(苏科版)2025届数学九年级上册《第2章 对称图形-圆》强化训练卷(含答案)

(苏科版)2025届数学九年级上册《第2章对称图形—圆》强化训练卷(含答案)一、选择题（每题3分，共30分）1.已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为4cm，那么直线l与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定答案：A解析：根据圆的半径\(r\)和圆心到直线的距离\(d\)的大小关系来判断直线与圆的位置关系。当\(d\ltr\)时，直线与圆相交；当\(d=r\)时，直线与圆相切；当\(d\gtr\)时，直线与圆相离。已知\(r=5cm\)，\(d=4cm\)，因为\(4\lt5\)，即\(d\ltr\)，所以直线\(l\)与圆相交。2.下列说法中，正确的是（）A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等答案：B解析：在同圆或等圆中，等弦所对的优弧和劣弧分别相等，A选项缺少“同圆或等圆”条件，错误；等弧是能够完全重合的弧，所以等弧所对的弦相等，B正确；在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，C选项缺少“同圆或等圆”条件，错误；在同圆或等圆中，弦相等所对的圆心角相等，D选项缺少“同圆或等圆”条件，错误。3.已知⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，则OP的取值范围是（）A.3≤OP≤5B.4≤OP≤5C.3＜OP＜5D.4＜OP＜5答案：A解析：过\(O\)作\(OC⊥AB\)于\(C\)，连接\(OA\)。因为\(OC⊥AB\)，根据垂径定理，\(AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times8=4\)。又因为圆\(O\)直径为\(10\)，所以半径\(OA=5\)。在\(Rt\triangleAOC\)中，根据勾股定理\(OC=\sqrt{OA^{2}AC^{2}}=\sqrt{5^{2}4^{2}}=3\)。当\(P\)与\(C\)重合时，\(OP\)最短，此时\(OP=3\)；当\(P\)与\(A\)（或\(B\)）重合时，\(OP\)最长，此时\(OP=5\)。所以\(3\leqOP\leq5\)。4.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A.20°B.40°C.50°D.80°答案：D解析：因为\(AB\parallelCD\)，所以\(\angleABC=\angleBCD=40^{\circ}\)。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，\(\angleBOD\)和\(\angleBCD\)都对着弧\(BD\)，所以\(\angleBOD=2\angleBCD=2\times40^{\circ}=80^{\circ}\)。5.一个扇形的弧长是\(20\picm\)，面积是\(240\picm^{2}\)，则这个扇形的圆心角是（）A.120°B.150°C.210°D.240°答案：B解析：设扇形的半径为\(Rcm\)，圆心角为\(n^{\circ}\)。扇形面积公式\(S=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)为弧长），已知\(l=20\picm\)，\(S=240\picm^{2}\)，则\(240\pi=\frac{1}{2}\times20\pi\timesR\)，解得\(R=24cm\)。又因为弧长公式\(l=\frac{n\piR}{180}\)，把\(l=20\pi\)，\(R=24\)代入可得\(20\pi=\frac{n\pi\times24}{180}\)，解得\(n=150\)，即圆心角是\(150^{\circ}\)。6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和\(\overset{\frown}{BC}\)的长分别为（）A.2，\(\frac{\pi}{3}\)B.\(2\sqrt{3}\)，\(\frac{2\pi}{3}\)C.\(\sqrt{3}\)，\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(2\sqrt{3}\)，\(\frac{4\pi}{3}\)答案：D解析：连接\(OB\)、\(OC\)。因为正六边形\(ABCDEF\)内接于\(\odotO\)，所以\(\triangleOBC\)是等边三角形，则\(OB=BC=4\)。在\(Rt\triangleOBM\)中，\(\angleBOM=30^{\circ}\)，\(OB=4\)，所以\(BM=\frac{1}{2}OB=2\)，根据勾股定理\(OM=\sqrt{OB^{2}BM^{2}}=\sqrt{4^{2}2^{2}}=2\sqrt{3}\)。因为圆心角\(\angleBOC=60^{\circ}\)，半径\(r=4\)，根据弧长公式\(l=\frac{n\pir}{180}\)，可得\(\overset{\frown}{BC}\)的长为\(\frac{60\pi\times4}{180}=\frac{4\pi}{3}\)。7.如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A.25°B.50°C.60°D.30°答案：A解析：因为\(\angleBOC\)和\(\angleBAC\)都对着弧\(BC\)，根据圆周角定理，\(\angleBAC=\frac{1}{2}\angleBOC\)。已知\(\angleBOC=50^{\circ}\)，所以\(\angleBAC=\frac{1}{2}\times50^{\circ}=25^{\circ}\)。因为\(AC\parallelOB\)，所以\(\angleOBA=\angleBAC=25^{\circ}\)。又因为\(OA=OB\)，所以\(\angleOAB=\angleOBA=25^{\circ}\)。8.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）A.\(24\picm^{2}\)B.\(48\picm^{2}\)C.\(24cm^{2}\)D.\(12\picm^{2}\)答案：A解析：圆锥的侧面积公式为\(S=\pirl\)（\(r\)为底面半径，\(l\)为母线长）。已知\(r=4cm\)，\(l=6cm\)，则侧面展开图的面积\(S=\pi\times4\times6=24\picm^{2}\)。9.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（\(a\gt3\)），半径为3，函数\(y=x\)的图象被⊙P截得的弦AB的长为\(4\sqrt{2}\)，则\(a\)的值是（）A.4B.\(3+\sqrt{2}\)C.\(3\sqrt{2}\)D.\(3+\sqrt{3}\)答案：B解析：过\(P\)作\(PC⊥AB\)于\(C\)，连接\(PA\)。因为\(PC⊥AB\)，根据垂径定理，\(AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)。已知\(PA=3\)，在\(Rt\trianglePAC\)中，根据勾股定理\(PC=\sqrt{PA^{2}AC^{2}}=\sqrt{3^{2}(2\sqrt{2})^{2}}=1\)。因为直线\(y=x\)的斜率为\(1\)，所以直线\(y=x\)与\(x\)轴正方向夹角为\(45^{\circ}\)，则\(\trianglePCD\)是等腰直角三角形（\(D\)为\(PC\)与\(x\)轴交点），所以\(CD=PC=1\)。又因为圆心\(P\)的横坐标为\(3\)，所以\(a=3+1=3+\sqrt{2}\)。10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A.45°B.50°C.60°D.75°答案：C解析：因为四边形\(ABCO\)是平行四边形，所以\(AB=OC\)，\(OA=BC\)。又因为\(OA=OC\)（都是圆的半径），所以\(AB=BC=OA=OC\)，即\(\triangleOAB\)和\(\triangleOBC\)都是等边三角形，所以\(\angleAOC=120^{\circ}\)。根据圆内接四边形对角互补，\(\angleADC+\angleABC=180^{\circ}\)，而\(\angleABC=\frac{1}{2}\angleAOC=60^{\circ}\)，所以\(\angleADC=180^{\circ}\angleABC=180^{\circ}120^{\circ}=60^{\circ}\)。二、填空题（每题3分，共18分）11.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则该扇形的面积为______\(cm^{2}\)（结果保留\(\pi\)）。答案：\(3\pi\)解析：根据扇形面积公式\(S=\frac{n\pir^{2}}{360}\)（\(n\)为圆心角度数，\(r\)为半径），已知\(n=120\)，\(r=3\)，则\(S=\frac{120\pi\times3^{2}}{360}=3\picm^{2}\)。12.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为______。答案：50°解析：因为\(AB\)是\(\odotO\)的直径，所以\(\angleC=90^{\circ}\)（直径所对的圆周角是直角）。在\(\triangleABC\)中，根据三角形内角和为\(180^{\circ}\)，可得\(\angleB=180^{\circ}\angleA\angleC=180^{\circ}40^{\circ}90^{\circ}=50^{\circ}\)。13.已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为______\(cm^{2}\)。答案：\(4\pi\)解析：圆锥的全面积\(S=S_{侧}+S_{底}\)。圆锥的侧面积公式为\(S_{侧}=\pirl\)（\(r\)为底面半径，\(l\)为母线长），底面积公式为\(S_{底}=\pir^{2}\)。已知\(r=1cm\)，\(l=3cm\)，则\(S_{侧}=\pi\times1\times3=3\picm^{2}\)，\(S_{底}=\pi\times1^{2}=\picm^{2}\)，所以全面积\(S=3\pi+\pi=4\picm^{2}\)。14.如图，在⊙O中，AB是直径，\(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}\)，∠BOC=40°，则∠AOE=______。答案：60°解析：因为\(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}\)，\(\angleBOC=40^{\circ}\)，所以\(\angleCOD=\angleDOE=40^{\circ}\)。因为\(AB\)是直径，所以\(\angleAOB=180^{\circ}\)，则\(\angleAOE=180^{\circ}\angleBOC\angleCOD\angleDOE=180^{\circ}40^{\circ}40^{\circ}40^{\circ}=60^{\circ}\)。15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______。答案：\(4\sqrt{7}\)解析：连接\(OC\)。因为\(AB\)是\(\odotO\)的直径，\(AB=8\)，所以\(OC=\frac{1}{2}AB=4\)。因为\(CD⊥AB\)，根据垂径定理，\(CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\times6=3\)。在\(Rt\triangleOCE\)中，根据勾股定理\(OE=\sqrt{OC^{2}CE^{2}}=\sqrt{4^{2}3^{2}}=\sqrt{7}\)。所以\(BE=OBOE=4\sqrt{7}\)。16.如图，在平面直角坐标系中，已知点\(A(1,0)\)，\(B(1a,0)\)，\(C(1+a,0)\)（\(a\gt0\)），点\(P\)在以\(D(4,4)\)为圆心，\(1\)为半径的圆上运动，且始终满足\(\angleBPC=90^{\circ}\)，则\(a\)的最大值是______。答案：6解析：因为\(\angleBPC=90^{\circ}\)，所以点\(P\)在以\(BC\)为直径的圆\(O\)上。\(BC=(1+a)(1a)=2a\)，则圆\(O\)的圆心坐标为\((1,0)\)，半径为\(a\)。已知点\(P\)在以\(D(4,4)\)为圆心，\(1\)为半径的圆上运动，当圆\(O\)与圆\(D\)外切时，\(a\)取得最大值。此时\(OD=\sqrt{(41)^{2}+4^{2}}=5\)，则\(a_{max}=5+1=6\)。三、解答题（共72分）17.（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB。（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=30°，求线段OE的长。解：（1）设⊙O的半径为\(x\)，则\(OE=x8\)。因为\(AB\)是⊙O的直径，弦\(CD⊥AB\)，根据垂径定理，\(CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\times24=12\)。在\(Rt\triangleOCE\)中，由勾股定理得\(OC^{2}=OE^{2}+CE^{2}\)，即\(x^{2}=(x8)^{2}+12^{2}\)。展开得\(x^{2}=x^{2}16x+64+144\)，移项得\(16x=64+144\)，\(16x=208\)，解得\(x=13\)。所以⊙O的半径为13。（2）因为\(\angleDMB\)和\(\angleDOC\)都对着弧\(BD\)，根据圆周角定理，\(\angleDOC=2\angleDMB\)。已知\(\angleDMB=30^{\circ}\)，所以\(\angleDOC=60^{\circ}\)。因为\(CD⊥AB\)，所以\(\angleDOE=\frac{1}{2}\angleDOC=30^{\circ}\)。在\(Rt\triangleODE\)中，\(DE=\frac{1}{2}CD=12\)。因为\(\tan\angleDOE=\frac{DE}{OE}\)，所以\(OE=\frac{DE}{\tan\angleDOE}=\frac{12}{\tan30^{\circ}}=12\sqrt{3}\)。18.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积。（1）证明：连接\(OD\)。因为\(OB=OD\)，所以\(\angleB=\angleODB\)。又因为\(AB=AC\)，所以\(\angleB=\angleC\)，则\(\angleODB=\angleC\)，所以\(OD\parallelAC\)。因为\(DF⊥AC\)，所以\(DF⊥OD\)。又因为\(OD\)是⊙O的半径，所以直线\(DF\)是⊙O的切线。（2）解：连接\(OE\)。因为\(\angleCDF=22.5^{\circ}\)，\(DF⊥AC\)，所以\(\angleC=67.5^{\circ}\)，则\(\angleB=\angleC=67.5^{\circ}\)，\(\angleA=180^{\circ}2\times67.5^{\circ}=45^{\circ}\)。因为\(OA=OE\)，所以\(\angleAEO=\angleA=45^{\circ}\)，\(\angleAOE=90^{\circ}\)。已知⊙O的半径为4，则\(S_{扇形AOE}=\frac{90\pi\times4^{2}}{360}=4\pi\)，\(S_{\triangleAOE}=\frac{1}{2}\times4\times4=8\)。所以\(S_{阴影}=S_{扇形AOE}S_{\triangleAOE}=4\pi8\)。19.（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE。（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长。（1）解：直线\(DE\)与⊙O相切。理由如下：连接\(OD\)。因为\(OA=OD\)，所以\(\angleA=\angleADO\)。因为\(EF\)是\(BD\)的垂直平分线，所以\(EB=ED\)，则\(\angleB=\angleEDB\)。因为\(\angleC=90^{\circ}\)，所以\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，那么\(\angleADO+\angleEDB=90^{\circ}\)。又因为\(\angleADO+\angleEDB+\angleODE=180^{\circ}\)，所以\(\angleODE=90^{\circ}\)，即\(OD⊥DE\)。因为\(OD\)是⊙O的半径，所以直线\(DE\)与⊙O相切。（2）解：设\(DE=x\)，则\(EB=x\)，\(CE=8x\)。在\(Rt\triangleABC\)中，根据勾股定理\(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10\)。因为\(OA=2\)，所以\(AD=4\)，\(BD=ABAD=104=6\)。过\(D\)作\(DG⊥BC\)于\(G\)，则\(DG\parallelAC\)，所以\(\triangleBDG\sim\triangleBAC\)。\(\frac{BD}{BA}=\frac{DG}{AC}=\frac{BG}{BC}\)，即\(\frac{6}{10}=\frac{DG}{6}=\frac{BG}{8}\)，解得\(DG=\frac{18}{5}\)，\(BG=\frac{24}{5}\)。\(EG=EBBG=x\frac{24}{5}\)。在\(Rt\triangleDEG\)中，根据勾股定理\(DE^{2}=DG^{2}+EG^{2}\)，即\(x^{2}=(\frac{18}{5})^{2}+(x\frac{24}{5})^{2}\)。展开得\(x^{2}=\frac{324}{25}+x^{2}\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}\)。移项得\(\frac{48}{5}x=\frac{324+576}{25}\)，\(\frac{48}{5}x=\frac{900}{25}=36\)，解得\(x=\frac{15}{4}\)。所以线段\(DE\)的长为\(\frac{15}{4}\)。20.（12分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于\(A(6,0)\)，\(B(0,8)\)两点。（1）求直线AB的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得\(S_{\trianglePDE}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\)？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）设直线\(AB\)的函数表达式为\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）。把\(A(6,0)\)，\(B(0,8)\)代入得\(\begin{cases}6k+b=0\\b=8\end{cases}\)，把\(b=8\)代入\(6k+b=0\)得\(6k8=0\)，\(6k=8\)，解得\(k=\frac{4}{3}\)。所以直线\(AB\)的函数表达式为\(y=\frac{4}{3}x8\)。（2）因为\(\angleAOB=90^{\circ}\)，所以\(AB\)是⊙M的直径。由勾股定理得\(AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}}=10\)，则半径\(r=5\)，\(M\)点坐标为\((3,4)\)。因为抛物线对称轴平行于\(y\)轴且经过点\(M\)，所以对称轴为\(x=3\)。设抛物线的函数表达式为\(y=a(x+3)^{2}+h\)。因为顶点\(C\)在⊙M上，所以\(C(3,1)\)，则\(h=1\)。把\(B(0,8)\)代入\(y=a(x+3)^{2}+1\)得\(8=a(0+3)^{2}+1\)，\(9a=9\)，解得\(a=1\)。所以抛物线的函数表达式为\(y=(x+3)^{2}+1=x^{2}6x8\)。（3）令\(y=0\)，则\(x^{2}6x8=0\)，即\(x^{2}+6x+8=0\)，\