集合思想视域下模型建构课：小学四年级数学《重叠问题的代数表达》导学案

集合思想视域下模型建构课：小学四年级数学《重叠问题的代数表达》导学案

一、课程定位与核心素养锚点

【学段学科】小学四年级数学

【教材版本】北京版义务教育教科书四年级上册第十单元《数学百花园》

【课题性质】数学模型思想专题建构课

【课时安排】第1课时（总第2课时，本课时聚焦“单重重叠”模型建立）

【核心素养进阶目标】

1.【基础】能够在具体情境中识别“重叠”现象，准确找出“两类”和“既A又B”的对象，初步感知集合思想。

2.【非常重要：核心素养关键能力】通过多元表征（文字、图示、算式）的转化，经历从生活语言到图形语言再到符号语言的数学化过程，抽象出重叠问题的基本数量模型：两类之和减重叠部分等于实际总量。

2.【重要：跨学科衔接点】利用维恩图发展结构性思维，为后续学习分类与整理、公因数与公倍数以及科学学科中的概念归类奠定认知基础。

3.【热点：新课标理念落地】在解决真实问题的过程中，培养“四能”（发现、提出、分析、解决问题），感悟数学抽象与建模的简洁美。

二、【基础：学习者认知勘探报告】

【学情支点】学生并非零起点。【难点归因】障碍源于“形式运算”对“具体运算”的跨越。四年级学生正处于皮亚杰认知发展阶段论中从具体运算向形式运算过渡的关键期。他们能看懂维恩图，但很难独立将文字描述中的“重叠部分”精准地映射为图形中的交集区域，更难将这种图形关系自洽地翻译成减法的算式结构。【重要】本课设计的核心逻辑应是从“形”到“式”，即以维恩图为思维支架，通对图形的分割与合并，理解算理，而不是从抽象的算式去反套图形。

三、【高频考点：教材重难点解构与破局策略】

【教学重点】经历维恩图（集合圈）的形成过程，理解图中每一部分（左孤、交、右孤）的独立含义，掌握“求两个集合的并集”的基本方法：列联数，减重叠。

【教学难点】理解“为什么要减去重叠部分”。学生常见的错误思维是将重叠部分减一次后，认为“既A又B”的人被减没了，忽略了他们仍然属于总人数的一部分。

【破局策略：数形对应】本设计采用“双色片摆位法”与“分块着色法”。不把维恩图仅仅当作呈现结果的工具，而是把它当作思维发生的现场。将图形严格划分为三个互斥的区域（只有A、AB交集、只有B），强制要求学生在列式时必须对应图中的色块，从而在视觉和动作上建立“交集是被单独计数了一次，而非被删除”的正确心理表征。

四、【教学设计灵魂主线】

整节课以“数学门诊部——解决报名冲突”为大情境，以“如何发放入场券才能不多不少”为核心驱动任务，通过三次递进式的“诊断——会诊——开方”，完成从“误加”到“纠叠”再到“建模”的思维三级跳。

五、【教学实施全过程：深耕细作】

（一）【第一板块：认知冲突与“重复”的裸暴露】（约7分钟）

【教学现场】

师：（出示情境）学校要举行“校园吉尼斯”挑战赛。四年级（3）班报名的同学来了。体育委员说：“参加‘单手拍篮球’的有5人，参加‘巧算24点’的有4人。”班长一听，马上去总务处领了5+4=9张入场券。可是到了比赛现场，点完名，发现只来了7个同学，居然多出2张券！这是怎么回事？

【学生活动】独立思考，同桌交流。此环节不要求学生列式，只要求“破案”，找出真凶。

【预设生成】

生1：有人参加了两个项目，点了两次名，但人只有一个。

师：谁是这个“双重身份”的人？（利用电子白板，将重叠的学生姓名拖动并靠拢，制造视觉上的重合。）

【关键技术动作】教师不直接画圈。教师在黑板上左边摆5个磁扣（篮球图标），右边摆4个磁扣（算盘图标）。请学生上来，把“双重身份”的那个磁扣处理一下。

【高水平处理预判】

如果学生只是简单地把两个磁扣摞在一起——教师追问：“这样摞起来，别人还以为这里有两个人，其实只有一个，怎么办？”

引导学生想出：把两个磁扣并排放置，中间用一根线连起来，或者把代表同一个人的两个不同颜色的磁扣合并成一个双色磁扣。

【归纳板书】

师：像这样，在统计时，有人同时具备两种资格，导致计数时被算了两次，实际人数却少了的现象，数学上称为——“重叠”。（板书课题核心词）

【设计意图】此环节杜绝一切花哨的动画自动演示。【非常重要】必须让学生亲手“摆弄”实物，在物理空间上体验“合二为一”的冲突。唯有经历了“拆分——合并——再定位”的动作思维，才能将“重叠”从生活词汇转化为数学概念。

（二）【第二板块：维恩图的“再发明”与语义精细化】（约12分钟）

【核心追问】刚才我们只重叠了1个人。现在，我们把人数变一变。（出示新数据：数学小组6人，科学小组5人，其中李华、王丽、张明三人同时参加了两个小组。请问总人数？）

【教学指令】请大家不要在纸上急着写算式。老师给大家每个小组发了一个大信封，里面有6个蓝色圆形纸片（数学组）、5个黄色圆形纸片（科学组）。请你用这些纸片在黑卡纸上摆一摆，让别人一眼就能看出来：哪些是纯数学组的，哪些是纯科学组的，哪些是两边都参加的。

【高水平认知干预——区域命名法】

步骤A：学生初摆。大多数学生会将蓝色和黄色完全分成两堆，中间把三个重叠的人既放蓝堆又放黄堆。

步骤B：制造矛盾。教师巡视时故意拿起一个重叠学生的纸片：“咦？张明怎么有两个身体？他明明只来一个人，为什么这儿有蓝的张明，还有黄的张明？”通过反问，逼迫学生合并纸片。

步骤C：诞生“中间地带”。学生不得不把蓝和黄纸片向中间推，创造出一个既蓝又黄的重叠区。

【难点突破——三区格物】

此时，教师利用白板的“无限克隆”功能，将蓝色圈拖过来，将黄色圈拖过来，两圈交叉。

【非常关键】教师要带领学生做三遍“区域指读”：

1.指着左边无人重叠的蓝色区域：“这部分叫什么？——只参加数学小组的人。”

2.指着中间变绿（蓝+黄）的区域：“这部分叫什么？——既参加数学又参加科学小组的人。”（严禁学生说“重叠部分”，必须用完整数学主语表述。）

3.指着右边无人重叠的黄色区域：“这部分叫什么？——只参加科学小组的人。”

【高频考点：维恩图各部分意义的精准辨析】

教师故意指着大圈外面的空白处问：“这是什么？”（不是人，是无人区。）

【列式建模——把图“读”成算式】

师：现在，请你当一回解说员，看着这张图，你能想出几种方法算出总人数？

方法一（分部求和）：只看三块互不重叠的区域。蓝色孤岛（6-3=3人）+绿色孤岛（3人）+黄色孤岛（5-3=2人）=3+3+2=8人。

【重要】此处必须标注：减3是为了把重叠的人从原来的大圈里“请出来”，只保留他们一次，而不是把他们开除。

方法二（去重法）：6+5-3=8人。

【深度追问】为什么减3？是减掉那三个人吗？

【错误观念澄清】不是减掉人！是他们被重复数了一次，我们要减去那个“重复数的一次”，保留他们真实存在的一次。

【支架搭建】6+5=11，这11票投给了8个人。其中有3个人得了两票，所以总票数比总人数多了3票。去掉这多出来的3票，票数就和人一样多了。

【设计意图】这是全课【非常重要】的算理通透环节。绝不可跳过。一定要让学生理解“减”的对象是“虚数”而非“实数”。

（三）【第三板块：参数变式与模型泛化】（约10分钟）

【核心任务】是不是每次重叠都是减去2或者减去3？重叠问题有几种不同的“长相”？

【探究活动】教师给出核心数据：第一类有7人，第二类有5人。总人数可能是多少？请你画维恩图来表示每一种可能。

【分组探究】

第一梯队（无重叠）：两张圈分开。总人数=7+5=12人。

第二梯队（部分重叠）：从重叠1人开始，到重叠5人（因为第二类只有5人，最多全重叠）。

第三梯队（包含关系）：【难点】如果第二类的5人完全包含在第一类的7人里面。这时候维恩图怎么画？

【操作】学生发现，这时候不是两个交叉的圈，而是一个大圈里面完整地套着一个小圈。

【核心辨析】包含关系是重叠问题的极端特例。此时，总人数不是7+5，而是大圈的人数（7人）。因为小圈的5人已经在大圈里了。

【高频易错】学生容易在包含关系中继续使用7+5-5=7，虽然答案对，但思维过程不清晰。必须结合图形，让学生看到：小圈没有突出部分，只有大圈和交叉圈（即小圈本身）。

【公式统一性总结】

无论哪种情况，我们都可以用同一个思维框架来解决：

总数量=第一类数量+第二类数量-既一类又二类的数量。

只不过，当没有重叠时，既一类又二类=0；当包含时，既一类又二类=较小类的数量。

【跨学科链接】语文课上我们学过“既是……又是……”造句，今天我们用数学图形把这种关系画了出来。

（四）【第四板块：结构化练习与量感诊断】（约9分钟）

【题组设计——三层进阶】

1.【基础题·模仿期】（全班必达）

四年级举行才艺展示，唱歌的有15人，跳舞的有12人，既唱歌又跳舞的有4人。参加才艺展示的一共有多少人？

【教学指令】先画维恩图（只填数据，不画人），标出三块区域的人数，再列两种方法算式。

2.【变式题·建模期】（高频考点）

把3根长10厘米的木条钉在一起，接头重叠部分长2厘米。钉好后木条总长多少厘米？

【跨学科视域】这是长度领域的重叠，不是人数，但模型完全一致：总长=10+10+10-2-2。

【特别注意】三个物体重叠，需要减两次重叠部分。这是本课重要的拓展信号，为下节课的“三量重叠”做伏笔，此处只做萌芽，不做过深挖掘，点到为止。

3.【思维题·逆推期】（难点攻坚）

学校组织书法和绘画比赛，全班30人每人至少参加一项。参加书法的有18人，参加绘画的有20人。两项都参加的有多少人？

【破题钥匙】总人数30人，而18+20=38人，多出来的8人就是被重复计算的人数，也就是两项都参加的人数。列式：18+20-30=8人。

【学生典型障碍】学生习惯正向求总数，不习惯逆向求重叠。必须借助维恩图的空白区域启发：全班只有30人，但左边圈右边圈加起来38个“位置”，有些位置坐了同一个人，挤掉了位置，所以总位置数比人数多几个，就代表有几个人挤在一起了。

（五）【第五板块：课堂小结与认知地图绘制】（约2分钟）

【思维导图式板书整理】（完全使用段落描述性语言，非表格）

本课的知识生长路径如下：从一个生活中的报名纠纷出发，发现了“重复计数”现象；为了解决重复问题，我们通过移动纸片创造了维恩图；在维恩图中，我们清晰地划分出了三个独立区域；根据这三个区域，我们得到了两种计算方法，一种是“三块相加”，一种是“两类相加减重叠”；我们进一步发现，重叠的程度不同，总人数会在一定范围内浮动；最后，我们不仅用这个模型解决了人的重叠，还解决了物体的重叠，甚至能从总人数反推出重叠人数。

六、【重要等级：作业设计——从模型应用到问题提出】

（一）【基础巩固】（全做）

用维恩图表示下面的关系，并列式计算。

三（1）班订阅《童话大王》的有12人，订阅《我们爱科学》的有14人，两种杂志都订的有5人。三（1）班订阅杂志的一共有多少人？

（二）【拓展延伸】（选做）

请你当小设计师：生活中有很多重叠现象，比如眼镜架在鼻梁上、保鲜膜覆盖在碗口、十字路口的交通。请你寻找一个生活中的重叠现象，把它编成一道数学应用题，并画出维恩图来解答。

【非常重要】此作业旨在从“解题者”转向“命题者”，是核心素养中“数学眼光”的最高体现。

七、教学反思前瞻与风险规避

【预设风险1】部分优生可能会提出“为什么要学这么麻烦的图，我直接减不就行了？”

【应对】不压制这种声音。但强调：维恩图不是用来算1+1的，它是用来解决复杂关系的“地图”。没有地图，在城市里走不会迷路；但在原始森林（复杂逻辑）里，没有地图寸步难行。

【预设风险2】在摆纸片环节，学困生可能会长时间停留在“怎么摆才好看”的操作细节上，而忽视了思考数量关系。

【应对】实施“限时拼图”。每组必须在3分钟内完成构图并拍照上传大屏幕。时间到即停止操作，转为语言交流。利用适度的紧迫感提升思维效率。

八、【热点：与2022版新课标的精神勾连】

本设计彻底摒弃了以往“老师演示，学生看戏”的灌输模式，将“三会”贯穿始终：

会用数学的眼光观察现实世界——从入场券多了这一生活细节中，发现了重叠的数学