味一下今天的收获。这节课，我们认识了除法家族的一位新成员，它是——

    生：余数！

    师：我们是在什么情况下认识它的？

    生：在平均分东西，分不完、有剩余的时候。

    师：怎样用算式来表示这种有剩余的平均分呢？

    生：用有余数的除法算式。比如：10÷3=3……1。

    师：在写这样的算式时，要特别注意什么？

    生：要写余号“……”，余号后面写上余数。

    师：我们还发现了一个关于余数的非常重要的秘密，它是——

    生（齐）：余数比除数小！

    师：为什么余数一定要比除数小呢？谁能再用自己的话解释一下？

    生：因为如果余下的和一份一样多或者更多，就还能再分一份，那就不是余数了。

    师：解释得真清楚！看来你们不仅知道了是什么，还明白了为什么。这就是真正的数学理解。最后，请大家想一想，在生活中，你在哪里遇到过需要用有余数除法来解决的问题？课后可以和家人、朋友分享一下你的发现。

    （教师利用课件，以思维导图的形式动态回顾本课核心知识点：中心为“有余数的除法”，分支包括“产生情境（平均分有剩余）”、“算式写法（被除数÷除数=商……余数）”、“重要规律（余数<除数）”、“简单应用”。）

    设计意图：总结并非简单罗列知识点，而是通过师生对话，引导学生自主回顾学习历程，梳理核心概念、方法和规律。追问“为什么”，促进学生对原理的深度理解。联系生活实际，将数学学习从课内延伸到课外。思维导图式的总结，有助于学生形成结构化的知识网络。

  五、作业设计与评价建议

  1.基础性作业（必做）：

  （1）完成课本第X页“想想做做”第1、2、3题。

  （2）家庭小实践：家里有一些花生（或豆子），抓一把（比如20颗左右），和家人玩“平均分”的游戏。例如：“把花生每5颗分给一个人，可以分给几个人？还剩几颗？”记录下至少两种不同分法（改变每份的数量）的过程和算式。

  2.拓展性作业（选做）：

  （1）思维挑战：有一堆糖果，总数在20到30颗之间。如果平均分给4个小朋友，会剩下2颗；如果平均分给6个小朋友，也会剩下2颗。猜一猜，这堆糖果可能有多少颗？

  （2）数学阅读或创编：找一找数学绘本或故事中关于“有余数除法”的内容，或者自己创编一个包含有余数除法情境的小故事。

  评价建议：本课评价应贯穿于教学全过程，采用多元评价方式。

  过程性评价：重点关注学生在操作活动中的参与度、合作交流的积极性、发现和提出问题的能力。通过课堂观察、学习单记录、口头表达等方式，评价学生对“余数”含义的理解深度和对“余数小于除数”规律的探究过程。

  终结性评价：通过分层练习的完成情况，评价学生对有余数除法算式读写、含义理解以及简单实际问题的解决能力。基础性作业确保基本目标达成，拓展性作业则为评价学生思维灵活性和深度提供依据。

  鼓励学生进行自我评价和同伴互评，例如在小组活动后，可以引导学生反思“我的操作是否规范？”“我是否清晰表达了我的想法？”“我从小伙伴那里学到了什么？”。

  六、教学反思与特色说明（预设）

  （本节为教师自我反思与提升所用，不直接呈现给学生，但体现了设计的深层思考。）

    本教学设