江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二下学期期中学情调研测试数学试卷（含答案）

学年第二学期高二年级期中学情调研测试数学试题（考试时间：分钟试卷满分：分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，向量，且，则（）A.5B.1C.-1D.-52.若，则（）A.3B.4C.5D.63.已知函数，则（）A.2B.0C.-1D.14.已知（）A.-7B.1C.5D.75.有五名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起的排法数是（）A.120B.72C.36D.126.设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A.B.C.D.7.如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.8.已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为正整数，且，则下列等式正确的是（）A.B.C.D.10.已知函数，则（）A.当时，的单调减区间为B.当时，对任意，都有C.当时，在上的值域为D.若有三个不同的零点，则11.如图，在长方体中，为四边形内部（不含边界）的一个动点，且平面，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.点到棱中点的距离为定值C.与平面所成角的正切值为4时，D.的最小值为14三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分把答案填在答题卡中的横线上.12.已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）.13.已知函数在处取得极大值，则实数的值为__________.14.若存在使得成立，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.（1）设，试用向量表示；（2）求线段的长度.16.（本题满分15分）某植物园大门有编号共5个检票口，现有一行6人需进园游玩.（1）若每人随机选择一个检票口进园，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）（26人中有一老人需由家人A6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）（36人均在1号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则6人共有多少种不同的进园方法？（用数字作答）17.（本题满分15分）已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）函数的导函数为，求函数在区间上的最小值.18.（本题满分17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面.（1）求证：；（2）已知点为线段上的动点（不与重合），①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值；②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置.19.（本题满分17分）已知.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）讨论函数是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（3）当时，求证：.学年第二学期高二年级期中学情调研测试数学试题参考答案一､单选题：1.A2.C3.D4.D5.B6.C7.A8.D二､多选题：9.BC10.ACD11.ABD三､填空题：12.13.214.四､解答题：15.（本题满分13分）（1）（2）16.（本题满分15分）（1）由题可知，每人均有5种选法，由分步计数原理知，共种选法；（2）由题可将老人和家人A视为一个整体与另外4人排序，共有种选法；（3）由题，可将两个小孩优先排在中间任意两个位置上，有种；剩余4人任意排在其余4个位置上，有种；由分步计数原理知，共有种排法.答：以上三个情况分别有15625种不同的选法，120种不同的选法，288种不同的排法.17.（本题满分15分）（1）由题知，则，得，则，代入切线方程得，故；（2）由（1）知，令，则令，得或，①当时，若单调递减，故；②当时，若单调递减，若单调递增，故；综上，18.（本题满分17分）（1）平面平面，四边形为正方形如图，以为正交基底建立空间直角坐标系则（2）（1）为的中点，平面的一个法向量为直线与平面所成角的正弦值为直线与平面所成角的余弦值为.（2）设设平面的一个法向量为.，则平面的一个法向量为令则当时，即时，平面与平面的夹角余弦值最大，即平面与平面的夹角最小，此时为的中点.19.（本题满分17分）（1）由题意知：对恒成立，即，由于在区间上为增函数，则，故；（2）由（1）知①当时，恒成立，在上单调递增，无极值；②当时，令，得，0单调递减极小值单调递增此时，函数在处取得极小值，无极大值综上所述，当时，无极值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点.（3）解法一：由（2）知，当时，，则，即，即，所以要证，只要证，也即证：，设，则在区间恒成立，所以在区间上为增函数，则，故原不等式成立.解法二：当时，，命题成立；当时，要证，只要证，也即证：，由（2）知，当时，，则，即，也即证：，则，令，当时，恒成立，则在区间上为减函数，所以，即，所以在区间上为减函数，则，故原不等式成立.解法三：由（1）知，当时，在区间上单调