振动力学-非线性振动课件 第25章 三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

第25章三维连续-时间动力

系统的奇点与分岔

25本章引入并讨论分岔的拓扑规范形;对三维线性自治系统的奇点进行分类;讨论了双曲极限环、中心流形定理、依赖于参数的系统的中心流形、极限环的分岔问题。25.1分岔的拓扑规范形考虑两个动力系统：上述右端都光滑且有相同个数的变量和参数。

定义25.1.1

动力系统式(25.1.1)称为拓扑等价于动力系统式(25.1.2)如果(1)存在参数空间的同胚p:

Rm

→

Rm

,β=p(α);(2)存在依赖于参数的相空间的同胚hα:Rn→Rm,y=hα

(x),它将系统式(25.1.1)在参数值α

的轨道映上为系统式(25.1.2)在参数β=p(α)的轨道,并保持时间方向。显然,同胚p

将系统式(25.1.1)

的参数图映为系统式(25.1.2)的参数图。同胚hα映对应的相图。由定义,拓扑等价的依赖于参数的系统有(拓扑)等价的分岔图。注意:我们并不要求同胚hα连续依赖于α,那样将导致映射(x,α)→(hα

(x),p(x))是直积空间Rn×Rm的同胚。鉴于此,称上面定义的拓扑等价为弱(纤维)拓扑等价。

定义25.1.2

两个动力系统式(25.1.1)和式(25.1.2)称为在原点附近局部拓扑等价,如果存在在直积空间Rn×Rm的(x,α)

=(0,0)的小邻域内定义的一个映射(x,α)→(hα

(x),p(α))，使得(1)p:

Rm→Rm是定义在α=0,p(0)=0的小邻域内的同胚;(2)hα:

Rn→Rn是定义在x=0,h0(0)=0的小邻域Uα

内的同胚,它把Uα

内系统式(25.1.1)的轨道映上为hα

(Uα

)内式(25.1.2)的轨道,并保持时间方向。这个定义意味着可以引入原点的两个小邻域Uα和Vβ,当α,β

在对应参数空间的原点某个固定小邻域内变化时,它们的直径有界,关于α,β

一致地异于零。于是,同胚hα把Uα

中式(25.1.1)的轨道映上为式(25.1.2)在Vp(α)中的轨道,并保持时间方向。对平衡点和奇点的局部分岔,通有的分岔图由拓扑规范形提供。这是分岔理论中的中心概念之一。可以构造一个单的(ξi

的多项式)系统。它在β=0有平衡点ξ=0,满足k个分岔条件,这些条件决定这个平衡点的余维k分岔。这里σ是式(25.1.3)中多项式系数σi

(i

=1,2,…),l

的向量。在所有情形,将考虑在系统空间内对应于式(25.1.3)拓扑不等价的分岔图的有限个区域。在最简单的情形,σi

仅取有限个整数值。例如,所有的系数σi

=1,除了个σi0

=±1。更复杂的情形,σ

的有些分量可取实数值(模)。与式(25.1.3)在一起,考虑系统它在α

=0有平衡点x=0。

定义25.1.3(拓扑规范形)如果任何一个有平衡点x=0,在α

=0满足相同分岔条件的一般系统式(25.1.4),局部拓扑等价于在原点附近对系数σi

某些值的系统式(25.1.3)则称为系统式(25.1.3)分岔的拓扑规范形。在所有情形,考虑的“一般”是指系统满足有限个一般性条件,这些条件将是不等式的形式这里每个Ni是f(x,α)

关于x和α

在(x,α)

=(0,0)的某些偏导数的一些(代数)函数。因此,“典型”地依赖于参数的系统满足这些条件。事实上,σ的值是由Ni(i=1,2,…)

、s的值确定。区别这些由在临界参数值α

=0的系统所确定的一般性条件是有用的。这些条件可以借助于f(x,0)关于x

在x=0的偏导数来表达,这些条件称为非退化条件。所有其他条件,其中含有f(x,α)关于α

的偏导数,都称为横截性条件,这两类条件的作用是不同的。非退化性条件保证临界平衡点(奇异性)不是太退化(满足所给分岔条件的一类典型平衡点),横截性条件保证参数按一般方法“开折”奇异性。所指一般系统对这个分岔的条件是例题20.2.1中的系统式(20.2.3)是已经说明的对应于σ

=-1时,Antronov-Hopf分岔的二维拓扑规范形:(H.1)(H.2)

定义25.1.4诱导系统称为的诱导系统,如果g(x,α)=f(y,p(β)),这里p:

Rm→Rm是连续映射。注意:映射p

不必是同胚,故它可以不可逆。注意:与分岔密切相关的概念是分岔的通有性形变(通有性开折)。

定义25.1.5(通有性形变)。系统式(25.1.3)是对应局部分岔的通有性形变,如果任何一个在α

=0满足相同分岔条件和非退化条件,在x=0有平衡点的系统式(25.1.4)，在原点附近对某些系数值σi

局部拓扑等价于由式(25.1.3)诱导的系统。25.2三维线性动力系统的奇点通解是考虑系统25.2.1高维线性系统的不变子空间对于所有特征指数λi

都位于虚轴左边的这个情形,这样的平衡态称为指数式渐进稳定平衡态。对于所有特征指数λi都位于虚轴右边的这个情形,这样的平衡态称为指数式完全不稳定平衡态。现在,令k个特征指数位于虚轴的左边,(n-k)个特征指数位于虚轴的右边,这样的平衡态称为鞍点型平衡态。(1)指数式渐进稳定平衡态。对稳定平衡态的特征指数进行重排,使得Reλn

≤…≤Reλ2≤Reλ1<0,

并且假设前面m

个指数有相同的实部Reλi

=Reλ1(

i

=1,…,m)和Reλ

i<Reλ1(i=m+1,…,n)。以εL

和εss

记矩阵A

的m

维和(

n-m)维特征子空间,它们分别对应于特征指数(λ1,…,λm

)和(λm+1,…,

λn

)。子空间εL

称为主不变子空间,

εss

称为非主不变子空间或者强稳定不变子空间。当m=1时,即λ1是实数且Reλi<λ1

(i

=2,…,n),主子空间是直线。这样的平衡态称为稳定结点。当m=2时,且λ1,2

=-ρ±

iω

(ρ>0,ω≠0)

时,对应的平衡态称为稳定焦点。这里主子空间是二维的,所有不属于εss

的轨线围绕O呈盘旋形状。

(2)指数式完全不稳定平衡态。对不稳定的情形,此时Reλi>

0

(i

=1,…,n),通过改变时间方向t→-t就化为前一情形。这里主子空间和非主子空间的定义方式与稳定平衡态的情形相同(但对t→-∞)。当主子空间是一维时,平衡态称为不稳定结点。当主子空间是二维且一对共轭复指数最靠近虚轴时,这样的平衡态称为不稳定焦点。

(3)鞍点型平衡态。在εs上系统的鞍点是稳定平衡态,而在εu上的是完全不稳定平衡态。此外,稳定主子空间εsL,不稳定主子空间εuL以及相应的非主子空间εss

、εuu分别可在子空间εs和εu内定义。我们称直和εsE

=εs

εuL为扩展稳定不变子空间,εuE

=εu

εsL为扩展不稳定不变子空间,不变子空间εL

=

εsE

∩

εuE称为主鞍点子空间。如果点O

在εs

和εu

中都是结点,这样的平衡态称为鞍点。因此,εsL

和εuL

的维数都等于1。当点O

在至少两个子空间εs

和εu

的一个是焦点时,称O

为鞍-焦点。按照稳定平衡态和不稳定平衡态主子空间的维数,我们可以定义三类鞍-焦点:①鞍-焦点(2,1):在εs上是焦点,在εu上是结点。②鞍-焦点(1,2):在εs上是结点,在εu上是焦点。③鞍-焦点(2,2):在εs

和εu上都是焦点。考虑三维线性系统25.2.2特征值实部不为零的三维线性动力系统的奇点如果detA≠0,x

=0是奇点。存在非奇异变换矩阵P,B=P-1

AP。通过变换x=Py，具有初始条件

，其中这里它的通解是由于所有的λi

都是负的,点O

是稳定平衡态,即所有轨线当t→+∞时趋于O

。此外,不在非主平面(y2,y3)上的所有轨线沿着与y1轴重合的主方向趋于O,如图25.2.1b)所示。这样的平衡态称为稳定结点。特征值实部不为零[Re(λk)≠0

(k=1,2,3)]的有以下情形:(1)指数式渐进稳定平衡态。①首先考虑特征指数λi(i

=1,2,3)是实数且λ3<λ2<λ1<0的情形,如图25.2.1a)所示。于是,相应的三维系统可化为形式通解具有形式这个系统的相图如图(25.2.1b)所示。由式(25.2.10)得②现在考虑特征指数中有一个实数

λ1<0和一对共轭复数λ2,3=-ρ±

iω

的情形。系统此外,对于初始点不在非主平面(y2,y3)内的任何轨线,我们有其中，由于ν>1,所有这些轨线沿着主轴y1趋于O。平衡态O

在-ρ<λ1<0时,称为稳定结点(图25.2.2)。③当λ1<-ρ<0时,系统式(25.2.9)的平衡态称为稳定焦点。但是由于ν<1时关系式(25.2.12)仍成立,故对C

≠0(初始点不在y1轴上)时的所有轨线趋于O时与(y2,y3)平面相切。在这种情况下,分别称y1轴为非主方向,(y2,y3)平面为主平面。(2)指数式完全不稳定平衡态。①如果λ3>λ2>λ1>0,这样的平衡态O

称为不稳定结点,特征值图如图25.2.3a)所示。所有轨线当对t→+∞时都被原点排斥,如图25.2.3b)所示。②一个实数

λ1>0

和一对共轭复数λ2,3=-ρ±

iω

,如果ρ>λ1>0,解曲线是正半螺旋流,称为不稳定结点,特征值图如图25.2.4a)所示,在不稳定结点附近相空间图如图25.2.4b)所示。③一个实数λ1>0和一对共轭复数λ2,3=-ρ±

iω

,若最靠近虚轴的特征指数是由一对共轭复数所组成,即λ1>ρ>0,称为不稳定焦点。(3)鞍点型平衡态。若特征指数在虚轴的左右两边都存在,则平衡态是鞍点或鞍-焦点。

①鞍点在式(25.2.7)中,如果3个实特征值具有不同的符号,那么原点叫作线性系统的鞍点,通解也由式(25.2.8)给出。

鞍点情形1:如果λ1>0,λ3<λ2<0,特征值图如图25.2.5a)所示。此时具有一条排斥轨道和两条吸引轨道。

鞍点情形2:如果λ1>λ2>0,λ3<0,特征值图如图25.2.5b)所示。此时具有两条排斥轨道和一条吸引轨道。

②鞍-焦点系统式(25.2.9)中,3个特征值的实部具有不同的符号,如果有一对实部不为零的复特征值和一个实特征值,那么原点叫作线性系统的鞍-焦点。通解也由式(25.2.10)给出。

鞍-焦点(1,2)现在,λ1<0,以及λ2,3=-ρ±

iω

,ρ>0,稳定子空间是稳定结点,子空间是不稳定焦点,特征值图如图图25.2.7a)所示。在第二类鞍-焦点附近相空间图如图25.2.7b)所示。

鞍-焦点(2,1)现在,λ1>0,以及λ2,3=-ρ±

iω

,稳定子空间是稳定焦点。不稳定子空间是结点,称为第一类鞍-焦点,特征值图如图25.2.6a)所示。在第一类鞍-焦点附近相空间图如图25.2.6b)所示。(1)A

有两个相同实特征值和一个不同特征值(λ1=λ2=λ

和λ3)。25.2.3三维实部不为零特征值有重根的奇点情形一:初等因子是重的,则①稳定结点

如果λ2=λ3=λ<

λ1或λ3<λ1=λ2=

λ<0,特征值图如图25.2.8所示。情形二:初等因子是单的,则③鞍点,如果λ1<0,λ2=λ3=λ>

0

或λ1>0,

λ2=λ3=λ<

0

,特征值图如图25.2.10所示。情形一:初等因子是二重的,则②不稳定结点,如果λ2=λ3=λ>

λ1或λ3>λ1=λ2=

λ>0,特征值图如图25.2.9所示。(2)A有3个相同特征值(λ1=λ2=λ3=λ)。①稳定结点,如果λ1=λ2=λ3=λ<

0

,特征值图如图25.2.11a)所示。情形一:初等因子是二重的,则情形二:初等因子是重的,则情形三:初等因子是单的,则②不稳定结点,如果λ1=λ2=λ3=λ>

0

,特征值图如图25.2.11b)所示。25.2.4三维动力系统奇点按特征方程参数分类考虑三维系统方程式(25.2.16)可以写成三次多项式的形式:其中,函数Pi

不包括线性项,系统式(25.2.5)的特征方程为其中Routh-Hurwitz

稳定性条件化为下面的关系稳定性区域的边界是两个曲面(r=0,p>

0,q>

0)和(R=

0,p>

0,q>

0)。特征方程至少有一个零根在曲面

r=0上,一对纯虚根在曲面(R=

0,q>

0)上。方程式(25.2.17)的实根个数依赖于三次方程的判别式的符号。(1)当Δ>0时,三次方程有1个实根以及2个共轭根。(2)当Δ<0时,三次方程有3个相异实根。(3)当Δ=0,且时,方程有1个三重实根,或者2个实根(其中一个是二重根)。实根与复主特征根之间的边界由曲面Δ=0对应于二重根的部分,以及沿着三重根直线和曲面Δ=0相连接的曲面组成。方程Δ=0可求解如下:因此,特征方程的3个根都是实数,当且仅当记当研究同宿分支时,鞍点平衡点的一个重要特征是鞍点量

σ的符号,它由左右两边最接近于虚轴的两个主特征指数的实部之和定义。在鞍点情形,当两个主特征指数λ1,2是实数时,条件σ=

0

就是共振关系λ1+

λ2=0,借助于三次特征方程的系数,这个条件化为当q>0时,曲面R=0对应于Andronov-Hopf分岔,而这个曲面的q<-p2部分对应于一个主特征指数与一个具相反符号的非主特征指数之和为零。可以把R3

中的粗平衡态分类如下(1)情形p>0(div<0)(表25.2.1)。在三维系统的鞍-焦点情形,条件σ=0化为λ1+Reλ2=0,其中λ1是实根,λ2,3是一对共轭复根,可写为当朝r增加方向穿过这个曲面时,鞍点量变成正的。三维系统鞍点平衡态的另一个重要特征是,在此平衡态处向量场的散度等于特征根的和,即div=-p。(2)情形p<0(div>0)(表25.2.2)。(3)情形p=0(div=0)(表25.2.3)。25.3双曲极限环

f

光滑。假设式(25.3.1)存在孤立的周期轨道(极限环)L0

。设∑是环的n-1

维(codim∑=1)局部截面,其坐标为

ξ=(ξ1,…,ξn-1)T。系统式(25.3.)沿着它的轨道局部定义了一个从∑到∑的光滑可逆映射P(Poincaré

映射),L0和∑的交点ξ0是映射P

的不动点,P(ξ0)=ξ0

。利用离散-时间系统的双曲不动点和Poincaré映射,就可以定义连续-时间系统的双曲极限环以及描述这种环附近相轨道的拓扑。考虑连续-时间动力系统一般地。不动点ξ0是非双曲的,故分别存在n-维和n+维不变流形其中,n∓为P在ξ0的Jacobi矩阵位于单位圆内和圆外的特征值个数。回忆n-+n+=n-1,特征值称为环的乘子。不变流形Ws,u

(ξ0)是∑与环的稳定Ws(L0)和不稳定流形Wu(L0)的交。一个极限环称为是双曲的,如果ξ0是Poincaré

映射的双曲不动点。一个双曲环称为是鞍点环

,如果它有乘子在单位圆内,另外有乘子在单位圆外(n-n+≠0)。25.4中心流形定理定义的连续-时间动力系统,其中f充分光滑,f(0)=0。设在平衡点x0=0的Jacobi矩阵为λ1,λ2,…λn

。假设平衡点不是双曲的,则存在具有零实部的特征值。设有n+个特征值(计算重次)Reλ>0,n0个特征值Reλ=0以及n-个特征值Reλ<0(图25.4.1)。令Tc表示A

对应于虚轴上n0个特征值并的线性(广义)特征空间。满足Reλ=0的特征值如同空间Tc称为是临界的。设φt

表示对应于式(25.4.1)的流。定理25.4.1中心流形定理25.4.1连续-时间系统的中心流形考虑由式(25.4.1)存在局部定义的光滑n0维不变流形Wcloc

(0),在x=0切于Tc。此外,存在x0=0的邻域U,使得若对一切t≥0(t<0),有φtx

∈U,则当t→∞

(t-∞)时,有φtx

→Wcloc

(0)。定义25.4.1

流形Wcloc

称为中心流形如果n0=0,流形Wco可以作为在φ1

作用下Tc迭代的局部极限来构造。

图25.4.2和图25.4.3显示定理对平面上的折分岔和R

3

中的Hopf分岔。

注:(1)定理的第二部分说明,当t≥0或t<0时,停留在平衡点附近的轨道按对应的时间方向趋于Wc。若还知道从U

出发的所有轨道将永远停留在此邻域内(出现这种情况的必要条件是n+=0),则由定理得知,当t→+∞时,这些轨道都趋于Wc(0)。在这情形流形是“吸引”的。(2)Wc

不需是唯一的。系统有平衡点(x,y)=(0,0),在此点λ1

=0,λ2

=-1

(折分岔情形),如图25.4.4a)所示。它有一维中心流形其中有平衡点(x,y,z)=(0,0,0),特征值λ1,2

=±i,λ3

=-1

(Hopf分岔情形),如图25.4.4b)所示。系统存在一族由下面式子给出的二维中心流形,其中系统在原点附近系统式(25.4.8)局部拓扑等价于系统(3)在x0的某邻域U

内,中心流形Wc

与f有相同的有限次光滑性(若f∈

Ck

,k

有限,则Wc

是Ck流形)。但是,当k→+∞时邻域U

可能收缩以至于对某C∞系统C∞

流形Wc

不存在。为了更明确地刻画在非双曲平衡点x0

=0

附近的动力学,在由A的所有(广义)特征向量构成的特征基上改写式(25.4.1)。合并临界和非临界分量,可以将系统式(25.4.1)重写为这里u∈

Rn0,v∈

Rn++n-,B

是一个n0

×n0

矩阵,它所有n0个特征值在虚轴上,C是一个(n++n-

)

×

(n++n-)矩阵,它没有特征值在虚轴上。函数g

和h

有至少从二次项开始的Taylor展开。系统式(25.4.8)的中心流形可局部地表示为光滑函数的图像(图25.4.5)。定理25.4.2约化原理如果存在多于一个中心流形,则对不同的V,所有系统式(25.4.10)都是局部光滑等价。定义的离散-时间动力系统,这里f充分光滑,f(0)=0。设Jacobi矩阵A

在不动点

x0

=0的特征值为μ1,μ2,…,μn

称为乘子。假设平衡点不是双曲的,因此有乘子在单位圆上(绝对值为1)。假定有n+个乘子在单位圆外,n0个乘子在单位圆上,以及n-个乘子在单位圆内(图25.4.8)。设Tc

表示A对应于单位圆上的n0个乘子并的线性不变(广义)特征空间。如果仅考虑整数值时间并令φk

=fk

,f

的k

次迭代,于是定理25.4.1对系统式(25.4.22)可完全一样成立。利用A的特征基和以前相同的记号,可将系统重写为考虑由25.4.2离散-时间系统中心流形现在B

有特征值在单位圆上,而C

所有的特征值在圆内或圆外,中心流形具有局部表示v=V(u),约化原理仍成立。若存在多个中心流形,则具有不同V(u)的所有映射式(25.4.24)都是局部光滑共轭。定理25.4.3系统式(5.4.23)在原点附近拓扑等价系统假设没有乘子在单位圆外(n+=0)。于是,若detC

>0,则式(25.4.24)中的映射可以用代替,这是标准的保持方向的稳定结点。但是,若detC

<0,则映像式(25.4.24)必须用代替。25.5依赖于参数的系统的中心流形现在考虑光滑依赖于参数的连续-时间系统:式(25.5.2)在平衡点(α,x)=(0,0)的Jacobi矩阵是(n+1)×(n+1)矩阵它有(n0+1)个特征值在虚轴上,(n-n0)个特征值有非零实部。因此,可以对系统式(25.5.2)应用中心流形定理。定理保证中心流形的存在性。这个流形在原点切于J对应于具零实部的(n0+1)个特征值的(广义)特征空间。流形是由n0维不变流形组成的叶状流形(图25.5.1)。假设在α=0系统有非双曲平衡点x=0,有n0个虚轴上的特征值和(n-n0)个特征值具有非零实部。假设它们中有n-个有负实部,n+个有正实部,考虑扩展系统引理25.5.1系统式(25.5.1)有依赖于参数的局部不变流形Wcα

。若n+=0,则这个流形是吸引的。定理25.5.1系统式(25