2026数字信号处理教程试卷及答案

2026数字信号处理教程试卷及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知离散时间信号x[n]=δ[n]+2δ[n-1]，其Z变换X(z)为A.1+2zB.1+2z⁻¹C.1-2z⁻¹D.2+z⁻¹答案：B2.对长度为N的实序列x[n]做N点DFT，其频域共轭对称性质表现为A.X[k]=X[N-k]A.X[k]=X[N-k]B.X[k]=-X[N-k]B.X[k]=-X[N-k]C.X[k]=X[k]C.X[k]=X[k]D.X[k]=X[N+k]答案：A3.线性时不变系统稳定的充要条件是系统函数H(z)的A.极点全在单位圆内B.零点全在单位圆内C.极点全在单位圆外D.零点全在单位圆外答案：A4.采用双线性变换法设计IIR数字滤波器时，为避免频率混叠，模拟原型滤波器必须A.带限到π/TB.带限到π/(2T)C.带限到2π/TD.无需带限答案：B5.对连续信号x(t)=cos(2π·3kHz·t)以f_s=8kHz采样，则采样后数字频率ω为A.0.25πrad/sampleB.0.5πrad/sampleC.0.75πrad/sampleD.πrad/sample答案：C6.若h[n]为FIR滤波器，其群延迟τ_g(ω)在通带内为常数，则该滤波器必为A.线性相位B.最小相位C.全通D.最大相位答案：A7.对实序列x[n]做8点DIT-FFT，其第二级蝶形运算的旋转因子W₈²等于A.-jB.jC.e^{-jπ/2}D.e^{-jπ/4}答案：A8.采用窗函数法设计低通FIR，窗长固定时，增大窗的旁瓣衰减将导致A.过渡带变宽B.过渡带变窄C.通带波纹增大D.阻带衰减减小答案：A9.已知系统差分方程y[n]-0.5y[n-1]=x[n]，其单位阶跃响应终值为A.0.5B.1C.2D.无穷答案：C10.对周期为N的序列x̃[n]做DFS，其系数X̃[k]的周期为A.N/2B.NC.2ND.无穷答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于采样定理的描述正确的是A.带限信号最高频率为f_H，则f_s≥2f_H可无混叠B.欠采样一定产生频谱混叠C.过采样可提高信噪比D.带通采样允许f_s<2f_H答案：ACD12.下列属于IIR滤波器设计方法的是A.窗函数法B.双线性变换法C.脉冲响应不变法D.频率采样法答案：BC13.关于FFT算法，正确的是A.DIT与DIF运算量相同B.基2-FFT要求N为2的整数幂C.原位运算可节省存储D.FFT可计算线性卷积答案：ABCD14.线性相位FIR滤波器h[n]满足h[n]=±h[N-1-n]，其零点分布特点A.零点呈倒数共轭对B.单位圆上零点必成对C.实轴上零点必成对D.z=1处可单零点答案：ABC15.关于数字滤波器系数量化，正确的是A.极点靠近单位圆时敏感B.直接型比级联型更鲁棒C.极限环振荡由舍入引起D.增加字长可减小极限环答案：ACD三、填空题（每空2分，共20分）16.序列x[n]=aⁿu[n]，|a|<1，其DTFT为X(e^{jω})=________。答案：1/(1-ae^{-jω})17.8点DIT-FFT共需________级蝶形，每级________个复乘。答案：3，1218.已知FIR滤波器h[n]={1,2,3,2,1}，n=0,…,4，其群延迟为________样本。答案：219.用窗函数法设计截止频率ω_c=0.4π的低通FIR，窗长N=41，则过渡带宽度近似为________π。答案：0.220.双线性变换中，模拟频率Ω与数字频率ω关系为Ω=________。答案：(2/T)tan(ω/2)21.对x[n]=cos(0.5πn)做N=8点DFT，其系数X[2]=________。答案：422.系统函数H(z)=1/(1-0.9z⁻¹)，输入x[n]=u[n]，则稳态输出y_ss[n]=________。答案：1023.线性相位FIR类型II（h[n]偶对称，N偶数）不能用于________滤波器。答案：高通24.采用频率采样法设计滤波器，若理想响应H_d[k]在过渡带取________值，可减小振荡。答案：非0,1中间25.级联型实现H(z)=∏H_i(z)的优势是可降低系数量化对________位置的影响。答案：极点/零点四、简答题（每题6分，共18分）26.简述脉冲响应不变法与双线性变换法在频率响应方面的主要差异。答案：脉冲响应不变法通过Ω=ω/T线性映射，存在频谱混叠，仅适合严格带限低通；双线性变换采用Ω=(2/T)tan(ω/2)非线性映射，无混叠但引入频率畸变，需预畸校正。27.说明窗函数法设计FIR滤波器的步骤，并指出窗长与过渡带、阻带衰减的关系。答案：步骤：1.确定理想响应h_d[n]；2.选窗w[n]；3.截断h[n]=h_d[n]w[n]；4.验证指标。窗长N↑→过渡带↓∝4π/N；窗类型↑旁瓣衰减→阻带衰减↑，但过渡带↑。28.解释FFT算法中“原位运算”概念及其对硬件实现的意义。答案：原位运算指每级蝶形输出可覆盖输入存储单元，无需额外缓存；意义：节省RAM，降低芯片面积与功耗，利于VLSI并行实现。五、计算题（共27分）29.（8分）已知序列x[n]={1,2,2,1}，n=0,1,2,3(1)求4点DFTX[k]；(2)利用X[k]计算圆周卷积y[n]=x[n]④x[n]。答案：(1)X[k]=∑x[n]W₄^{kn},得X[0]=6,X[1]=1-j,X[2]=0,X[3]=1+j(2)Y[k]=X²[k]，得Y[0]=36,Y[1]=-2j,Y[2]=0,Y[3]=2jy[n]=IDFT{Y[k]}={9,5,9,5}30.（9分）设计一阶低通IIR滤波器，要求3dB截止频率ω_c=0.2π，采用双线性变换，T=1ms。(1)求模拟原型系统函数H_a(s)；(2)求数字系统函数H(z)；(3)给出差分方程。答案：(1)预畸Ω_c=(2/T)tan(ω_c/2)=2×1000×tan(0.1π)=649.84rad/s一阶低通H_a(s)=Ω_c/(s+Ω_c)=649.84/(s+649.84)(2)双线性s=(2/T)(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)=2000(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)代入得H(z)=0.245(1+z⁻¹)/(1-0.509z⁻¹)(3)y[n]=0.509y[n-1]+0.245x[n]+0.245x[n-1]31.（10分）用窗函数法设计线性相位低通FIR，指标：ω_p=0.3π,ω_s=0.5π,A_s=50dB。(1)选窗类型并估窗长N；(2)写出理想脉冲响应h_d[n]；(3)给出实际h[n]表达式；(4)若采用凯塞窗，β估算值。答案：(1)汉明窗满足A_s=53dB，过渡带Δω=0.2π，N≈6.6π/Δω=33，取奇数N=33(2)h_d[n]=sin[0.4π(n-16)]/[π(n-16)],n≠16;h_d[16]=0.4(3)h[n]=h_d[n]·w[n],w[n]=0.54-0.46cos(2πn/32)(4)凯塞窗A_s=50dB→β=0.1102(50-8.7)=4.55六、综合应用题（共40分）32.（15分）多速率系统如图：x[n]→↑2→H(z)→↓3→y[n]，H(z)为低通，截止ω_c=π/3。(1)画出各点频谱示意图；(2)求整体等效滤波器频率响应H_eff(e^{jω})；(3)若x[n]带宽0.9π，说明是否存在混叠；(4)给出避免混叠的最低插值因子L。答案：(1)X(e^{jω})带宽0.9π→↑2后压缩至0.45π，H(z)保留|ω|≤π/3，↓3后扩展3倍，Y(e^{jω})在|ω|≤π/3非零(2)H_eff(e^{jω})=H(e^{jωL})|_{L=2}，即H(e^{j2ω})，截止π/6(3)原信号0.9π>π，↓3后扩展，必混叠(4)需先限带至π/3，故最低L=2，使插值后带宽≤π/3，再降采样33.（15分）自适应滤波器用于系统辨识，结构：未知系统P(z)与自适应FIR并联，输入x[n]零均值白噪声，功率σ_x²=1，长度M=4，权重w[n]=[w₀,w₁,w₂,w₃]ᵀ，采用LMS算法，μ=0.01。(1)写出LMS更新公式；(2)求收敛条件μ范围；(3)若P(z)=1+0.5z⁻¹-0.2z⁻²，求最优维纳解w°；(4)给出失调量M公式并估稳态EMSE。答案：(1)w[n+1]=w[n]+μe[n]x[n],e[n]=d[n]-y[n],y[n]=wᵀ[n]x[n](2)0<μ<2/λ_max,λ_max≤Mσ_x²=4→μ<0.5，已满足(3)R=E{x[n]xᵀ[n]}=I₄，p=E{d[n]x[n]}，d[n]=x[n]+0.5x[n-1]-0.2x[n-2]，故p=[1,0.5,-0.2,0]ᵀ，w°=R⁻¹p=p(4)M=μMσ_x²/2=0.02，EMSE=μMσ_x²σ_min²/2，σ_min²=E{e₀²[n]}=0，理论EMSE≈034.（10分）语音信号采样率16kHz，需设计512点滑窗FFT实时谱分析，要求相邻帧重叠50%，计算：(1)帧移样本数；(2)每秒FFT次数；(3)若用基2-F