振动力学-非线性振动课件 第28章 三维离散-时间动力系统

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

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第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

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第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

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第6篇

分岔和混沌

本篇包括第26章、第27章和第28章,主要介绍传统的非线性振动与现代的分岔和混沌相结合理论及其在工程中的应用。

第26章讨论转子的非线性振动,介绍C-L理论和非线性振动在转子动力学中的应用。

陈予恕等利用动力系统分岔理论,给出了非线性马休方程的一种新解法,并得到了整个系统参数平面上的不同参数域中分岔图各种可能的拓扑结构。Bogoliubov和Nayfeh曾分别用平均法和多尺度法研究了同一系统:

但是,他们得到的响应曲线结果是拓扑不等价的。

人们自然会问:

(1)非线性Mathieu方程的正确的拓扑结构是什么?

(2)若他们的结果都正确,对一般的非线性特性是否还有其他新的响应形式?

(3)对所有的响应曲线,哪些是典型的,哪些是普遍的?

为了回答以上问题,从20世纪80年代起,陈予恕等在定义了周期函数空间后,对一般形式的非线性Mathieu方程应用对称性理论、

LS方法,求得分岔方程后,再利用奇异性理论,建立了被国际上命名的C-L方法(Chen-Langford)。陈予恕、李银山等探讨了弹性转子系统的稳定性和稳定裕度问题。

采用短轴承油膜力的解析表达式和数值模拟的方法研究了系统的分岔和混沌特性。

把电力系统广泛应用的高维轨线约化扩展相平面稳定性量化理论推广到非线性转子系统中,提出了相比正面积准则,给出了转子系统稳定裕度的定义,对滑动轴承不平衡转子系统进行了稳定性量化分析

。

第27章讨论板的非线性振动。

李银山等研究了夹层椭圆形板的非线性强迫振动问题,通过叠加-迭代谐波平衡法得出了椭圆板的1/3亚谐解。

同时,对叠加-迭代谐波平衡法和数值积分法的精度进行了比较,并且讨论了1/3亚谐解的渐进稳定性。

计及材料的非线性弹性和黏性性质,研究了圆板在简谐载荷作用下的混沌,导出了相应的非线性动力学方程;利用Melnikov函数法,结合Poincaré

映射、相平面轨迹、时程曲线和分岔图判定系统是否处于混沌状态,并对系统通向混沌的道路进行了讨论。

第28章讨论三维离散时间动力系统的不动点和分岔。

作为理解非线性离散系统周期m不动点的稳定性和分岔基础,本章全面讨论了线性离散动力系统的稳定性,从不同的角度介绍了非线性离散系统不动点的稳定性、稳定性切换及分岔,重点介绍了Neimark-Sacker分岔的规范形和一般Neimark-Sacker分岔。仅供内部使用FOR

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第28章三维离散-时间动力系统的

不动点与分岔

28

本章介绍了不动点的存在性定理、结构稳定性、三维离散动力系统不动点的分类问题和离散动力系统中的Neimark-Sacker分岔。仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY28.1三维离散-时间系统的不动点存在性定理

本节主要介绍三维布劳威尔不动点定理,即闭球体

B3

具有不动点性质。

用同调观点来处理“S2

不是

B3

的收缩核”这一问题,其基本思想有以下几点:(1)B3作为一个闭球体,它具有边缘S2,也就是说,S2作为

B3的组成部分时,它是

B3的边缘。

然而单独地看S2,它只是一个空心的球面,而不是什么几何体的边缘。

(2)R3中的几何图形是多种多样的,其中最简单的当然是多面体。

从同胚的角度看,闭球体可看成四面体,同样,球面可看成四面体的表面,也可看成

4个三角形拼接而成。

环路本来可以是任意曲线,但在同伦类的意义下不妨将环路限制于沿棱而走,这种沿棱的环路就少得多了,处理起来又简单。

(5)以同调群为工具完成下述定理的证明:

定理

28.1.1

球面

S2

不是闭球B3的收缩核。

利用定理

28.1.1

最后证得三维布劳威尔不动点定理。

定理

28.1.2

闭球体B3具有不动点性质,也就是说,每一个连续映射

f:B3→B3都具有不动点。

在第

20章的20.1中已经提到一个断言:

Sn-1不是

Bn

的收缩核,n>0。

为证明此结论成立,一维时使用的是连通性,二维时使用的是基本群(因为S1与B2

都是连通的,故不能用连通性),对三维而言,基本群也不起作用了,因为S2与B3都是单连通的,即基本群都是平凡的,我们使用同调群证明。

下面介绍同调群的概念。

如图28.1.2所示,在

R3

中,一个点称为0维单形,两个点决定的闭线段称为一维单形,不共线的三点决定的三角形称为二维单形,不共面的四点决定的四面体称为三维单形。

对三维单形,任取三个顶点可构成一个二维单形,任取两个顶点可构成一维单形,每个顶点都是0维单形,这些都称为三维单形的面,一维面也称棱,0维面就是顶点。

对二维和一维单形可类似地定义它们的面。

如图

28.1.3所示,若

R3

中的两个单形(维数不一定要相同)或者不相交,或者相交于一个公共面,则称这两个单形是很好相处的(其中相同字母表示同一单形的顶点)。

容易看出,每个单形的任意二个面(单形)总是很好相处的。

设K是

R3

中有限多个单形的集合,如果K

满足条件:

(1)若某个单形

s∈K,则

s

的所有面也属于

K。

(2)K

的任意两个单形都是很好相处的,则称

K

是一个单纯复形,简称复形。K

中所有单形的最高维数称为复形K的维数。

若复形

L⊂复形K,称

L是

K

的子复形。

假设K

是复形,它的所有元素的并集是

R3

中的一个子集,记为|K|,称作复形

K

相应的多面体。

注意:K

的元素是单形,而|K|的元素是点。

严格说来,前面说的同调群实际上应是指复形K

的同调群。

通常将复形

K

的q

维链群记为

Cq(K),q

维闭链群记为Zq(K),q

维边缘群记为

Bq

(K),q维同调群记为Hq(K),则

证明三维布劳威尔定理

28.1.2的关键是证明定理

28.1.1。

现在我们可对每个多面体建立一组同调群,它可用来反映多面体各维洞的特征。

要证明定理28.1.1,还需要一座桥梁,即从映射f:K→L

能诱导出同调群之间的同态

f∗q:Hq(K)→Hq

(L)。

这座桥梁是能建造的,它的结论是下面的定理

28.1.3。

定理28.1.3多面体之间的连续映射

f:K→L可诱导出它们的同调群之间的一列同态f∗q:Hq(K)→Hq(L),它具有下列性质:

(1)设g:L→

M

也是连续映射,则复合映射的诱导同态是诱导同态的复合,即

现在定义结构稳定系统,这意味着任一充分接近的系统是拓扑等价于结构稳定系统。

下面的定义看起来很自然。

定义28.2.2(严格的结构稳定性)系统式(28.2.7)称为在区域

U

中严格结构稳定,如果任一在

U中

C1

充分接近的系统式(28.2.8)拓扑等价于在U中的式(28.2.7)。

但是要注意,在

U

的边界上具有双曲平衡点或者双曲环接触到边界(图

28.2.2),那样的系统按上面的定义是结构不稳定的。

因为存在系统小扰动将这样的平衡点移到了

U

外,或者把这种(部分)环推到

U

外。

可以用两种方法处理这种困难:第一种方法是在“整个相空间内”考虑动力系统而把任何区域忘却。

这种方法对定义在紧光滑流形

X

上的动力系统是理想的。

这时,定义

28.2.2

中的“区域

U”(连同距离定义)被“紧流形

X”所代替。

遗憾的是,对

Rn

中的系统,这容易导致复杂化。

例如,如果

d1

中的上确界是在整个

Rn

上取的话,许多看上去很平常的系统之间的距离可以是无穷。

因此,第二种方法对有界区域需要继续做,但必须引入结构稳定性的另一个定义。

定义

28.2.3(Antronov

结构稳定性)定义在区域D⊂Rn中的系统式(28.2.7)称为在区域

D0⊂D

内是结构稳定,如果对任何在

D

内

C1

充分接近的系统式(28.2.8),那么存在区域U,V⊂D,D0⊂U,使得在U中的式(28.2.7)拓扑等价于V中的式(28.2.8)(图28.2.3)。对离散-时间

系

统

可

给

出

平

行

的

定

义。

如

果式(28.2.7)在

D0⊂D内结构稳定,那么它在任何区域D1⊂D0

内

结

构

稳

定。

存

在

这

样的

情

况,定

义

28.2.2

和定义

28.2.3实际是重合的。

引理

28.2.1

若一个系统在区域

D0

内结构稳定,D0

的边界是

B0,且系统的所有轨道都严格指向

B0

的内部,则它在

U=D0

内严格结构稳定。

下面的经典定理给出了平面上连续-时间系统结构稳定的充要条件。

定理

28.2.1(Antronov-Pontryagin,1937)

光滑动力系统在区域

D0⊂R2

中结构稳定,当且仅当:(1)系统在

D0内有有限多个平衡点和极限环,且它们都是双曲的。

(2)在

D0内不存在从鞍点回到鞍点的分界线,也不存在连接2个鞍点的分界线(图

28.2.4)。

注:事实上,在Antronov-Pontryagin中,他们考虑系统的右端在区域

D0⊂R2

内解析,D0的边界是(逐段)光滑曲线所围。

他们假设所有轨道都严格地指向该区域的内部使得能利用定义28.2.2。

后来引入定义28.2.3

中有关在边界上性态的限制被去掉了。

此外,他们证明了将扰动系统在

D0

内的相图变换成原来系统相图的同胚h可选为C0接近于恒同映射id(x)=x。

这个定理对平面系统的结构稳定性给出了完全的描述。

很明显,这毫无疑问地证明了平面上典型(一般)系统满足

Antronov-Pontryagin

条件,从而是结构稳定。

如果考虑依赖于

k个参数的一般平面系统的分岔图,这些是结构稳定系统,它们在参数空间中占据

k

维开区域。

人们会问:类似的定理在

n

维空间中是否存在?答案是否定的。

更确切地说,可以建立连续-时间系统结构稳定的充分条件(类似于定理28.2.1,称为

Morse-Smale

条件)。

不过,存在这样的系统不满足这些条件但是结构稳定。

特别需要注意的是,结构稳定系统在紧区域内可以有无穷多个周期轨道。

为理解此现象,在R3

考虑一个连续-时间系统,假定存在一个二维截面∑,系统在它上面定义了产生

Smale

马蹄的

Poincaré映射。

于是,系统在相空间的某个区域内存在无穷多个鞍点环。C1接近系统将在∑上定义

C1接近

Poincaré

映射(例题25.3.2)。

马蹄稍有变形,但几何结构仍成立。

因此,含有无穷多个鞍点环的复杂不变集在所有充分小的扰动下得到保持。

对应相图的同胚变换也可以构造。

进一步,可以构造一个系统,它没有接近结构的稳定系统。

当点

O

在εs

和

εu

中都是结点时,O称为鞍点。

当

O

至少在子空间

εs

和εu

之一中是焦点时,称为鞍-焦点。

我们可以按轨线在主坐标下的性态指定

个鞍点不动点的主要类型:①鞍点(+,+):在

Wsloc和

Wuloc上都是结点(+)。②鞍点(-,-):在

Wsloc和

Wuloc上都是结点(-)。③鞍点(+,-):在

Wsloc上是结点(+),在

Wuloc上是结点(-)。

④鞍点(-,+):在

Wsloc上是结点(-),在

Wuloc上是结点(+)。⑤鞍-焦点(2,1+):在

Wsloc上是焦点,在Wuloc上是结点(+)。⑥鞍-焦点(2,1-):在

Wsloc上是焦点,在Wuloc上是结点(-)。

⑦鞍-焦点(1+,2):在

Wsloc上是结点(+),在Wuloc上是焦点。

⑧鞍-焦点(1-,2):在Wsloc上是结点(-),在

Wuloc上是焦点。

⑨鞍-焦点(2,2):在

Wsloc和

Wuloc上都是焦点。

b.鞍点(-,-):在

Wsloc和

Wuloc上都是结点(-)。

c.鞍点(+,-):在

Wsloc上是结点(+),在

Wuloc上是结点(-)。

d.鞍点(-,+):在

Wsloc上是结点(-),在

Wuloc上是结点(+)。

对应的特征值如图

28.3.7~图

28.3.10所示。

②鞍-焦点a.鞍-焦点(2,1+):在Wsloc上是焦点,在

Wuloc上是结点(+)。b.鞍-焦点(2,1-):在

Wsloc上是焦点,在

Wuloc上是结点(-)。c.鞍-焦点(1+,2):在

Wsloc上是结点(+),在

Wuloc上是焦点。d.鞍-焦点(1-,2):在

Wsloc上是结点(-),在

WulocWuloc上是焦点。

对应的特征值如图28.3.11所示。

图28.3.11鞍-焦点特征值图

28.3.3三维离散动力系统不动点按特征方程参数分类

式(28.3.1)中矩阵A的特征值由

det(A-μI)=0

给出。

即其中对应的特征值为

其中线性系统式(28.3.4)具有如下性质:

(1)当Δ<0

时,A

有3个不等的实特征值。

原点分别是稳定结点、不稳定结点或鞍点。

(2)当

Δ>0

时,A

有1个实特征值和一对复特征值。

原点分别是结点、焦点或鞍-焦点。

(3)当

Δ=0

且

q2=-4p3/27≠0时,A

有两个重特征值。

原点分别是稳定结点、不稳定结点或鞍点。

(4)当

Δ=0

且

p=q=0

时,A

有

3

个重特征值。

原点分别是稳定结点或不稳定结点。

(5)如果

det(A)=0,则原点为退化的不动点。

⑤若μ1=1,Imμi≠0,i=2,3,那么线性离散系统有关于原点的第一类焦点边界。

a.μ1=1,μ2,3=ρe±iω,ρ<1,第一类稳定焦点边界。

b.μ1=1,μ2,3=ρe±iω,ρ>1,第一类不稳定焦点边界。

如图

28.3.16

所示这类边界的特征值图分两种情况。⑥若

μ1=-1,Imμi≠0,i=1,2,那么线性离散系统有关于原点的第二类焦点边界。

a.μ1=-1,μ2,3=ρe±iω,ρ<1,第二类稳定焦点边界。

b.μ1=-1,μ2,3=ρe±iω,ρ>1,第二类不稳定焦点边界。

如图

28.3.17

所示这类边界的特征值图分两种情况。

a.若μ1=μ2=-1,μ3<1,则线性离散系统有一个关于原点的第二类稳定结点边界。b.

若

μ1=μ2=-1,μ3>1,则线性离散系统有一个关于原点的第二类不稳定结点边界。④若

μ1=1,μ2=-1,μ3≠1,那么线性离散系统有关于原点的第三类结点边界:a.若

μ1=1,μ2=-1,μ3<1,第三类稳定结点边界。

此时共有两种临界状态即([1,∅]:[∅,∅]:1:1和([∅,1]:[∅,∅]:1:1状态。b.若

μ1=1,μ2=-

1,μ3>1,第三类不稳定结点边界。

此时共有两种临界状态即([∅,∅]:[1,∅]:1:1和([∅,∅]:[∅,1]:1:1

状态。(3)有3个特征值在边界上。①若

μ1=1,μ2,3=e±iω,ρ=1

时,那么线性离散系统有关于原点的

圆形边界。

如图28.3.19中的特征值图所示,这类边界分两种情况。

a.

若μ1=1,μ2,3=e±iω,ρ=1,第一类圆形边界。

b.若μ1=-1,μ2,3=e±iω,ρ=1,第二类圆形边界。

②若

μ1=μ2=1,μ3=-1,那么线性离散系统有关于原点的第一类两点圆形边界。③若μ1=1,μ2=μ3=-1,那么线性离散系统有关于原点的第二类两点圆形边界。④若μ1=μ2=μ3

=1,那么线性离散系统有关于原点的第一类一点圆形边界。⑤若

μ1=μ2=μ3

=-1,那么线性离散系统有关于原点的第二类一点圆形边界。

并令

d1=d+ib。

于是,这个方程化为对z

的方程其中μ=μ(α)=(1+α)eiθ(α),以及

c1=c1(α)=eiθ(α)d1(α)是参数

α的复函数。

应用表达式z=ρeiφ,得到关于

ρ=z

的映射由于得到系统式(28.4.1)的下面的极坐标形式

式中,R、Q为(ρ,α)的光滑函数。

当

α

穿过零时,系统相图的分岔用后面这个形式的方程容易被分析,因为映射ρ关于

φ

是独立的。

式(28.4.7a)定义了一个一维动力系统,对所有

α,它有不动点

ρ=0。

当

α<0时,它是线性稳定;当

α>0时,它变成线性不稳定;当

α=0时,它的稳定性由系数

d(0)的符号所决定。

假设

d(0)<0,则当α=0

时(非线性)稳定。

此外,式(28.4.7)中的

ρ

映射还有另外的α>0

时的稳定不动点,即

式(28.4.7)中的

φ

映射刻画一个依赖于

ρ

与

α

的旋转角度,它近似等于θ(α)。

因此,由式(28.4.7)定义的两个映射的叠加,可得到原来的二维系统式(28.4.1)的分岔图(图

28.4.1)。

这个系统永远有在原点的不动点。

系统当

α<0

时稳定,当

α>0时不稳定。

系统在原点附近的不变曲线,当

α<0时,它看上去像连续-时间系统稳定焦点附近的轨道;当

α>0时,它像不稳定焦点附近的轨道。

在临界参数值α=

0

这个点非线性稳定。

当

α>

0时这点被一条唯一且稳定的孤立闭不变曲线所围绕。

这条曲线是半径为

ρ0(α)的圆周。

所有其他从这闭不变曲线的内外出发的轨道除原点以外在式(28.4.7)的迭代下都趋于这条曲线。

这是

Neimark-Sacker分岔。

这种分岔也可以在(x1,x2,α)空间中叙述。

所出现的由α

参数化的闭不变曲线族构成一个抛物面。

d(0)>0

的情形可以用同样方法分析。

这个系统在

α=0

时产生

Neimark-Sacker

分岔。

与上面考虑的情形相反,存在一条不稳定闭不变曲线,当

α从负到正穿过零时消失(图28.4.2)。

注:(1)如同

Andronov-Hopf分岔和翻转分岔,这两种情形通常称为超临界和亚临界(或者称为“软”和“硬”)Neimark-Sacker

分岔。

通常,分岔的类型由不动点在分岔参数值的稳定性所确定。

(2)式(20.4.7)在不变圆周上的轨道结构依赖于旋转角

Δφ=θ(α)+ρ2Qα(ρ)和

2π之比在圆周上是有理数还是