人教版八年级下学期数学第21章四边形第4节正方形及其性质知识点+练习题以及答案

第二十一章四边形第4节：正方形及其性质知识点（1）正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.（2）性质：①.正方形的四个角都是直角,四条边相等.②.正方形的对角线相等且互相垂直平分.（3）正方形的判定①对角线互相垂直的矩形是正方形.②对角线相等的菱形是正方形.练习题第1课时正方形及其性质１．下列条件可以利用定义说明平行四边形ＡＢＣＤ是正方形的是（）Ａ．ＡＢ＝ＣＤ，∠Ａ＝９０°Ｂ．ＡＢ＝ＡＤ，∠Ａ＝９０°Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝９０°Ｄ．以上均错２．如图，延长正方形ＡＢＣＤ的边ＢＡ至点Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连接ＣＥ，则∠Ｅ的度数为（）Ａ．２２.５°Ｂ．２５°Ｃ．３０°Ｄ．４０°３．如图，在边长为３的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在边ＢＣ上，以点Ｄ为圆心，ＤＣ长为半径画弧，交线段ＤＥ于点Ｆ．若ＥＦ＝ＥＢ，则ＣＥ的长为（）Ａ．２Ｂ．52Ｃ．178４．【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ＡＢＣＤ上剪下机翼状纸板（阴影部分），点Ｅ在对角线ＢＤ上．【数学理解】（１）该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ＡＢＥ≌△ＣＢＥ的证明过程．（２）若裁剪过程中满足ＤＥ＝ＤＡ，求“机翼角”∠ＢＡＥ的度数．５．如图，在正方形ＡＢＣＤ内作∠ＥＡＦ＝４５°，ＡＥ交ＢＣ于点Ｅ，ＡＦ交ＣＤ于点Ｆ，连接ＥＦ．若ＡＢ＝５，ＤＦ＝２，则ＢＥ的长为（）Ａ．157Ｂ．53Ｃ．11６．如图①，“蝶几图”是分割正方形的一种方式，以正方形为模分割为长斜（等腰梯形），右半斜和左半斜（直角梯形），小三斜，大三斜和闺（均为等腰直角三角形），Ｉ，Ｊ分别为ＥＫ，ＧＫ的中点．现取右半斜两张，左半斜两张和小三斜三张，拼成图②所示的“飞鸿”，若图①中大正方形的边长为４，则“飞鸿”的高度ｈ为．７．如图，正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＣＤ上，且ＢＥ＝ＤＦ．（１）求证：四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．（２）连接ＥＦ，若ＢＣ＝１２，ＢＥ＝５，求ＥＦ的长．第2课时正方形的判定１．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（）Ａ．对角线互相平分的四边形Ｂ．有三个角是直角的四边形Ｃ．有一组邻边相等的平行四边形Ｄ．对角线相等的菱形２．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ与ＢＤ互相平分且交于点Ｏ．要使得四边形ＡＢＣＤ是正方形，则还需增加的一个条件是（只填一个答案即可）．３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，ＡＮ是△ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，ＣＥ⊥ＡＮ于点Ｅ．若，则四边形ＡＤＣＥ是一个正方形．请从①ＢＤ＝ＡＤ；②∠ＤＡＥ＝９０°；③ＣＤ＝ＣＥ中选择一个作为条件填在横线上，使结论成立，并说明理由．４．如图，▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，给出四个条件：①ＡＢ＝ＢＣ；②∠ＡＢＣ＝９０°；③ＯＡ＝ＯＢ；④ＡＣ⊥ＢＤ．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定▱ＡＢＣＤ是正方形的有（）Ａ．３组Ｂ．４组Ｃ．５组Ｄ．６组５．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｍ，Ｎ分别是边ＡＤ，ＢＣ的中点，Ｅ，Ｆ分别是边ＢＭ，ＣＭ的中点，当ＡＢ∶ＡＤ＝时，四边形ＭＥＮＦ是正方形．6．如图，将平行四边形ＡＢＣＤ沿ＢＦ折叠，使点Ｃ恰好落在边ＡＤ上的点Ｅ处，若此时将边ＡＢ沿ＢＥ进行折叠，点Ａ又恰好落在点Ｆ处，则平行四边形ＡＢＣＤ的较小内角为（）Ａ．３６°Ｂ．３０°Ｃ．７２°Ｄ．６０°7．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，将△ＡＤＣ沿ＡＣ翻折后，点Ｄ恰好落在ＤＣ的延长线上的点Ｅ处，若∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝２，则平行四边形ＡＢＣＤ的面积为．8．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ的坐标为（１０，８），过点Ａ作ＡＢ⊥ｘ轴于点Ｂ，ＡＣ⊥ｙ轴于点Ｃ，点Ｄ在ＡＢ上．将△ＣＡＤ沿直线ＣＤ翻折，点Ａ恰好落在ｘ轴上的点Ｅ处，则点Ｄ的坐标为）．9．如图，将矩形ＡＢＣＤ沿着对角线ＢＤ折叠，使点Ｃ落在Ｃ′处，ＢＣ′交ＡＤ于点Ｅ．（１）若∠ＤＢＣ＝２５°，求∠ＡＤＣ′的度数．（２）若ＡＢ＝４，ＡＤ＝８，求△ＢＤＥ的面积．10．如图，在菱形纸片ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，点Ｅ在ＢＣ边上，将菱形纸片ＡＢＣＤ沿ＤＥ折叠，使点Ｃ落在点Ｃ′处，且ＤＣ′是ＡＢ的垂直平分线，则∠ＤＥＣ的大小为．11．如图，已知菱形ＡＢＣＤ的边长为３，∠Ａ＝６０°，点Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ，ＡＤ上．若将△ＡＥＦ沿直线ＥＦ翻折，使得点Ａ恰好落在ＣＤ边的中点Ｇ处，则ＡＦ的长为．12．如图，正方形纸片ＡＢＣＤ的边长为１０，Ｅ是边ＣＤ上一点，连接ＡＥ，折叠该纸片，使点Ａ落在ＡＥ上的Ｇ点处，并使折痕经过点Ｂ，得到折痕ＢＦ，点Ｆ在ＡＤ上，若ＤＥ＝４，则ＧＥ的长为．１3．如图，在▱ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，ＢＣ＝２ＡＢ，将ＡＢ绕点Ａ逆时针旋转α（０°＜α＜３６０°）得到ＡＰ，连接ＰＣ，ＰＤ．当△ＰＣＤ为直角三角形时，α的度数为９０°或１８０°或２７０°．14．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，点Ｅ在边ＣＤ上，且ＣＥ＝２ＤＥ，将△ＡＤＥ沿ＡＥ翻折得到△ＡＦＥ，延长ＥＦ交边ＢＣ于点Ｇ，连接ＡＧ，ＣＦ，求ＢＧ的长．15．如图，四边形ＡＢＣＤ为正方形，Ｅ为对角线ＡＣ上一点，连接ＤＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＤＥ，交射线ＢＣ于点Ｆ，以ＤＥ，ＥＦ为邻边作矩形ＤＥＦＧ，连接ＣＧ．（１）求证：矩形ＤＥＦＧ是正方形．（２）若ＡＢ＝２，ＣＥ＝2，求ＣＧ的长度．（３）当线段ＤＥ与正方形ＡＢＣＤ的某条边的夹角是３２°时，求出∠ＥＦＣ的度数16．已知，在▱ＡＢＣＤ中，动点Ｐ在ＡＤ边上，以每秒０．５ｃｍ的速度从点Ａ向点Ｄ运动．（１）如图１，在运动过程中，若ＣＰ平分∠ＢＣＤ，且满足ＣＤ＝ＣＰ，求∠Ｂ的度数．（２）如图２，另一动点Ｑ在ＢＣ边上，以每秒２ｃｍ的速度从点Ｃ出发，在Ｂ，Ｃ间往返运动，Ｐ，Ｑ两点同时出发，当点Ｐ到达点Ｄ时停止运动（同时点Ｑ也停止运动），若ＡＤ＝６ｃｍ，则当运动时间为多少秒时，以Ｐ，Ｄ，Ｑ，Ｂ为顶点的四边形是平行四边形？17．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＤ＝２ＡＢ，ＡＣ的垂直平分线ＥＦ分别交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ，垂足为Ｏ，连接ＡＦ，ＣＥ．（１）求证：四边形ＡＦＣＥ为菱形．（２）求ＡＦ的长．（３）如图２，动点Ｐ，Ｑ分别从Ａ，Ｃ两点同时出发，沿△ＡＦＢ和△ＣＤＥ各边匀速运动一周后停止，即点Ｐ沿Ａ→Ｆ→Ｂ→Ａ运动，点Ｑ沿Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｃ运动，在运动过程中，已知点Ｐ的速度为５ｃｍ/ｓ，点Ｑ的速度为４ｃｍ/ｓ，运动时间为ｔｓ，当以Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ四点为顶点的四边形是平行四边形时，求ｔ的值．18．已知点Ｐ，Ｑ分别在菱形ＡＢＣＤ的边ＢＣ，ＣＤ上滑动（点Ｐ不与Ｂ，Ｃ重合），且∠ＰＡＱ＝∠Ｂ，（１）如图１，若ＡＰ⊥ＢＣ，求证：ＡＰ＝ＡＱ．（２）如图２，若ＡＰ与ＢＣ不垂直，（１）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．（３）如图３，若ＡＢ＝４，∠Ｂ＝６０°，请直接写出四边形ＡＰＣＱ的面积．19．如图１，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＡＣ＝６ｃｍ，ＢＤ＝８ｃｍ，分别过点Ｂ，Ｃ作ＡＣ与ＢＤ的平行线相交于点Ｅ．（１）判断四边形ＢＯＣＥ的形状，并证明．（２）点Ｇ从点Ａ沿线段ＡＣ的方向以２ｃｍ/ｓ的速度移动了ｔｓ，连接ＢＧ，当Ｓ△ＡＢＧ＝２Ｓ△ＯＢＧ时，求ｔ的值．（３）如图２，点Ｇ在直线ＡＣ上运动，求ＢＧ＋ＥＧ的最小值．20．点Ｏ为正方形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ与ＢＤ的交点，点Ｅ为直线ＢＤ上一点（点Ｅ与点Ｂ，点Ｄ，点Ｏ不重合），连接ＡＥ．（１）如图１，若点Ｅ为ＯＤ的中点，ＡＢ＝2，求△ＡＢＥ的面积．（２）如图２，若点Ｅ在线段ＯＤ上，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＥ交直线ＢＣ于点Ｆ，交直线ＡＣ于点Ｈ，过点Ｆ作ＦＧ∥ＡＥ交直线ＢＤ于点Ｇ．求证：ＦＧ＋ＦＨ＝ＡＥ．（３）若点Ｅ为直线ＢＤ上一动点，其他条件与第（２）问条件相同，请写出线段ＤＥ，ＢＧ，ＣＨ之间的数量关系．21．在正方形ＡＢＣＤ中．（１）如图１，如果点Ｅ，Ｆ分别在ＢＣ，ＣＤ上，且ＡＥ⊥ＢＦ，垂足为Ｍ，那么ＡＥ与ＢＦ相等吗？请证明你的结论．（２）如图２，如果点Ｅ是边ＡＤ的中点，Ｆ是ＣＥ上的点，过点Ｆ作ＧＨ⊥ＣＥ，分别交ＡＢ，ＣＤ于点Ｇ，Ｈ，若ＢＧ＝１，ＣＨ＝５，求线段ＡＧ的长．22．在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为射线ＢＡ上一动点（点Ｅ不与Ａ，Ｂ重合），作∠ＥＤＦ＝４５°，交直线ＢＣ于点Ｆ，连接ＥＦ．（１）如图１，当点Ｅ在线段ＡＢ上时，用等式表示线段ＥＦ，ＡＥ，ＣＦ之间的数量关系，并说明理由．（２）如图２，当点Ｅ在线段ＢＡ的延长线上时．①依题意补全图２．②用等式表示线段ＥＦ，ＡＥ，ＣＦ之间的数量关系，并证明．23．如图１，正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ为对角线，点Ｐ在线段ＡＣ上运动，以ＰＤ为边作正方形ＤＰＦＥ，连接ＣＥ．（１）ＡＰ与ＣＥ的数量关系是，ＡＰ与ＣＥ的位置关系是．（２）当点Ｐ在对角线ＡＣ的延长线上运动时．①如图２，探究线段ＣＤ，ＣＰ和ＣＥ三者之间的数量关系，并说明理由．②如图３，连接ＡＥ，ＰＥ，若ＡＢ＝２，ＡＥ＝２９，求四边形ＤＣＰＥ的面积．答案第1课时正方形及其性质１．Ｂ２．Ａ３．Ｄ４．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ，又∵ＢＥ＝ＢＥ，∴△ＡＢＥ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ）．（２）22.5°５．Ａ６．2＋2７．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，∵ＢＥ＝ＤＦ，∴ＡＢ－ＢＥ＝ＣＤ－ＤＦ，即ＡＥ＝ＣＦ，又∵ＡＥ∥ＣＦ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．（2）237第2课时正方形的判定Ｄ２．ＡＢ＝ＢＣ（答案不唯一）３．略４．Ｂ５．１∶２6．Ｃ7．438．（１０，３）9．（１）∠ＡＤＣ′=40°（２）△ＢＤＥ的面积=1010．７５°11．2.112．182913．ＢＧ=314．９０°或１８０°或２７０°15．解析（１）∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｄ，∴∠ＤＰＣ＝∠ＰＣＢ，∵ＣＰ平分∠ＢＣＤ，∴∠ＰＣＤ＝∠ＰＣＢ，∴∠ＤＰＣ＝∠ＤＣＰ，∴ＤＰ＝ＣＤ，∵ＣＤ＝ＣＰ，∴ＣＰ＝ＣＤ＝ＤＰ，∴△ＰＤＣ是等边三角形，∴∠Ｄ＝６０°，∴∠Ｂ＝６０°．（２）0秒或4.8秒或8秒或9，6秒16．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ，∠ＯＥＡ＝∠ＯＦＣ，∵ＥＦ垂直平分ＡＣ，∴ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＯＡＥ≌△ＯＣＦ（ＡＡＳ），∴ＯＥ＝ＯＦ，∴四边形ＡＦＣＥ是平行四边形，∵ＥＦ⊥ＡＣ，∴四边形ＡＦＣＥ是菱形．（２）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＤ＝２ＡＢ，∴∠Ｂ＝９０°，ＢＣ＝ＡＤ＝２×４＝８（ｃｍ），∵四边形ＡＦＣＥ是菱形，∴ＡＦ＝ＣＦ，设ＡＦ＝ＣＦ＝ｘｃｍ，则ＢＦ＝ＢＣ－ＣＦ＝（８－ｘ）ｃｍ，∵ＡＦ２＝ＢＦ２＋ＡＢ２，∴ｘ２＝（８－ｘ）２＋４２，解得ｘ＝５，即ＡＦ＝５ｃｍ．（３）由题意知，只有当点Ｐ在ＢＦ上，点Ｑ在ＤＥ上，且ＡＱ＝ＰＣ时，以Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ四点为顶点的四边形才是平行四边形，此时ＡＤ－ＡＱ＝ＢＣ－ＣＰ，即ＤＱ＝ＢＰ，由（２）得ＢＦ＝３ｃｍ，ＡＦ＝５ｃｍ，易得ＤＱ＝（４ｔ－４）ｃｍ，ＢＰ＝３－（５ｔ－５）＝（８－５ｔ）ｃｍ，∴４ｔ－４＝８－５ｔ，解得ｔ＝43故当以Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ四点为顶点的四边形是平行四边形时，ｔ＝4317．（1）略（2）成立（3）4318．解析（１）四边形ＢＯＣＥ是矩形．证明：∵ＢＥ∥ＯＣ，ＥＣ∥ＯＢ，∴四边形ＢＯＣＥ是平行四边形，∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＣ⊥ＢＤ，∴∠ＢＯＣ＝９０°，∴四边形ＢＯＣＥ是矩形．（２）1或3（３）7319．解析（１）∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，ＡＢ＝2，∴ＯＡ＝Ｏ