一元线性回归模型2025届高考数学一轮复习专练66变量的相关性与

六十六变量的相关性与一元线性回归模型

（时间：45分钟分值:100分）

【基础落实练】

1.（5分）下列有关线性回归的说法，不正确的是（）

A.具有相关关系的两个变量不是因果关系

B.散点图能直观地反映数据的相关程度

C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系

D.任一组数据都有经验回归方程

【解析】选D.根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确；

散点图能直观地描述具有相关关系的两个变量的相关程度,且回归直线最能代表

它们之间的相关关系，所以B,C正确；

具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程，所以D不正确.

2.（5分）下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额（单位:万元）的折线

图根据该折线图判断，下列结论正确的是（）

3

350

200

250

100

)50

00

50

A.为预测该地2026年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据建立

回归模型更可靠

B为预测该地2026年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立

回归模型更可靠

C.投资额与年份负相关

D.投资额与年份的相关系数r<0

【解析】选B.因为2009年之前与2010年之后投资额变化较大,故为预测该地2026

年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠，所

以A错误,B正确;随年份的增长，投资额总体上在增长，所以投资额与年份正相

关,>0,故C,D错误.

3.（5分）某单位为了了解办公楼用电量MkW-h）与气温x（°C）之间的关系，随机统计

了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：

气温（℃）181310-1

用电量（kW・h）24343864

由表中数据得到经验回归方程』-2x+a,当气温为4C时预测用电量为（）

A.68kWhB.52kWhC.l2kW-hD.28kWh

【解析】选A.由题干表格可知±=10,片40,

根据经验回归直线必过优力得』40+20=60,所以经验回归方程为上・2x+60,

因此当x=-4时j=68.

4.（5分）下列命题是真命题的为（）

A.经验回归方程归舐+“一定不过样本点

B.可以用样本相关系数r来刻画两个变量x和歹线性相关程度的强弱/的值越小,

说明两个变量线性相关程度越弱

C.在回归分析中，决定系数辟=0.80的模型比决定系数*=（）98的模型拟合的效果

要好

D.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

【解析】选D.对于A,经验回归方程不一定经过其样本点，但一定经过行/所以A

是假命题；

对于B,由样本相关系数的意义，当|川越接近0时，表示变量y与x之间的线性相关

程度越弱，所以B是假命题；

对于C,用决定系数R2的值判断模型的拟合效果点越大,模型的拟合效果越好，所

以C是假命题；

对于D,由残差的统计学意义知,D是真命题.

5.（5分）（多选题）（2023・济南模拟）某同学将收集到的六对数据制作成散点图，得到

其经验回归方程为/4=0.6&什邑计算其相关系数为人决定系数为.经过分析确

定点F为“离群点加它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为

勿谷舐+0.68,相关系数为已决定系数为用.下列结论正确的是（）

y

尸

•C加E

・广

~o~

A.r2>n>0B.Rj泗

C.0<S<0.68D.fc>0.68

【解析】选AC.由题图可知两变量呈正相关，故门＞0,2＞0,去掉“离群点”后相关性

更强，所以打。，故用＜底.故A正确,B错误;根据题图,当去掉F点后，直线基本在

4,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向x轴偏向，故斜率会变小，因

此OvMO.68,故C正确,D错误.

6.（5分）侈选题）（2023・福州模拟）为研究混凝土的抗震强度y与抗压强度x的关系,

某研究部门得到下表的样本数据:

X140150170180195

y23a262828

若y与x线性相关，且经验回归方程为20.lx+9.1,则下列说法正确的是（）

A.〃=24B.y与x正相关

C.y与x的相关系数为负数D.若x=220,则产31.1

140+150+170+180+19523+Q+26+28+28Q+105

【解析】选AB.依题意,H■=167,y=

555

由岂竺o.1x167+9.1，解得。=24,故A正确;

因为经验回归方程20.Lx+9.1中x的系数为正，所以y与x正相关，且相关系数为

正数，故B正确,C错误;

当x=220时小的值约为31.1,故D错误.

7.（5分）为了研究疫苗的有效率,在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000

名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同

条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组,各组感染人数如下：

调查人数x300400500600700

感染人数y33667

并求得y与x的经验回归方程为』0.01卜+4同期，在人数为10000的条件下以拟

合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为M注射疫苗后仍被感染的人数记

为凡则估计该疫苗的有效率为.（疫苗的有效率为喘，结果保留3位有效

数字）

【解析】由题表中的数据可得元=500,歹=5,故。=5・0.01b500=・0.5,故20.01b10

000-0.5=110-0.5=109.5,而〃=20,故疫苗的有效率为1-^-^0.817.

JLU

答案0817

其经验回归方程是2舐+40,则相应点(911)的残差为.

【解析】因为±=|'(9+9.5+10+10.5+11尸10,歹*<(11+10+8+6+5尸8,

所以8=10讣40,解得上3.2,所以,=・3.2x+40,当x=9时,知1.2,

所以残差为11-H.2-0.2.

答案：-0.2

9.(10分)(2020・全国〃•卷节选)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生

动物数量有所增加.为调宜该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200

个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本

数据8,为(片12…,20),其中x-和y分别表示第/个样区的植物覆盖面积(单位:公

202020

顷)和这种野生动物的数量，并计算得Z菁=60,200,Za<)2=80,

i=li=li=l

20_20__

=9000,X(xz-x)(yt.-y)=800.

i=t1=1

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区

这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；

(2)求样本2…,20)的相关系数(精确到0.01).

Z（毛-X）（乂-歹）—

附:相关系数r=「小〃,V2-1.414.

柩（Mr）2t（凹一/2

Vi=l

1201

【解析】（I）样区这种野生动物数量的平均数为玄200=60,

Z1=1MU'I

地块数为200,该地区这种野生动物数量的估计值为200x60=12000.

20__

2（七7）（乂7）Rnn2后

⑵样本（x加的相关系数r=木_2。_=^80><9000-3"0.94.

\区（苍7）2（乂-4

Vi=li=l

【能力提升练】

10.（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对43两个变量的线性相关性做了试验,

并用回归分析方法分别求得相关系数〃与残差平方和九如表：

\甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

则哪位同学的试验结果体现的人B两变量有更强的线性相关性（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【解析】选DM越接近1"越小，线性相关性越强.

11.（5分）（多选题）（2023・唐山模拟）某制衣品牌为使成衣尺寸更精准,选择了10名

志愿者，对其身高（单位:cm）和臂展（单位:cm）进行了测量，这10名志愿者身高和臂

展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的均值为176cm,根据这10名志愿

者的数据求得臂展〃关于身高v的经验回归方程为"1.2—34,则下列结论正确的

是（）

展

的极差

于臂展

极差小

身高的

志愿者

10名

A.这

关

呈负相

和臂展

的身高

志愿者

10名

B.这

.2cm

为176

均值

展的

者臂

志愿

10名

C.这

cm

为158

臂展

人的

cm的

为160

身高

估计

程可

归方

验回

据经

D根

大值,

高的最

大于身

最大值

臂展的

志愿者

0名

为这1

A,因

于选项

D.对

】选A

【解析

的

臂展

小于

极差

身高的

愿者

0名志

以这1

值，所

最小

高的

于身

值小

最小

展的

而臂

确；

A正

极差，故

错

，故B

关系

相关

呈正

臂展

高和

的身

愿者

名志

这10

,所以

1.2>0

,因为

选项B

对于

误；

臂展的

愿者

名志

这10

,所以

76cm

值为1

的均

身高

愿者

名志

这10

,因为

选项C

对于