关于质心与质心坐标系的探讨

关于质心与质心坐标系的探讨 论文（设计）题目关于质心与质心坐标系的探讨摘要论文首先阐述了质心和质心坐标系的概念，同时对“质心”和“重心”两个概念的内涵和外延进行了辨析和探讨。接下来，对一些特殊物体的质心位置的确定方法做了阐述与讨论。针对质心坐标系的讨论中，主要讲了质心系中的动量定理、动能定理（柯希尼定理及质点组对质心的动能定理）、功能原理、角动量定理等的表达式，并讨论了几个基本定理在解决实际问题中的应用。最后讨论了质心系统的对称性，说明了质心坐标系在解决碰撞问题和两体问题中的特殊意义，以及质心坐标系在物理学中的特殊地位和解决问题的优越性。关键词：质心；质心坐标系；质心运动定理；对称性；碰撞；两体问题

AbstractThispaperfirstexpoundstheconceptofcoreandcorecoordinatesystem,anddistinguishestheconnotationandexternalityofthetwoconceptsof"quality"and"center".next，themethodfordeterminingthecentroidpositionofthecenterofmassofsomespecialobjectsisdescribedanddiscussed.Inthediscussionofother,inviewofthemasscentercoordinatesystem,mainlyaboutthequality,andthetheoremofmomentumandkineticenergytheoremoftheheart(AlexanderKoenigtheoremandparticlegroupofkineticenergytheoremofmasscenter),functionprinciple,theexpressionoftheangyularmomentumtheoremandthebasictheoreminsolvingpracticalproblemsandwriteafewapplicationIntheend,alsoconfrontedtheheartofsymmettrforshallow,showthatthecentroidcoordinatesysteminsolvingtheproblemofcollisionandtwobodyproblemisconcise.Thispaperexpoundsthespecialpositionofphysicalqualityandthesuperiorityofusingphysicalqualitytosolvephysicalproblems.Keywords:Centerofmass;Centerofmassframeofreference;Theoremofmotionofmasscenter;Symmetry;Thecollision;Thetwobodyproblem

目录TOC\o"1-3"\h\u第一章质心 第一章质心1.1质心的定义当整个质点组应用了动力学基本原理时，质点组中就一直会有一个特殊的点，可以很容易确定其运动。要是把这个特殊点作为参考点，就可以把问题简单化。我们把它叫做一组质子的质量中心。假设粒子系统由N个质点组成，令各个质点的质量分别为m1，m2，…mi。如果把各质点相对某一指定的参考点O的位矢分别用r1，r2r其中M=i=1nmi表示质点组的总质量，i①若质点系中各质点的质量相等，则：r式中:ri系数1n表示第i个质点的质量在质点系质量中所占的比例，质心的矢径②若质点系中各质点的质量不相等。则有：r式中：ri的系数表示第i个质点的质量在质点系的质量比，质心的矢径r可见，质心的位置与粒子系统中的质量分布密切相关，并解释了粒子系统中的质量分布。因此，质心概念是动力学中的一个重要概念。质心是粒子系统中的一个特殊点。粒子系统和质心的运动是同时进行的。因此，如果把质点系看作质点，那么质点和质点系的动量是一样的，简单来说质心的运动具有特殊的意义。另外，由于在经典力学中每个粒子的质量都是常数，所以根据质心的概念，经典力学中才存在，不过在相对论力学中，质点的重量是由质点的运动快慢决定的，如果只是简单了解各个质点的空间位置，是不可能知道系统质心所在位置的。这样看来在相对论力学中系统的质心就不是一个有确定意义的概念，质心系也就不是一个适当的描写框架[2]。1.2质心与重心的区别力学中的质心和重心是两个不同的东西，虽然差别只有一个字，但是我们在学习和运用中很容易把他们当做是同一个概念。但是“质心”和“重心”表达了不同的意思，分别有着不同的内涵和外延。从重心分析。地球上所有的物体都是由许多粒子组成的，它们受到垂直向下的重力的影响，地球很大，导致所受到的力彼此平行。所以，我们每一个物体都受到不同方向的平行力作用。整个物体的重力相当于不同重力的和。物体的重心就是合力的共同作用点。现在高中物理教材中关于重心的定义是“物体各个部分都受到重力的作用，但从效果上看，我们可以认为各个部分受到的重力都集中于一点，这个点就是重力的作用点，叫做物体的重心”在大学普通物理教材中，有的将重心定义为“合引力的等效作用点叫做重心”[3]。有的将重心定义为“刚体处于不同的方位时，力的作用线都要通过的那一点叫做刚体的重心”[4]。由此可以看出，重心跟重力的关系非常紧密。“作用点”作为“三要素”中的重要部分，重心就可以是重力概念的延伸。重心的概念只对在地球附近受到重力的一切小物体是有效的。此外，我们还可以知道，重心与物体的位置无关，它只是一个特定的点。物体的形状决定了重心的位置，与其他因素无关。如果是均匀的几何物体，那么重心就在中心。下面我们再来看质心。每个物体都有一个质心，物体运动就是质点运动，质量就是物体总质量，物体所受的力是它所受外力的矢量和。所以，内力对物体的运动没有改变。一旦外力的矢量和为零，物体的质心将有两种静态或均匀的线性运动状态。现在让我们来看看重心的重要性质。例如，如果外力的作用线不穿过质心，物体不仅会移动，还会旋转；相反，物体只会移动，不会旋转。无论物体是什么形状，它的重力势能就等于质心的高乘以物体的总质量和重力加速度。均匀的几何物体，那么重心就在中心。而且质心和重心的位置都是同一个点。它们可以存在于对象内部，但也可以存在于对象外部。最后，应该知道，参考点的选择决定了矢量直径。但是，质点系中的质量分布情况对质心的位置有影响。综上所述，可以看出:（1）“重心”和“质心”各不相同，因为有不一样的内涵和外延。物体的质心和重力并没有关系，物体各部分的质量分布会对质心有影响。质心比重心具有更广泛的意义。[5](2)在地面附近，重力场是均匀的，反映重力场强度的“g”的分布是均匀的，处处相同,彼此平行，物体的质量分布和物体的重力分布是一致的，物体的质心和重心位置重合，质心的概念就简化为重心就可以了。[5]1.3特殊物体质心位置的几种确定方法积分是求质心最简单的方法，一些特殊的物体则是通过它的特点用比较快捷的方法迅速地找出它的质心位置来。接下来我们就说说几种方法。1.3.1根据重心确定质心处于重力场中的物体，各质量元的重力加速度g是都是一样的，它的质量分布和重力分布也是一样的。这时，该物体的质心和重心就会重叠在一起。复杂物体的重心位置是可以通过实验（吊挂法：先找一根细绳子，然后在物体上找一点，用绳子吊起来，等物体处于静止状态，通过吊挂点连接一条垂直线。找另一个点悬挂在垂直线之外。两条垂直线的交点就是这个不规则物体的重心。）测定，简单来说，不规则物体的质心位置是可以通过重心和质心重叠的实验方法来测定的。1.3.2根据巴普斯（pappus）定理求质心如果物体连续质量分布的情况下，求解质心就用质心定义的三分量表达式法。但还有一些技巧性的方法，巴普斯定理就算这一种技巧。巴普斯定理表述为：一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。[6]绕固定轴旋转是一种相对特殊的运动，它始终垂直于平面。因此，利用papes定理求解平面图形的质心是非常方便的。如下例：已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ．求它的质心位置？[6]由于半圆环具有对称性，所以它的质心在对称轴上，假设质心到圆心距离是ｒ．半圆环绕着它的直径旋转一周，就会形成一个空心球，如图1所示．半圆环扫过的面积为S=4πR2，质心走过的路程Ｌ＝２πｒ，半圆环的长度为Ｒ据巴普斯定４πＲ２＝πＲ·２πｒ得到r=2/πR 图1半圆盘绕直径３６０°形成空心球通过比较，还可以利用papes定理求出直角三角形板、矩形板或线圈等其他规则平面几何的质心。1.3.3最小势能法求质心根据最小势能原理，系统处于稳定状态的时候系统势能最小。我们在应对弹簧问题的时候，总是觉得质量是均匀的，质量中心在中间也是毋庸置疑的。实际上，当弹簧悬挂或垂直放置时，就应该是上面稀疏下面密集的状态，弹簧中心也不再是质心。最小势能原理可以知道，如果弹性势能、弹簧引力势能两者之和达到最小值并保持平衡状态时，通过总势能的函数关系，就可以得到弹簧势能达到最小值时的质量分布函数，弹簧密度与弹簧长度的关系也可以知道，最终利用质心积分公式就可以计算出弹簧质心的位置。于凤君等人[7]用这种方法找到了弹簧的质心。总之，用最小势能法求变形物体的质心是非常有利的。

第二章质心坐标系该坐标系表示了一种平移坐标系，其中质点组的质心一直是矩形坐标系的坐标原点，且固定参考系（惯性系）的坐标轴始终与坐标轴的方向平行。对于质点组(孤立体系)不受到外力作用的情况，或者质点组所受到外力的矢量和为零的情况，它的质心系是惯性系．而对于受到外力作用的质点组来说，它的质心系是非惯性系。我们可以利用质心来描述质心系的整体运动状态。质心系中的任何质点既有和质心一起运动的，它们又有相对于质心的运动．每个质点运动状态的差别，反映出相对于质心有不同的速度。上面提到的每个质点相对于质心的运动，也就是每个质点相对于质心坐标系的运动．而所谓的质心坐标系，我们可以把它当做是以质心为原点，而且坐标轴指向固定方向的平动参考系，简称质心系．若质点系是孤立系统，则它的质心系是惯性系；相反的，则不一定是惯性系。一个质心系由n个质点组成，以固定点O为原点建立惯性坐标系．设质点系内第i个质点P：质量为mi，相对于惯性系的径矢为ri，速度为vi，相对于质心系的位矢为ric，速度为vic，设这个质点系的质心C相对于惯性系的径矢为rc，速度vc，由平动参考系的变换关系式，得：ri=于是由rc=可得Mrc由上式可得j=1Nm上述公式表达的意思是：所有的质点系在它的质心系中的总动量为零矢量．另外一个表达方法：所有的质点系在它的质心系都遵循动量守恒定律，不管质心系有没有受到外部的作用。显然，质心系是一种特殊的参考系。[8]

第三章关于质心系的几个定理3.1质点系动量定理1.质点系的内力和外力（1）外力质点系以外的物体对该质点系中各质点施加的作用力。（2）内力质点系内质点与质点的相互作用力。对于质点系来说，如果内力系的主矢恒等于零，那么内力系对任一点（或轴）的主矩恒都等于零。即：Fii=0；2.质点系的动量质点系中所有各质点的动量的矢量和。p=mi质点系的质量和其质心速度的乘积就可以表示质点系的动量。3.质点系的动量定理（1）矢量形式质点系中的所有一质点i：d对整个质点系：ddtmi质点系的动量定理:d质点系动量对时间的导数等于其作用在质点系上所有外力的矢量和。微分形式d质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。积分形式p在一定的时间间隔内，质点系统动量的变化等于对质点的作用，即同一时间间隔内所有外力对质点系统冲击的矢量和。(2)质点系的动量守恒改变质点系统的动量只能由外力改变。虽然内力是不变的，但系统中每个质点的动量传递也会改变。许多生活中的问题都可以通过质点系的动量定律解决，具体如下：把圆环形刚性槽水平放置并且固定在桌面上。往槽内放入刚性小球并保证大小相同，质量分别为、、，其中，假设球面与槽壁的接触面积很小，因此两者之间存在的摩擦可以忽略不计。开始时三球处在槽中彼此之间距离相等的三个位置，用A、B、C、表示三个球的位置，、静止。以初速度v0=πR2沿槽运动，圆环的内半径和小球半径之图2圆环槽ACB和用R来表示。假设三个球之间的相互碰撞皆为弹性碰撞。求此系统的运动周期T[8图2圆环槽ACB对每个球都应用动量守恒，然后找出系统的运动规律，从而求出周期是解决这个问题的传统方法。传统办法解决问题太过麻烦。在三个小球的运动过程中，圆的切线方向上没有力。故可以认为系统的质心作匀速圆周运动。系统运动一个周期，即质心运动一个圆周。设质心的速率为vcv所以周期T=3.2质心的动能定理3.2.1柯尼希定理建立惯性坐标系：0-x、y、z，质心平动坐标系质点组里任一质点mi相对于两个不同坐标系的位矢的关系是r代入质点组对定点O的动能表达式之前将以上关系式左右两边对t求一次导数，得：T=我们知道∵rc'=0∴i质点群随质心运动时的动能可以由左右第一项来表示，即质点群随着质心运动时的整个质点的动能，所以我们把他称之为质心动能。粒子组中每个粒子相对于质心运动时的动能由第二项表示。刚体只是相对质心的转动动能。这个等式说明，质点组对惯性系的动能T就等于它的质心的动能加上相对于质心的动能，这个关系就是著名的柯尼希定理。[1]3.2.2质心动能定理惯性系的动能定理：dT=柯尼希定理：质点组对定点o的动能：T=考虑到质点相对固定点的位矢与相对相对质心的位矢之间的关系：r将这两个关系式代入（1）式中就可以得出如下结论：d1∵i∴这等式右边的第一项应等于零。又根据质心运动定理知：i∴i∴将上式中等价部分抵消，于是上面的等式就可写成：di就是质点组相对质心的动能，如果令它为T′的话：T'则上式又可简单地写成：dT'上述公式证明了质点群相对于质心位移时，质点动能相对于质心的微分等于质点群相对于质心位移时内力和外力的单元功之和。这就是质心的质点群的动能定理[1]，形式上与相对不动点的动能定理完全相同。但是我们需要知道，质点组的动能和功之间的关系在形式上不同于惯性系，除非它在质心的特定非惯性系中。质心动能定理只适用于质心平动的参考系，不适用于一般的运动点。3.3质点系中的功能原理保守内力和非保守内力都是质点系的内力表现形式。例如，每个质点的万有引力都是质点系中的保守内力；而质点间的摩擦力则是非保守内力。所以，质点系里力的功A内可以表示为保守内力的功（用符号A内保表示）和非保守内力的功（用符号A内系统里保守内力所作的功等于相应势能增量的负值，即A内保把（3-2）代入上式，可得A内在一定的路程上，所有外力和内力作功相加，在数量上相当于质点系动能的增量。令符号A外为一切外力作的功的代数和，AA外把（3-3）代入（3-4）并整理得：A外上述等式中，EK1和EK2表示质点系的初状态和末状态的动能；EP1动能和势能是力学意义下的能量。机械能一般是把系统中所有动能和势能之和，用符号EmEm于是，式（3-5）就表示为：A外通过式（3-5）和（3-7）可以知道，质点系中，质点系机械能的增量与一切外力和保守内力作功的代数和相等。这就是质点系的功能原理。[4]根据质点系统的力学原理可知，能量机械能的增减取决于系统外物体所做功与系统内非保守力所做功的代数和。外力作用时，系统内的机械能和系统外物体的某些能量会相应变化；非保守力作用时，系统内的机械能和非机械能也会发生变化。3.4质心系中的角动量定理质心系里每个质点对原点的角动量的矢量和可以看作是质心系对点的角动量，设质心系由n个质点组成，在固定的惯性系中，每个质点的速度分别用v1，v2……vi…vn表示，相对于原点的位置矢量分别为r1，r2……ri…rn，质量分别为m1，L=ri×对任何一个质量对于原点的角动量定理用于质点系内的质点有：Mi=Li表示质点的角动量，质点所受到的力矩包括内力矩Mi内和外力矩MMi内+Mi外=d由牛顿第三定律得，质点与质点之间的相互作用力为Fij=−Fji，而且二力作用在一条直线上，Fij与Fji到点的垂直距离都等于，所以作用力Fij与反作用力Fji对点的力矩大小相等方向相反，可以知道成对出现的内力对点的力矩矢量和为0，如果把求和与导数运算顺序交换，同时考虑到∑LdLidt为力矩的矢量和，成为质点系对参考点的角动量定理[4]。通过对质点系统角动量定理的讨论，我们可以总结出质点系统角动量定理的规律，并灵活地运用它来处理与角动量定理有关的问题，我们可以把角动量定理和其他物理现象联系起来正因为它所具有的这种普遍性，所以在解决问题中具有有普遍应用。

第四章质心系中的对称性及应用4.1质心系中的对称性非惯性系解决问题时我们通常会应用常用的坐标系，物理量的一些性质就会失去本来的面目，如果讨论碰撞和散射问题时，我们会发现物理量之间的关系具有更大的对称性。考虑到碰撞和散射问题，利用质心系统的特殊性，假定两个物体相对于质心的动量为p1、p2，相对于质心的总动量为0，即p1+p2，动量对称性就存在于两个物体之间。当两质点的速度不沿质心的时候，两质点对于质心的动量矩就会改变边，用J1、J2表示，由于J1=4.2质心系在碰撞问题中的应用两个物体之间的相互碰撞是物理学中的一个典型问题[10-11]。在分子运动过程中，碰撞问题是工程技术和日常生活中普遍存在的问题。如果两个不同的运动物体相互接触时，它们就会发生碰撞。但一般对物体碰撞的定义是：一旦两个物体相互靠近时，他们之间的相互作用就会改变原来的运动状态，动量和能量也发生了交换。通常，碰撞模型是一个小球。两个小球相互碰撞的小球在碰撞前其速度矢量必须在中心线上，碰撞时的冲击力和碰撞后两个小球的速度矢量也必须在中心线上。虽然两个小球在碰撞过程消耗的时间很短，但力量却很大，其他非碰撞力可以忽略不计。在这种情况下，虽然系统的动量处于守恒状态，但是动能并不是守恒状态。一般情况，分离速度小于接近速度，其比值定义为回收系数e，那么分离速度和接近速度是两个球之间的相对速度。然后讨论质心系统中质心碰撞的问题：质心系统中两个小球相互碰撞。建立了静态惯性参考系和质心坐标系。在静态惯性参考系中，系统的动量是守恒的，因为它不受外力的影响，两个球质心的速度是恒定的，所以质心坐标系是惯性参考系，质心相对于静态惯性参考系的速度是vc上式中vc代表质心的速度，两小球碰撞前相对于静止惯性参照系的速度用v1、v2表示，m1、m2分别代表两个小球的质量。在质心坐标系中，V1、V1V其中v1'、通过式（4-2）、（4-3）可以得出质心坐标系中两球碰前的趋近速度和碰后的分离速度分别为V1其中v1−ve=v由（4-5）可得：V1在质心系中，体系动量为零，故m1由（4-6）、（4-7）可得：V1（4-8）式表示质心系中两球碰撞后的速度公式。根据这些公式，我们可以得出结论：在质心系统中，两个球在前面碰撞后，分别反弹，速度等于碰撞前的速度乘以恢复系数.我们知道，在静止参照系中，两球碰撞后的速度为：v1由此可得，只要将（4-1）、（4-8）代入（4-3）并利用（4-4），就可得到（4-9）。在质心系中，体系碰撞前后的总动能分别为T=1T=e动能损失为∆T=T−T讨论：对于完全弹性碰撞（e=1），有V1由此可见，在质心系中，两个实验小球发生弹性碰撞，然后再以原速率反弹，体系动能守恒。对于完全非弹性碰撞（e=0），有V1∆T=∆T可见，在质心系中，如果两个实验小球发生完全非弹性碰撞，实验小球就会相对质心静止，动能就会消失。4.3质心系在两体问题中的应用最简单的粒子系统是两粒子系统，我们把它叫做两体问题，包括孤立系统和非孤立系统两个不同的系统。对于孤立系统而言，质心的速度可由初始条件求得，没有必要用动力学方程求解，。因此，只能得到两物体的相对运动方程。下面我们先来看两体系统的质心两体质心的平面坐标：xc=两体质心的速度：vcx=由此我们讨论孤立两体系统的动力学方程设质点1和质点2的质量分别为m1和m2，位矢分别为r1fa令aμ=得f12=μ下面我们对（1）式进行讨论（1）质点1与质点2所遵循的动力学方程的形式相同。（2）质点1和质点2在质心系中的动力学方程由方程式1表示。还有另外一种表达式：f12=其中a1c=在解决两体问题时利用质心系可以得到很好的简化如下例：质量为M的汽车放在水平面上。车里有个平台。把平台上的弹簧的一端固定在汽车的后壁上。压缩弹簧并用手固定弹簧位置。同时，将一个质量为m的小球放在用手固定的位置，小球就会被弹簧弹出，飞出平台，落在地板上。在下列条件下，计算球落在轿厢内的位置与平台边缘的水平距离之比：（1）轿厢固定；（2）轿厢不固定。计算中忽略了所有摩擦力。解：设弹簧弹性势能为E，小车固定，小球弹出时速度为v1，有小车不固定，小球弹出时相对速度为v2，有E=两次距离之比等于速度之比，即x综上所述，质心系统具有很大的优势。在研究两体碰撞、粒子散射、微粒碰撞（如正电子碰撞）等问题时，质心系统的作用是非常重要的。随着人们对质心参照系认识的深入和对质心参照系认识的加深，使用质心参照系更加方便。同时，对今后的科学研究也会产生较大的影响。

第五章总结与展望本文首先探讨了质心的基本概念和内涵，区分了“质心”和“重心”，阐明了两者的本质区别和外在联系，说明了质心比质心具有更广泛的内涵和外延，而质心质量只存在于一个均匀的重力场中，物体的线度很小，就与其重心重合。此外，通过对质心坐标系及其规律的讨论，阐明了质心坐标系的重要地位及其在力学中的重要意义。由于质心的特殊性质，质心系统有一个特殊的位置：（1）与质心参考系相比，目标系统的总动量为零，因此质心参考系又称为零动量参考系。然后在质心系统中简化动量定理。（2）无论质心系是否为惯性系，质点组对质心的动能定理在形式上与相对不动点的动能定理相同。（3）无论质心系是否为惯性系，一组质点对质心的动量矩定理在形式上与相对不动点的动量矩定理相同。（4）无论质心系是否惯性系，质心组的功能原理在形式上与相对不动点的功能原理是一致的。这些特殊性体现了素质心理系统的优越性，使我们在处理问题时更加得心应手。

参考文献[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京:高等教育出