正方形（第2课时）课件2025~2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形（第2课时）八年级下册教学目标重点：正方形的判定方法及其应用.难点：正方形判定的探究、证明和应用.1.掌握正方形的判定方法并灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系.回顾旧知有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等平行四边形有一个直角正方形1.填空.()()()()()()有一个直角一组邻边相等回顾旧知平行四边形2.矩形的判定方法有哪些？法①有一个直角法②对角线相等矩形四边形四边形法③四个角都是直角四边形回顾旧知平行四边形3.菱形的判定方法有哪些？法①有一组邻边相等法②对角线互相垂直四边形四边形法③四条边都相等四边形菱形新课学习思考：正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形；满足什么条件的矩形是正方形？判定方法1：有一组邻边相等矩形满足什么条件就是正方形呢？猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.新课学习猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO.∵AC⊥DB,∴AD=AB.∵在矩形ABCD中，AD=AB∴矩形ABCD是正方形.已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB.求证：矩形ABCD是正方形.新课学习判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形.ABCDO几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD∴四边形ABCD是正方形判定方法1：有一组邻边相等判定方法2：对角线互相垂直新课学习思考：菱形满足什么条件就是正方形？判定方法：有一个角是直角菱形满足什么条件也是正方形？猜想：对角线相等的菱形是正方形.新课学习猜想：对角线相等的菱形是正方形.ABCDO已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB∴AO=BO=CO=DO∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°∴四边形ABCD是正方形.新课学习判定方法2：对角线相等的菱形是正方形.ABCDO几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD∴四边形ABCD是正方形判定方法3：有一个角是直角判定方法4：对角线相等新课学习5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线互相垂直一组邻边相等或对角线互相垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结例题精讲例1(教材P76练习T1∙节选)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？解：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝∠B＝90°.由折叠的性质，得∠AFE＝∠B＝90°∴四边形ABEF是矩形.由折叠的性质，得AB＝AF.

∴四边形ABEF是正方形.要证正方形：原图形是矩形，则证该图形是菱形；变式训练变式1如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G.

求证：矩形ABCD为正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAE＝∠B＝90°.∵AF⊥DE，∴∠AGD＝∠DAE＝90°.∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠ADE＋∠DAF＝90°.∴∠BAF＝∠ADE.

又∵∠B＝∠DAE，AF＝DE，∴△ABF≌△DAE(AAS).∴AD＝AB.

∴矩形ABCD是正方形.∵四边形ABCD是矩形，例题精讲例2

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.

求证：四边形AECF是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.

∵BE＝DF∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.∵OE＝OA∴菱形AECF是正方形.

∴四边形AECF是菱形.∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.

要证正方形：原图形是菱形，则证该图形是矩形；变式训练变式2如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝BE.

求证：(1)四边形BECF是菱形；(2)四边形BECF是正方形.证明：(1)∵EF垂直平分BC∴BE＝EC，BF＝CF.

∴BE＝EC＝CF＝BF.

∴四边形BECF是菱形.又∵CF＝BE(2)∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°.∵四边形BECF是菱形，∴∠EBC＝∠FBC＝45°.∴∠EBF＝2∠EBC＝90°.∴菱形BECF是正方形.巩固练习1.如图，已知四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是(

D

)A.

AC＝BDB.

AB⊥BCC.

AD＝BCD.

AC⊥BDD2.

如图，▱ABCD的对角线互相垂直，要使▱ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是

⁠

.(写一个即可)∠ABC＝90°(答案不唯一)

巩固练习3.

如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O.

过

点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于

点E，求证：四边形CODE是正方形.证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形.∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°.∴四边形CODE是正方形.巩固练习4.

(教材P78练习T2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

求证：四边形CEDF是正方形.证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠FCE＝∠CED＝∠DFC＝90°.∴四边形CEDF是矩形.∵CD平分∠ACB，∴∠DCE＝45°.在Rt△CED中，∠CDE＝90°－∠DCE＝45°.∴∠CDE＝∠DCE.

∴DE＝CE.

∴四边形CEDF是正方形.运用拓展5.

(教材P77例6∙改编)如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN.

试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论.解：四边形EFMN是正方形.证明如下：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE.

∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF(SAS).∴EN＝NM＝MF＝FE，∠ENA＝∠DMN.

∴四边形EFMN是菱形.又∵∠DMN＋∠DNM＝90°，∴∠ENA＋∠DNM