《自动控制原理》-第7章

7.1状态空间法的基本概念系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。动力学系统的状态是描述系统全部行为的一组相互独立的变量集合，而完全确定系统状态的数目最小的一组变量称为状态变量。只要已知在t=t0

时刻的该组变量值以及t≥t0时刻的输入，就能够完全确定在t≥t0及以后任意时刻系统中的所有状态变化情况。对某一系统而言，状态的选取不是唯一的，但状态的数目都是一定的。状态变量不一定是可测量的物理量。有时也可能只有数学意义而没有物理意义，但通常在工程实践中，应当优先选取具有物理意义并容易测量的物理量以方便以后系统设计中的使用。返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立建立系统的状态空间方程通常有两种方法，一种是由系统的物理或化学原理出发进行推导，另一种是由其他数学模型予以演化得到，通常包括由系统方框图、信号流图列写状态空间方程；由系统动态微分方程或传递函数推导状态空间方程。7.2.1根据系统工作原理建立状态空间方程常见的控制系统按其能量属性可分为电气、机械、机电、电动液压、热力等系统。根据物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，可建立系统的状态方程，指定系统输出时，可写出系统的输出方程。下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立7.2.2根据微分方程建立状态空间方程1.方程中不含输入的导数项设单变量n阶线性定常系统的微分方程为首先选取状态变量。n阶系统具有n个状态变量。根据微分方程原理，若y(0)，y(1)(0)，…，y(n−1)(0)及t≥0时的输入()ut已知，则方程有唯一解，系统在t≥0时刻的运动状态便可完全确定。因此选y，y(1)，…，y(n−1)这几个变量作为系统的一组状态变量。即上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立具有上述特点的变量组称为相变量。上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立系统矩阵A和控制矩阵B具有上述形式时，状态空间方程称为能控标准型。上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立2.方程中含有输入的导数项这时单变量线性定常系统的微分方程如下上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立7.2.3根据传递函数建立状态空间方程1.传递函数具有标准型（1）传递函数无零点此时的传递函数与方程中不含输入的导数项的微分方程等价，因此可直接列写式（7−1）和式（7−2）。（2）传递函数含有零点上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立此时的传递函数等价于方程中含有输入导数项时的微分方程，因此列写出的状态空间方程如式（7−3）、式（7−4）、式（7−5）。2.按传递函数极点情况列写状态空间方程（1）传递函数中只有互异的实数极点。设式（7−6）的极点s1，…，sn是n个互异实数极点，则对该式进行部分分式分解有上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立由式（7−8）可见矩阵A是一个对角矩阵，如图7−5

所示。因此，式（7−8）称为状态空间方程的对角规范型。（2）传递函数中有重根时。上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立由式（7−9）可见矩阵A是由各个约当块组成的矩阵，并且对角线上的单个元素可以看成是1×1的约当块，具有这种特点的状态空间方程称为约当规范型，如图7−6

所示。由对角型系统的信号流图可以看出整个系统可看成是n个一阶系统的并联结构。由约当型系统的信号流图可以看出具有重根的约当块部分是r阶子系统的串联结构。上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立3.由系统的方框图或信号流图建立系统的状态空间方程模型系统的方框图和信号流图是表示系统的重要手段之一，描述的仍然是系统的输入输出关系。下面来讨论依据这两类模型建立系统的状态空间方程，通常遵循两个要点：①积分器的输出端选作状态变量。②由加法器的输出端列写方程。7.2.4线性系统的代数等价性从前面的讨论可以看出，选取不同的状态变量得到的状态空间描述也不同，实际上，对一个n维系统，不同的状态空间描述就是同一个系统在不同坐标系下的表征，换句话说，可以通过坐标变换把系统的一种状态描述转化为另一种状态描述，二者是等价的。上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立则称这两个状态空间描述是代数等价的。由于坐标的选择是人为的，系统本身特性是固定的，因此在非奇异线性变换下系统的表达形式发生改变，而系统的特性是不变的。对线性定常系统，我们称矩阵A为系统的特征矩阵，行列式sI−A为系统的特征多项式；sI−A=0为系统的特征方程；对应的根为特征根。上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立很显然经过非奇异线性变换后，由于其特征多项式保持不变，从而特征值不发生改变，并且相互代数等价的线性定常系统具有相同的传递函数。7.2.5由状态空间方程求传递函数设线性定常系统的状态空间方程为在初始条件为零时，对系统的状态方程和输出方程进行拉氏变换上一页下一页返回7.2线性定常系统状态空间方程的建立利用已知的状态空间方程中的系数矩阵A、B、C、D，就可以直接求得系统的传递函数，并且一旦系统的输入输出确定后，不论如何选取状态变量，对应的输入输出传递函数一定是相同的。上一页返回7.3线性定常系统的运动分析前面各节讨论了关于线性定常系统的状态空间方程的建立。当得到系统状态空间方程后，就可以对系统的运动行为和特征进行分析。分析包括两个方面，一是定量分析，二是定性分析，主要是对决定系统行为和特性的几个重要性质，如系统的能控性、能观测性、稳定性等进行深入刻画。本节着重研究系统状态方程的解。7.3.1线性定常系统的解系统响应=零输入响应+零状态响应1.线性定常系统的时域解上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析由式（7−11）可以看出，第一项ϕ(t)x(0)只由初始条件产生而与输入无关，是状态的零输入响应部分，而第二项只由输入引起而与初始状态无关，是状态的零状态响应部分，此时系统的输出响应为上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析其中，第一项为输出的零输入响应部分；第二项是输出的零状态响应部分。当初始时刻不为t=0时，则状态方程的解为2.线性定常系统的s域解上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析其中，第一项为状态在s域的零输入响应部分；第二项为状态在s域的零状态响应部分。其时域解可表示为：上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析7.3.2状态转移矩阵的性质从求解的过程中可以清楚地看到，如果已知系统的初始条件x(0)、输入u

(t)和状态转移矩阵ϕ(t)，就可以求得系统状态的时间响应x(t)。要想精确地求解系统的状态解及输出解，状态转移矩阵是一个至关重要的量，于是，关键问题就是求系统的状态转移矩阵ϕ(t)

。对于ϕ(t)的求解存在多种方法。下面不加证明地给出有关状态转移矩阵的重要性质。（1）ϕ

(t,t)=I

。（2）ϕ

(t,t0)是非奇异的，且ϕ-1

(t,t0)=ϕ

(t0,t)。（3）ϕ

(t2,t0)=ϕ

(t2,t1)ϕ

(t1,t0)。上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析（4）当A给定以后，ϕ

(t,t0)是唯一的，其表达式为上一页下一页返回7.3线性定常系统的运动分析上一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性经典控制理论用传递函数作为数学模型，描述系统的输入−输出特性，只要系统是稳定的，输出量便可以控制，同时总是可以测量到的。与经典控制理论不同的是，当用状态空间方程描述系统时，不仅存在输入量、输出量，更重要的是存在系统的状态变量。是否都受输入的控制，或者说输入u(t)是否对状态x

(t)有控制能力，即能控性问题。还有系统的输出能否反映系统的状态，或者说状态x(t)是否能从输出y

(t)的测量值得到重构，即能观测性问题。系统的能控性、能观测性问题由卡尔曼首先提出，是现代控制理论中的两个重要概念，是最优控制和最优估计的基础。在讨论系统的能控性和能观测性的问题上，关键讨论3个方面：①能控性、能观测性如何定义？②如何判断能控性、能观测性？③如何通过状态变换使能控性、能观测性变得显而易见？下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性7.4.1线性系统的能控性与能控性判据1.能控性定义对于线性定常系统x=Ax+Bu如果存在一个容许输入u(t)，能在有限的时间区间t∈(t0,t1)内，使系统在这个控制的作用下，由某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(t1)，则称线性定常系统是状态完全能控的，简称系统能控。下面对以上定义加以说明。上一页下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性（1）所谓容许控制是指控制信号各分量均应满足平方可积条件，以此保证系统状态解的存在且唯一。而实际物理信号由于能量总是有限的，因此总满足平方可积条件，也就是说，实际上该定义对输入u(t)是没有限制的。（2）对于线性定常系统，能控性与初始时刻无关，初始时刻t0可任意选取，并且不关心控制作用时间段(t0,t1)的长短。（3）定义只要求在有限时间区间内将状态x(t0)转移到状态x(t1)，对状态转移的轨线无任何限制。（4）系统中的每个状态变量都要能控，只要有一个状态变量不能控，则称系统不完全能控，简称系统不能控。上一页下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性2.能控性判据考察下面的数学条件是否成立，可以判断该系统是否状态完全能控。7.4.2线性定常系统的能观测性1.能观测性定义对于线性定常系统对系统的任意给定输入u(t)，当且仅当在有限时间T，根据输出y

(t)在[0,T]区间的测量值能唯一确定系统的初始状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。上一页下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性2.能观测性判据考察如下的数学条件，可以判断该系统状态是否完全能观测。7.4.3对偶原理1.线性系统的对偶关系设有两个n阶线性定常系统S1

和S2

，其状态空间表达式分别为上一页下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性称系统S1

、S2

为对偶系统。2.对偶原理设S1

和S2

是互为对偶的两个系统。若S1

是状态完全能控（或完全能观测的），则S2

是状态完全能观测（或完全能控）的。利用对偶原理，可以使系统的能观测性研究转化为其对偶系统的能控性研究，或将系统的能控性研究转化为对偶系统的能观测性研究。3.对偶系统的两个基本特征（1）对偶系统的传递函数互为转置。设S1

的传递函数为G1(s)，S2

的传递函数为G2(s)，则上一页下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性（2）对偶系统特征值相同，即上一页下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性7.4.4非奇异线性变换的不变特性与约当判别法1.非奇异线性变换的不变特性在前面已经讲过，对于同一系统可以有不同状态变量的选择方式。它们之间存在着非奇异线性变换，并且非奇异线性变换具有如下的不变特性：变换后系统的特征值不变，系统的传递函数不变，系统的能控性不变，能观测性不变。由此可将任意系统通过非奇异变换变成对角规范型和约当规范型，通过约当判别法进行系统状态的能控性与能观测性判别。上一页下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性2.约当判别法对于具有约当规范型的系统。（1）系统完全能控的充要条件是：每个约当块末行所对应的B矩阵中的行元素不全为0；（2）系统完全能观测的充要条件是：每个约当块首列所对应的C矩阵中的列元素不全为0。对角规范型可看成是特殊的约当规范型，每个约当块的维数是1×1，该元素既是末行也是首列，并且不能存在两个约当块由相同特征值构成，此时上述结论不成立。上一页下一页返回7.4线性系统的能控性和能观测性3.系统的能控性、能观测性与传递函数的关系传递函数是系统模型之一，那么传递函数与系统的能控性、能观测性之间必然存在内在联系。对于单输入单输出系统，要使系统是既能控又能观测的充分必要条件是传递函数的分子、分母之间没有公因式，即没有零极点相消现象。若存在零极点相消现象，则由于状态变量选择的不同，系统或是状态不能控的，或是不能观测的，或是既不能控又不能观测的。上一页返回7.5线性系统的状态反馈与极点配置由经典控制理论可知，闭环系统性能与闭环极点密切相关。因此反馈成为控制系统设计的主要方式，通过引入反馈来配置闭环极点，在经典控制论中用输出量作为反馈量。而在现代控制理论中当系统采用状态空间描述时，除了输出反馈外，广泛采用系统状态作为反馈量，这就是状态反馈。通常，我们假设系统的所有状态变量都可以测量，于是就可以直接设计状态反馈控制律。但实际中，往往从系统输出中只能得到部分状态信息，也就是说，并不是所有的状态变量都可以测量。因此要研究观测器的设计用于估计那些无法直接测量的状态变量，这就是状态观测器设计问题。这里我们首先来研究状态反馈问题。状态反馈能提供更多的校正信息和可供选择的自由度，使系统容易获得更为优异的性能。下一页返回7.5线性系统的状态反馈与极点配置7.5.1状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减形成控制律，作为系统的控制输入，其基本结构如图7−11所示。上一页下一页返回7.5线性系统的状态反馈与极点配置式中，r为1p×维的参考输入；K为pn×维的反馈增益矩阵。可以证明：状态反馈不改变系统的能控性，但有可能改变系统的能观测性。将式（7−21）代入式（7−20）可得闭环系统矩阵为(A−BK)。闭环特征方程为

，通过改变K的各个分量值，可自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。上一页下一页返回7.5线性系统的状态反馈与极点配置7.5.2极点配置对于单输入系统一组期望的闭环特性值为

，试确定1×n维的反馈增益矩阵K，通过状态反馈u=r−Kx，使闭环系统的极点满足，该问题称为系统的极点配置问题。上一页返回7.6状态观测器状态观测器设计问题又常称为状态重构问题。前面所介绍的极点配置问题以及现代控制理论中的常见问题如自适应控制、最优控制、变结构控制、系统镇定、解耦问题等都依赖于引入适当的状态反馈得以实现。但实际上，在许多情况下不可能获得系统控制对象的全部状态变量，因而使状态反馈的物理实现难以做到，于是产生了状态反馈在性能上的优越性与物理不可实现性之间的矛盾。解决这一矛盾的一个主要途径是重构系统状态，利用构造的系统状态代替真实状态来实现所要求的状态反馈。状态重构问题的实质就是利用原系统中可直接测量的变量重新构造一个系统，如将原系统的输入量作为重构系统的输入信号，并使其状态信号xˆ(t)在一定意义下与原系统状态x(t)等价。通常xˆ(t)称为x(t)的重构状态或估计状态，用以实现状态重构的系统称为状态观测器。下一页返回7.6状态观测器这种理论是由龙伯格（Luenberger）首先建立的，因此又称为龙伯格观测器。一般情形下，xˆ(t)x(t)间的等价关系采用渐近等价指标，即如果观测器的维数与原系统维数相同，则称之为全维观测器；如果观测器的维数小于原系统的维数，则称之为降维观测器。降维观测器在结构上一般较全维观测器简单。7.6.1全维状态观测器考虑n维线性定常系统上一页下一页返回7.6状态观测器式中，A为n×n维矩阵；B为n×r维矩阵；C为m×n维矩阵。构造该系统的状态观测器最直观的方法就是对被估计系统的直接复制，即为上一页下一页返回7.6状态观测器7.6.2全维状态观测器的设计利用系统（A,C）的状态能观测的条件进行全维状态观测器的设计。第一步：导出对偶系统（AT,CT,BT）。第二步：根据所要设计的全维观测器的期望极点，选择反馈增益矩阵K，使第三步：取L=KT

，并计算（A−LC），则所要设计的全维状态观测器即为式中，ˆx即为x的估计状态。上一页下一页返回7.6状态观测器7.6.3降维状态观测器前面介绍的观测器是对系统全部状态变量都进行估计，观测器的阶数与系统阶数相同，称为全维状态观测器。而从系统的输出方程中看到，在系统的输出y(t)中包含了系统状态的部分信息，如果在设计系统的观测器时，这些信息是可以直接观测的，这些分量就不必由观测器重构，那么构造出的原系统的观测器维数必然小于n，称为降维观测器。如果输出向量y为可测量的m维向量，由于m个输出变量是状态变量的线性组合，则m个状态变量可观测，不用重构，那么降维观测器的状态变量重构维数为n−m，即降维观测器的最小维数为n−m。上一页下一页返回7.6状态观测器设有状态完全能观测的系统上一页下一页返回7.6状态观测器则变换后系统可写成如下形式由输出方程可以看出，输出y是变换后状态的一部分，可以直接测量，所以接下来需要设计