(苏科版)2025~2026学年九年级上册《第1章 一元二次方程》例题(含答案)

(苏科版)2025~2026学年九年级上册《第1章一元二次方程》例题精选(含答案)一元二次方程的定义例1：下列方程中，哪些是一元二次方程？(1)$3x^2+7=0$(2)$ax^2+bx+c=0$(3)$(x2)(x+5)=x^21$(4)$3x^2\frac{5}{x}=0$解：(1)$3x^2+7=0$，只含有一个未知数$x$，并且未知数的最高次数是$2$，是整式方程，所以它是一元二次方程。(2)$ax^2+bx+c=0$，当$a=0$时，方程变为$bx+c=0$，未知数最高次数是$1$，不是一元二次方程；只有当$a\neq0$时，它才是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程。(3)先将方程$(x2)(x+5)=x^21$展开：\[\begin{align}x^2+5x2x10&=x^21\\x^2+3x10&=x^21\\x^2x^2+3x&=1+10\\3x&=9\end{align}\]未知数最高次数是$1$，所以它不是一元二次方程。(4)$3x^2\frac{5}{x}=0$，方程中含有分式$\frac{5}{x}$，不是整式方程，所以它不是一元二次方程。综上，(1)是一元二次方程。一元二次方程的一般形式例2：将方程$3x(x1)=5(x+2)$化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。解：先将方程$3x(x1)=5(x+2)$展开：\[\begin{align}3x^23x&=5x+10\\3x^23x5x10&=0\\3x^28x10&=0\end{align}\]所以，一元二次方程的一般形式是$3x^28x10=0$，其中二次项系数是$3$，一次项系数是$8$，常数项是$10$。一元二次方程的解例3：已知关于$x$的一元二次方程$x^2+mx6=0$的一个根是$2$，求方程的另一个根及$m$的值。解：设方程的另一个根为$n$。根据韦达定理，在一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$中，两根$x_1$，$x_2$有$x_1x_2=\frac{c}{a}$，$x_1+x_2=\frac{b}{a}$。对于方程$x^2+mx6=0$，$a=1$，$b=m$，$c=6$。已知一个根是$2$，另一个根是$n$，则$2n=\frac{6}{1}=6$，解得$n=3$。又因为$2+n=\frac{m}{1}$，把$n=3$代入可得$2+(3)=m$，即$1=m$，解得$m=1$。所以，方程的另一个根是$3$，$m$的值是$1$。直接开平方法解一元二次方程例4：解方程$(x3)^2=25$。解：根据平方根的定义，若$x^2=a(a\geq0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$。对于方程$(x3)^2=25$，两边同时开平方可得：$x3=\pm\sqrt{25}=\pm5$当$x3=5$时，$x=5+3=8$；当$x3=5$时，$x=5+3=2$。所以，方程的解为$x_1=8$，$x_2=2$。配方法解一元二次方程例5：用配方法解方程$x^2+6x7=0$。解：第一步，移项：$x^2+6x=7$。第二步，配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$6$，一半是$3$，平方是$9$，则$x^2+6x+9=7+9$，即$(x+3)^2=16$。第三步，开平方：$x+3=\pm\sqrt{16}=\pm4$。第四步，求解：当$x+3=4$时，$x=43=1$；当$x+3=4$时，$x=43=7$。所以，方程的解为$x_1=1$，$x_2=7$。公式法解一元二次方程例6：用公式法解方程$2x^24x1=0$。解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{b\pm\sqrt{b^24ac}}{2a}$。在方程$2x^24x1=0$中，$a=2$，$b=4$，$c=1$。先计算判别式$\Delta=b^24ac=(4)^24\times2\times(1)=16+8=24$。将$a=2$，$b=4$，$\Delta=24$代入求根公式可得：\[\begin{align}x&=\frac{(4)\pm\sqrt{24}}{2\times2}\\&=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}\\&=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}\end{align}\]所以，方程的解为$x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2\sqrt{6}}{2}$。因式分解法解一元二次方程例7：解方程$x^25x+6=0$。解：对左边进行因式分解，$x^25x+6=(x2)(x3)$，则原方程可化为$(x2)(x3)=0$。根据“若两个数的积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x2=0$或$x3=0$。当$x2=0$时，$x=2$；当$x3=0$时，$x=3$。所以，方程的解为$x_1=2$，$x_2=3$。一元二次方程根的判别式例8：已知关于$x$的一元二次方程$x^22x+m1=0$有两个不相等的实数根，求$m$的取值范围。解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^24ac$。当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根。在方程$x^22x+m1=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=m1$。因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta\gt0$，即$(2)^24\times1\times(m1)\gt0$。\[\begin{align}44(m1)&\gt0\\44m+4&\gt0\\84m&\gt0\\4m&\gt8\\m&\lt2\end{align}\]所以，$m$的取值范围是$m\lt2$。一元二次方程的应用例9：某商场销售一种商品，已知这种商品的进价为每件$60$元，市场调查发现，在一段时间内，销售量$y$（件）与销售单价$x$（元）之间的关系式为$y=2x+200$。设这种商品在这段时间内的销售利润为$w$元，求当销售单价为多少时，销售利润最大，最大利润是多少？解：根据利润公式$w=(x进价)\times销售量$，已知进价为$60$元，销售量$y=2x+200$，则：\[\begin{align}w&=(x60)(2x+200)\\&=2x^2+200x+120x12000\\&=2x^2+320x12000\\&=2(x^2160x+6000)\\&=2(x^2