振动力学-非线性振动课件 第23章 同伦分析方法

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

INTERNALUSEONLY

第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

第23章同伦分析方法

23同伦分析方法是一种新的、求解强非线性问题解析近似解的一般方法。本章介绍了同伦分析方法求解具有奇非线性的自由振动、二次型非线性的自由振动和多维动力系统中的极限环应用举例。23.1具有奇非线性的自由振动系统考虑一个具有奇非线性、保守系统的自由振动,满足方程在初始条件下具有振幅a的自由振动。一个具有奇非线性保守系统的自由振动可由基函数表达。作变换τ=ωt和U

(t)=u(τ)，式(23.1.1)变为23.1.1零阶形变方程满足初始条件由式(23.1.3),u(τ)可被基函数表达,即令ω0表示角频率ω的初始猜测值。显然,根据解表达式(23.1.7),利用初始条件式(23.1.5),可选取根据解表达式(23.1.7),选取作为u(τ)的初始猜测解。作为辅助线性算子,其具有性质由方程式(23.1.4),定义如下非线性算子构造零阶形变方程当

q=0时,式(23.1.12)和式(23.1.13)有解利用式(23.1.14)和泰勒展开定理,Φ(τ;q)和Ω(q)可展开成如下q的幂级数满足初始条件当q=1时,式(23.1.12)和式(23.1.13)分别等同于式(23.1.14)和式(23.1.15),从而其中假设

h

和H(τ)选取合适,使得上面的级数在q=1时收敛。则由式(23.1.15),有级数解将零阶形变方程式(23.1.12)和式(23.1.13)对

q求导m

次,再令q=0,最后除以m!获得高阶形变方程为简便,定义向量23.1.2高阶形变方程满足初始条件其中由解表达式(23.1.7),根据保守系统的奇非线性,Rm

(

um-1,ωm-1)可表达为强迫式(23.1.24)中的系数bm,0为零。给出代数方程可依次求得ωm-1和um(τ)。其M阶近似为为了确保振动振幅等于a,成立且易获得方程式(23.1.22)的解上述方法即使对满足如下具有奇非线性保守系统的自由振动方程同样亦有效,其中变换τ=ωt和U

(t)=u(τ),方程式(23.1.31)变为令a(a>0)表示振幅,u0(τ)=acosτ

表示振动的初始猜测解。对于具有奇非线性保守系统的自由振动,成立因此,式(23.1.33)等同于利用有类似地,可求解具有奇非线性保守系统的自由振动方程式(23.1.31)。方程式(23.1.31)等同于方程23.2具有二次型非线性的自由振动系统考虑具有二次型非线性的保守系统的自由振动问题,满足方程对具有二次型非线性的保守系统,δ通常不为零。这是具有奇非线性保守系统的自由振动与具有二次型非线性保守系统的自由振动的主要差别。显然,δ

和ω均有明确的物理意义。对保守系统,振幅a由初始条件确定,并与总动能相关,且ω和δ

均依赖于振幅a

。不失一般性,我们考虑在初始条件令

ω和a分别表示该振动的角频率和振幅。定义平均位移下具有振幅a

的自由振动。描述,即该周期性的自由振动可用基函数显然,u(τ)能够用基函数表达，即23.2.1零阶形变方程作变换方程式(23.2.2)和式(23.2.3)分别变为和角频率ω和平均位移δ均未知。不妨令ω0,δ0分别表示ω和δ的初始猜测值。根据式(23.2.10)和式(23.2.8),选取作为

u(τ)的初始猜测解,其中,a

为振幅。此外,根据解表达式(23.2.10)和方程式(23.2.7),选取作为辅助线性算子,其具有性质式中,Ω(q)

和Δ(q)

是依赖于嵌入变量q∈[0,1]的函数,分别对应角频率ω

和平均位移δ

。由方程式(23.2.7)定义如下非线性算子同伦分析方法基于如下定义的连续变化Φ(τ;q),Ω(q)和Δ(q):当嵌入变量q

从0

增大到1

时,Φ(τ;q)从初始猜测解u0(τ)连续变化到精确解u(τ),同样,Ω(q)从初始猜测值ω0连续变化到角频率ω,

Δ(q)从初始猜测值δ0连续变化到平均位移δ

。为了获得这样的连续变化,我们构造如下一种更为广义的同伦满足初始条件式中，q∈[0,1]为嵌入变量;ħ和ħ2为非零辅助参数;H(τ)和H2(τ)为非零辅助函数。当q=0时,由式(23.2.11)和式(23.2.17)易知当q=1时,因为ħ≠0

和H(τ)≠0,式(23.2.17)和式(23.2.18)分别等同于原始方程式(23.2.7)和式(23.2.8),从而令得到零阶形变方程其中由式(23.2.20),有级数解假设辅助函数都选取合适,使式(23.2.17)和式(23.2.18)的Φ(τ;q)，Ω(q)和Δ(q)对所有q∈[0,1]

均存在,且如下高阶形变导数因此,当q

从0

增大到1时,Φ(τ;q)从初始猜测解u0(τ)=acos

τ

变化到精确解u(τ)，类似地,Ω(q)从初始猜测值ω0连续变化到角频率ω,

Δ(q)从初始猜测值δ0连续变化到平均位移δ。对m≥1均存在,则利用泰勒展开定理和式(23.2.19),可将Φ(τ;q)，

Ω(q)和Δ(q)展开成如下q的幂级数将式(23.2.17)和式(23.2.18)对

q求导m

次,再令q=0,最后除以m!

,有高阶形变方程为简便,定义向量23.2.2高阶形变方程满足初始条件其中和且值得注意的是,存在3个未知量:um(τ),ωm-1和δm-1(当ħ2=0时),或者um(τ),ωm和δm

(当ħ2≠0时)。然而,我们仅有关于um(τ)的微分方程式(23.2.31)和式(23.2.32)。所以,该问题不封闭,需要增加两个代数方程,以确定ωm-1和δm-1(当ħ2=0时),或者ωm和δm

(当ħ2≠0时)。根据解表达式(23.2.10)和方程式(23.2.31),应采用如下辅助函数H(τ)和H2(τ)为简便,选取κ1=κ2=0,相应地根据解表达式(23.2.10),且由于保守系统是二次型非线性,方程式(23.2.31)的右端项可表达为强迫系数bm,0和bm,1为零,即首先考虑ħ2=0,随后,容易得到m

阶形变方程式(23.2.31)的解由初始条件式(23.2.32)易知C1=0。为了确保振动的振幅等于a,使可依次得到um(τ),ωm-1和δm-1。其M阶近似为23.3多维动力系统之极限环考虑一个二维的非线性动力系统,满足方程Liao应用同伦分析方法,成功求解了一维非线性动力系统的极限环问题,其满足方程表示极限环x(t)的角频率。作变换令T

和α=max[x(t)]

分别表示极限环的周期和x(t)的最大值。不失一般性,可定义t=0,使得定义且令式(23.3.2)和式(23.3.3)变为满足初始条件由式(23.3.5)和式(23.3.7),成立式(23.3.11)提供了一个关于v(τ)的限制条件。值得注意的是α,δ和

ω均未知。根据解表达式(23.3.12)和式(23.3.13),由初始条件式(23.3.10)和式(23.3.11),选取u(τ)和v(τ)可表达成其具有性质23.3.1零阶形变方程为简便,由式(23.3.9)和式(23.3.10),定义如下非线性算子令α0

、δ0

、ω0分别表示α、δ、ω的初始猜测值。根据解表达式(23.3.12)和式(23.3.13),由方程式(23.3.8)和式(23.3.9),选取辅助线性算子令ħu和ħv表示非零辅助参数,Hu(τ)和Hv(τ)表示非零辅助函数。构造零阶形变方程满足条件其中,τ≥0,且q∈[0,1]。当q=0时,由式(23.3.14)和上述零阶形变方程,下式成立:当q=1时,式(23.3.20)~式(23.3.22)分别等同于式(23.3.8)~式(23.3.11),从而在n

≥1时均存在。那么,利用泰勒展开定理和式(23.3.23),有如下形式的

q的幂级数零阶形变方程式(23.3.20)和式(23.3.21)包含ħu、ħv两个辅助参数以及Hu(τ)、Hv(τ)两个辅助函数。假设它们都选取合适,使假设ħu、ħv

、Hu(τ)、Hv(τ)选取合适,使上述级数在q=1时收敛,由式(23.3.34)和式(23.3.35),有级数解和将零阶形变方程式(23.3.20)~式(23.3.22)对

q求导n

次,再除以n!,最后令q=0,有高阶形变方程为简便,定义向量23.3.2高阶形变方程满足条件和其中且和其中当n=1时,将式(23.3.14)代入式(23.3.48)和式(23.3.49),有根据式(23.3.12)~式(23.3.45)可知，Hu(τ)、Hv(τ)可为正弦函数和余弦函数。为简便,选取和为了符合解表达式(23.3.44)和式(23.3.45),必有其正好提供了三个代数方程方程的解为求解一阶形变方程式(23.3.44)、式(23.3.45)和式(23.3.46),有类似地,首先求解线性代数方程组再求解余下的二阶形变方程式(23.3.44)~式(23.3.46),可得u(τ)和v(τ)的n阶近似为于是有和证：若级数式(23.3.36)和式(23.3.37)收敛,必成立定理23.3.1

若级数式(23.3.36)~式(23.3.40)收敛,其中,un(τ)和vn(τ)满足方程式(23.3.44)~式(23.3.46),且定义式(23.3.48)~式(23.3.51)以及式(23.3.47)成立,则,它们必定是方程式(23.3.8)~式(23.3.11)的解。23.3.3收敛定理由方程式(23.3.44),利用定义式(23.3.47)和式(23.3.15),有由于ħu

≠0,Hu

(τ)≠0,上式给出类似地和由式(23.3.14)和(23.3.46),成立将式(23.3.48)和式(23.3.49)代入式(23.3.68)并化简,根据级数式(23.3.38)~式(23.3.40)的收敛性,有将上述方程组与方程式(13.3.8)~式(13.3.11)比较,显然,级数式(13.3.36)~式(13.3.40)是原方程的解,证毕。23.3.4结果分析为简便,令通常，对任意给定的物理参数ε

和μ,我们首先通过绘制α~ħ、

δ~ħ和ω~ħ曲线