2027届高三数学一轮复习课件：第七章　7.5　空间角与空间距离、空间向量及其应用

第七章立体几何与空间向量7.5空间角与空间距离、空间向量及其应用知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1空间向量的概念及运算1.空间向量的有关概念及定理概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb共面向量定理若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯

一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理及推论定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向

量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对平面ABC内任一点

P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

=x

+y

+z

,且x+y+z=12.两个空间向量的数量积(1)a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量).(3)设a=(x,y,z),则|a|2=a2,|a|=

.3.空间向量的坐标运算

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)向量差a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b3共线a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0夹角公式cos<a,b>=

知识点2用向量法判断空间中的位置关系设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则有:线线平行:l∥m⇔a∥b⇔∃k∈R,使得a=kb.线面平行:l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0.面面平行:α∥β⇔u∥v⇔∃k∈R,使得u=kv.线线垂直:l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0.线面垂直:l⊥α⇔a∥u⇔∃k∈R,使得a=ku.面面垂直:α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.知识点3空间角与距离1.空间中的角空间中的角范围示例公式异面直线所成角

将异面直线平移到同一平面内cos

θ=

直线与平面所成角

sinθ=

平面与平面的夹角(所成角)

cosθ=

二面角的平面角[0,π]

|cosθ|=

注意二面角的平面角的余弦值的正负需要根据实际图形确定.2.空间中的距离空间中的距离示例公式点到直线的距离

PQ=

=

(u是直线l的单位方向向量)平面外一点到平面的距离

PQ=

提示空间中的其他距离,如两平行直线间的距离可转化为点到直线的距离;直线与平

面平行时,直线到平面的距离可转化为点到平面的距离;两平面平行时,两平面间的距离

可转化为点到平面的距离.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若直线l的方向向量为e=(1,-1,2),平面α的法向量为m=(6,4,-1),则l⊥α.

()(2)已知向量a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(0,0,1),则{a,b,c}能构成空间一个基底.

()(3)两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β.

()(4)已知A(1,8,11),B(2,6,9),C(3,4,10),D(1,8,14),则A,B,C,D四点共面.

()

√

√

✕

✕

2.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距

离为_________.3.直线l的方向向量是s=(-1,1,1),平面α的法向量是n=(2,x2+x,-x2),若直线l∥平面α,则x=____.2

考点清单考点1空间角角度1求异面直线所成的角典例1已知菱形ABCD中,∠DAB=

,将△DAC沿对角线AC折起,使以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为

()A.

B.

C.

D.

C

解析取AC的中点E,连接BE,DE,因为AD=CD,所以DE⊥AC,同理,BE⊥AC,设AB=2a(a>0),由题意得∠DAC=∠BAC=

,所以BE=DE=a,AE=CE=

a,易知,当平面ACD⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大,【S△ABC为定值,DE为三棱锥

的高】此时∠BED=

,DE,BE,CE两两垂直.以E为原点,

,

,

的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,

则A(0,-

a,0),B(a,0,0),C(0,

a,0),D(0,0,a),所以

=(a,

a,0),

=(0,-

a,a),所以cos<

,

>=

=-

,所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为

.故选C.方法总结用向量法求异面直线所成角的步骤1.建立空间直角坐标系;2.用坐标表示两异面直线的方向向量;3.利用公式求出向量夹角的余弦值;4.注意两异面直线所成角的范围是

,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.变式训练1.(关键元素变式)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,D1是A1B1的中点,

E1是A1C1的中点,∠BCA=90°,BC=CA=2,CC1=3,则BD1与AE1所成角的余弦值是

()

A.

B.

C.

D.

B

解析因为在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BCA=90°,所以易得CA,CB,CC1两两垂直,则以

C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CC1所在直线为z轴,建立空间直角坐标

系Cxyz,则A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),又D1,E1分别是A1B1,A1C1的中点,所以D1(1,1,3),E1(1,0,3),故

=(1,-1,3),

=(-1,0,3),设BD1与AE1所成角为θ,则cosθ=

=

=

=

.所以BD1与AE1所成角的余弦值为

.故选B.

角度2直线与平面所成的角典例2

(2026届广东江门纪元中学开学考,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=

AA1=2,∠BAC=90°,E,F分别为C1C,BC的中点.(1)求证:A1B⊥B1C;(2)求直线A1B与平面AEF所成角的余弦值.

解析

(1)证明:连接AB1,因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,所以AC⊥AA1,又AC⊥AB,AB∩AA1=A,AB,AA1⊂平面ABA1,所以AC⊥平面ABA1,又A1B⊂平面ABA1,所以A1B⊥AC,因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,所以四边形ABB1A1为正方形,所以A1B⊥AB1,因为AC∩AB1=A,AC,AB1⊂平面ACB1,所以A1B⊥平面ACB1,又B1C⊂平面ACB1,所以A1B⊥B1C.【线面垂直的性质定理】(2)解法一因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,所以AB,AC,AA1两两垂直,所以以A为原点,分别以AB,AC,AA1所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系,

则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),所以

=(2,0,-2),

=(0,2,1),

=(1,1,0).设平面AEF的法向量为n=(a,b,c),则

令a=1,得n=(1,-1,2).设A1B与平面AEF所成角为θ,则sinθ=|cos<n,

>|=

=

=

,即A1B与平面AEF所成角的正弦值为

,所以A1B与平面AEF所成角的余弦值为

.解法二如图,过C作CD∥AB且CD=AB,连接DE,DC1,DF,BD,易得四边形ABDC为正方形,且A1B∥C1D,则A1B与平面AEF所成角和DC1与平面ADE所

成角相同,因为E是CC1的中点,所以C1到平面ADE的距离等于C到平面ADE的距离,过C作CH⊥EF,因为EC⊥平面ABDC,AD⊂平面ABDC,则EC⊥AD,又因为AD⊥CF,EC∩CF=C,EC,CF⊂平面EFC,所以AD⊥平面EFC,因为CH⊂平面EFC,所以CH⊥AD,因为AD∩EF=F,AD,EF⊂平面ADE,所以CH⊥平面

ADE,即C1到平面AEF的距离就是CH的长,设直线A1B与平面AEF所成角为θ,则sinθ=

.易得DC1=

=

=2

,在Rt△ECF中,EF=

=

=

,由EF·CH=CF·CE可得CH=

=

=

,所以sinθ=

=

÷2

=

,因为θ∈

,所以cosθ=

=

.方法总结求直线与平面所成角的方法1.定义法(1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定垂足的位置

是关键;(2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角;(3)求:构造角所在的三角形,利用解

三角形的知识求角.2.向量法sinθ=|cos<

,n>|=

(其中

为平面α的斜线AB的方向向量,n为平面α的法向量,θ为斜线与平面α所成的角).变式训练2.(情境模型变式)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,AD=2,AB=

BC=1,△PAD为等边三角形,M为PA的中点,且平面PAD⊥平面ABCD,PD⊥AB.(1)证明:DM⊥平面PAB;(2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.

解析

(1)证明:取AD的中点O,连接PO,因为△PAD为等边三角形,故PO⊥AD,由平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,因为AB⊂平面ABCD,所以PO⊥AB,又PD⊥AB,PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD,因为DM⊂平面PAD,所以AB⊥DM,又M为PA的中点,△PAD为等边三角形,则DM⊥PA,因为AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以DM⊥平面PAB.(2)连接CO,因为AO=

AD=1,AD∥BC,所以AO∥BC,AO=BC,所以四边形ABCO为平行四边形,故OC∥AB,由(1)知AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,故AB⊥AD,所以OC⊥AD,故以O为坐标原点,OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.

则P(0,0,

),M

,C(1,0,0),D(0,1,0),

=(1,0,-

),

=

,

=

,设平面MCD的法向量为n=(x,y,z),则

令y=1,则n=(1,1,

),设直线PC与平面MCD所成角为θ,则sinθ=|cos<

,n>|=

=

=

.角度3二面角或平面与平面所成的角典例3如图,在四棱锥P-ABCD中,CD∥AB,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,三棱锥B-PAD

的体积为

.(1)求点P到平面ABCD的距离;(2)若PA=PD,平面PAD⊥平面ABCD,点N在线段AP上,AN=2NP,求平面NCD与平面

ABCD夹角的余弦值.

解析

(1)设点P到平面ABCD的距离为h,则VB-PAD=VP-ABD=

h·S△ABD=

,由题意可知S△ABD=

AB·BC=4,所以h=

=

=

,所以点P到平面ABCD的距离为

.(2)解法一取AD的中点M,连接PM,因为PA=PD,所以PM⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD,PM⊂平面PAD,所以PM⊥平面ABCD,【面面垂直的性质定理】由(1)知PM=

.由题意可得BD=2

,AD=

=2

,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD.以D点为坐标原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,过点D作PM的平行线为z轴,建

立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2

,0,0),P(

,0,

),C(-

,

,0),则

=(-

,

,0),

=(2

,0,0),

=(-

,0,

),

=

=

,所以

=

+

=

.设平面NCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则

故可取n1=(1,1,-2),易知平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),设平面NCD与平面ABCD的夹角为θ,则cosθ=|cos<n1,n2>|=

=

=

,所以平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值为

.

解法二如图,取AD的中点M,连接PM,在线段AM上取一点H,使得AH=2HM,连接NH,在

平面ABCD中,过点H作HK⊥CD,交CD的延长线于点K,连接NK.

因为AN=2NP,所以NH∥PM,NH=

PM=

,AH=

AM=

AD=

.因为PA=PD,所以PM⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD,PM⊂平面PAD,所以PM⊥平面ABCD,所以NH⊥平面ABCD,因为CD⊂平面ABCD,所以NH⊥CD,又HK⊥CD,且HK∩NH=H,HK,NH⊂平面NHK,所以CD⊥平面NHK,因为NK⊂平面NHK,

所以CD⊥NK,所以∠NKH(或其补角)是平面NCD与平面ABCD的夹角.在Rt△HDK中,易知DH=

,∠KDH=45°,所以KH=DH·sin45°=

,所以cos∠NKH=

=

=

,故平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值为

.方法总结求二面角或平面与平面所成角的方法1.定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,

如图,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

2.向量法(1)构建恰当的空间直角坐标系;(2)准确求解相关点的坐标;(3)求出平面的法向量;(4)利用公式求出向量夹角的余弦值,由图形判断二面角的余弦值的正负,平面与平面的

夹角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.变式训练3.(情境模型变式)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为4的菱形,∠BCD

=60°,AC与BD交于点O,平面FBC⊥平面ABCD,EF∥AB,FB=FC,EF=2.(1)证明:OE⊥平面ABCD;(2)若点E到平面ABCD的距离为6,Q为AE上一点,且

=

,求二面角Q-BC-A的余弦值.

解析

(1)证明:取BC的中点G,连接FG,OG.因为FB=FC,所以FG⊥BC.又因为平面FBC⊥平面ABCD,平面FBC∩平面ABCD=BC,FG⊂平面FBC,所以FG⊥平面ABCD.因为O,G分别为AC,BC的中点,所以OG∥AB,OG=

AB.又因为EF=

AB,EF∥AB,所以EF∥OG,EF=OG,则四边形EFGO为平行四边形,所以OE∥FG,从而OE⊥平面ABCD.(2)连接QB,QC,以O为原点,AC所在直线为x轴,BD所在直线为y轴,OE所在直线为z轴建

立空间直角坐标系,

则E(0,0,6),A(2

,0,0),B(0,2,0),C(-2

,0,0),则

=(-2

,-2,0),由

=

,可得Q

,所以

=

.设平面QBC的法向量为m=(x,y,z),则

即

令y=-3,则m=(

,-3,-2),易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).设二面角Q-BC-A的平面角为θ,易知θ为锐角,所以cosθ=

=

=

,即二面角Q-BC-A的余弦值为

.考点2空间距离角度1点到直线的距离典例4如图,该几何体是由等高的半个圆柱和

个圆柱拼接而成的,点G为弧CD的中点,且C,E,D,G四点共面.(1)证明:平面BDF⊥平面BCG;(2)若平面BDF与平面ABG所成角的余弦值为

,且线段AB的长度为2,求点G到直线DF的距离.解析

(1)证明:过G作GH∥CB,交底面弧于H,连接HB,易知四边形HBCG为平行四边形,

所以HB∥CG,又G为弧CD的中点,则H是弧AB的中点,所以∠HBA=45°,由题设知∠ABF=45°,则∠HBF=∠HBA+∠ABF=90°,所以FB⊥HB,即FB⊥CG,由CB⊥底面ABF,FB⊂底面ABF,得CB⊥FB,又CB∩CG=C,CB,CG⊂平面BCG,所以FB⊥平面BCG,【线面垂直的判定定理】又FB⊂平面BDF,所以平面BDF⊥平面

BCG.【面面垂直的判定定理】(2)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则B(0,2,0),F(2,0,0),A(0,0,0),则

=(0,2,0).

设半圆柱的高为h,则D(0,0,h),G(-1,1,h),所以

=(-2,0,h),

=(0,-2,h),

=(-1,1,h),设平面BDF的法向量是m=(x,y,z),则

令z=2,则m=(h,h,2),设平面ABG的法向量是n=(a,b,c),则

令c=1,则n=(h,0,1),所以|cos<m,n>|=

=

=

,整理可得h2-4=0,则h=2,则G(-1,1,2),D(0,0,2),则

=(2,0,-2),

=(-1,1,0),所以点G到直线DF的距离d=

=

.方法总结求点A到直线l的距离的方法向量法设过点P的直线l的单位方向向量为n,A为直线l外一点,则

点A到直线l的距离d=

两点间距离公式法如果能求出点在直线上的射影坐标,可以直接利用两点

间距离公式求解直接法直接过A点作直线l的垂线,设垂足为D,则AD的长就是所

求变式训练4.(关键元素变式)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1=2AC=2,D是线段B1C

上的动点,则点D到直线AB的距离的最小值是

()A.

B.

C.

D.

A

解析如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标

系.则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,1,0),则

=(2,0,0),

=(0,1,0),

=(2,-1,2).设

=k

=(2k,-k,2k)(0≤k≤1),则

=

+

=(2k,1-k,2k),故点D到直线AB的距离d=

=

=

,当k=

时,d最小,为

.

角度2点到平面的距离典例5

(2026届山东青岛五十八中调研,17)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,

平面PAD⊥平面PCD,PA⊥AD,PA=AD=2,E为线段PD的中点,点F为线段PC上的动点

(不含端点).(1)证明:平面AEF⊥平面PCD;(2)若平面AEF与平面PBC的夹角为

,求点P到平面AEF的距离.

解析

(1)证明:因为PA⊥AD,PA=AD=2,E为线段PD的中点,所以AE⊥PD.又因为平面PAD⊥平面PCD,且平面PAD∩平面PCD=PD,AE⊂平面PAD,所以AE⊥平面PCD,又AE⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面PCD.(2)由(1)知,AE⊥平面PCD,因为CD⊂平面PCD,所以AE⊥CD,又因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥AD,由AD∩AE=A,AD,AE⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,因为PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA,又因为PA⊥AD,CD∩AD=D,CD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD,以A为原点,

,

,

的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),则

=(0,1,1),

=(0,0,2),

=(2,2,-2),

=(2,0,-2),设

=λ

(0<λ<1),则

=

+

=

+λ

=(2λ,2λ,2-2λ),设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则

令y1=λ,则x1=1-2λ,z1=-λ,故m=(1-2λ,λ,-λ),设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则

令a=1,则c