三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类专题合集三

专题11解三角形

考纲解庚明方向

考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度

1.正弦定

2017山东,9;2017浙江，14;

掌握正弦定理、余弦定理，

2017天津，15;2017北京，15;选择题

理和余弦并能解决一些简单的三角掌握★★★

2016课标全国H,13;填空题

形度量问题

2016天津,3;2015天津，13

定理

2.正、余弦2017课标全国H,17;

能够运用正弦定理、余弦定

2017课标全国III,17;2017江苏，18;

理等知识和方法解决一些

定理的应掌握2016课标全国HI,8;解答题★★★

与测量和几何计算有关的

2016山东，16;2016浙江，16;

实际问题

用2015湖北,13

分析解读

1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题，需要综合应用两个定理

及三角形有关知识.

2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会

利用数学建模思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题.

⑥再・分析］----------------,

木Q壕合了X循肥、角惘等受

1首先用阳气形的M和公式可得

换等相关知识.在知汉,交江处”1.俗招便血枳公式1切K为•次,版川正款定可；

构收.加强/劝双联的与Q,廉弟边K%次,一般用余俊定同F«rinH=彳♦然Ari融用止

2正.手定J».余正定鼻

问总的第U）问1■叟足：用忸等叁换.2.川田廉次数怒的&不阳现次或定用M型痴；嬴nC、的优

为第⑵求便奠定摩；第⑵3网俯郛竹余筑公式数令的.川帔求的表小K能的

M❷.首先结介西向钟的余弦公式求出

间肚骄.仔形.也通兜第通常&站2i

令E余弦定理光化倚用F中比较BH.进而求山乐・反利用余求

M方的一个条件.未出边或珈.必定理求遇例求出阳K

■一角形

1.在求第。）同时.可在舞第同的

・梆公式,姐由勒0得g&reC-

IMI在角△ABC中,他3C;记一~j■或-ykxinA--4-.济介

w»n42IxinA-

CO*(44JJ)=-C<MCnanlA+A)=TMC正依定JV*可幡Nd。JhinC=y

2在等近角中.Sn/UUng

2求解第⑶向K注宣程体型.想的

tanC=UnA•<an8*IanC

3.44BC为止：购密的允要条件足人MJH

aCtft等先数列成等比敛刑

储国分析：

1由T网网中都要用刊版枳公大，

所以附枳公式远川不具活处本脍

1S.、“广~^«A«un(?="jurNinR-失分的主安原囚.特冽必笫⑵同.

逸忤公式5-%.n4必加瞄的关

■y4r»in4

管

2余强定黑的变形形式:/=俗“尸-

2鼾答第⑵问时.现钎镂刊利用

26c-2^ecosA⑴间的曲米和四饱和的余张公式.

3-4UN4aiatiMfitinarmnfi等效思才受即而失分

2018年高考全景屐示

C_y/5

1.【2018年理数全国卷H】在AdBC中，“'、=了，BC=1,AC=5,则/18=

A.4超B.v'30c.\，‘西D.2、，亏

【答案】A

【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：因为2'5，5所以

3

/=/+bl-2abcosC=1+25-2x1x5x(-')=321c=4.2

5，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化

边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

2.【2018年浙江卷】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=«Zb=2,A=60°,

则sinB=,c=.

闻

【答案】73

【解析】分析:根据正弦定理得s：n5,根据余弦定理解出c

详解：由正弦定理得；=篝，所以sinB=Wxsin；=学,由余弦定理得

osinsV•0

a2=b2+c2-2bccosA,A7=4+c2—2c,：.c=3(负值舍去).

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化

为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

a2+h2-c2

3.【2018年全国卷m理］△4BC的内角A，见。的对边分别为%b,,若△4EC的面积为-4

则。=

nrtrta

A.2B.'C.HD.6

【答案】C

SAA"=IabsinC-7-

【解析】分析：利用面积公式"2和余弦定理a2+b2-c2=2abc。sC进行计算可得。

S=ahsinC=---------〉

详解：由题可知AAfir24,所以a27+/)2_c2=2absmC,由余弦定理

:4J

a2+if-c2=2abco$C,所以sinC=cosC,vC6(0,rr),4,故选C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查「三角形的面积公式和余弦定理。

4.【2018年江苏卷】在△4附中，角八，8,C所对的边分别为a也c,LABC=120,=1伏：的平分线交八C于

点、D,且用)=1,则4a+c的最小值为.

【答案】9

【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，5。g=5八*8。+5人8血,由角平分线性质和三角形面积公式得

120°=X1xsu?60°+Lx1xsin60°ac=a+cj+】=1

222化简得ac，因此

11、c4a_fc4a

4u+c=(4a+c)(-+—)=5+-+—>5+2i----=9,

。cac、lac当且仅当c=2a=3时取等号，贝收a+c的最小

值为9.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即

条件要求中字母为正数)、，，定”(不等式的另一边必须为定值)、，，等，，(等号取得的条件)的条件才能应用，

否则会出现错误.

w

bsinA=acos(R-)

5.【2018年理数天津卷】在418c中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知6’.

(I)求角B的大小；

(II)设a=2,c=3,求口和sin(24-B)的值.

n3点

_,=■sin(2A-B)=---

【答案】(1)3；(II)b=",14.

n

【解析】分析：(I)由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得Sn8=\H,则8=,.

(II)在△ABC中，由余弦定理可得6=、7.结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

riI司

s«n(24-/?)=方.

abH

=.bsinA=acos(B—)

详解：(I)在△ABC中，由正弦定理siMsinH,可得bsiM=asm/?,又由6,得

it.JIn

asinB=acos(B—)sinB=cos(B—)l

6,即6,可得CanB=«3.又因为B€(0，n),可得B=3.

(II)在A43c中,由余弦定理及o-2,c-3,5哈有>=a2+c2-laccosB=7,故7.

由bsirU=acos(B-可得s淞4==.因为a<c,故cosA=三.因此sin2A=2sinAcosA=孚，

6y7V7

cos2A-2cos2A_1=二.所以，sln(2A-B)=sinlAcosB-coslAsinB=竽x：—=x"=詈.

点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现

边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注

意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

1

6.【2018年理北京卷】在AABC中，a=7,b=8,cos8=-7.

(I)求N4；

(II)求AC边上的高.

n3V'3

【答案】(1)ZA=3(2)AC边上的高为"F

【解析】分析：(1)先根据平方关系求sinB,再根据正弦定理求sinA,即得N4；(2)根据三角形面

'absinC='hb

积公式两种表示形式列方程22,再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin。，解得AC边

上的高.

1匹,------274和

-_cosH----

详解：解：(I)在△ABC中，cosB-7,/.fie(2,n),/.sinB=7.由正弦定理得

8

a=b7适在nna

sin/lsin月nsin/l=7,/.sinA=2.Vfie(2,n),(0,2),ZA=3.

辟114#33

—x(—)4--x------V--

(II)在ZkABC中，VsinC=sin(A+8)=sinAcosB+sinBcosA=2727=14.

h3J33、京3J3

7x---=----

如图所示，在△ABC中，；sinC=RC,.,./z=BC,sinC=142，,AC边上的高为2.

B

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化

边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

7.【2018年理新课标I卷】在平面四边形48CD中，=”=45',48=2,BD=5.

(1)求cosz/CB；

⑵若"=2系求匹

V23

【答案】⑴5.（2）BC=5.

BDABJ2

=sin^ADB=—

【解析】分析：⑴根据正弦定理可以得至WM/t5行口“，根据题设条件，求得5,结

|2、23

cosUDB=il-----=------

合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得7255；（2）根据题设条件以及第一

cos^BDC=sincADB=—

问的结论可以求得5,之后在△ECO中，用余弦定理得到8。所满足的关系,

从而求得结果.

BD_AB52

详解：（1）在△48。中，由正弦定理得sinz/lsMUM.由题设知I,S加45。sin^ADR,所以

应

sin^ADB=—

5.

.2、23

C'O5ZJ4/9/?=11-----=------

由题设知，“。8<90"，所以、255.

2

cos£BDC=sinz.ADB=—

(2)由题设及(1)知，5.在中，由余弦定理得

BC2=HD2+DC2-2-RD•DC•COSLIIDC=25+8-2x5x2v^x=25”,

、5,所以8c=5.

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱

导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要

从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.

2017年高考全曷屐示

1.12017山东，理9】在AABC中，角A,B,c的对边分别为a,b,c.若AABC为锐角三

角形，且满足sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是

(A)a=2b(B)b=2a(c)A=2B(D)

B=2A

【答案】A

［解析］试题分析.sin(4+C)+2sin3cosc=2sin/cosC+cos/sinC

所以2sinBcosC=sinJ4cosc=2sin5=sin=a,选A.

【考点】I.三角函数的和差角公式2.正弦定理.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的

正弦公式转化为含有A,B,C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到a=2瓦解答三角形中的问

题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

2.12017浙江，14】己知"BC,AB=AC=4,BC=2.点。为AB延长线上一点，BD=2,连结CZ),

则ABDC的面积是,cosZBDC=.

姮叵

【答案】

【解析】

试题分析：取8c中点£DC中点F,由题意：延上BC,BF工CD,

cosZ.ABC=:.cos乙DBC=—,sinNDBC=J1-----

△ABE中，AB4,4V164,

S&BCD=-x5Z)x5CxsinADBC=叵

22

cos乙DBC=l-2sin2乙DBF=sin乙DBF=①

又44,

V10

cosZ5DC=sinZD5F=

~T,

巫cosZBDC=^-

综上可得，ABCZ）面积为2,4.

【考点】解三角形

【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与

未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后,

已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐

步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的

解.

3.【2017课标1,理17】AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ZiABC的面积为3sm/

（1）求sinBsinC;

（2）若6cos3cosc=1,〃=3,求AABC的周长.

【解析】

1D/

一acsin8=-----

试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式23sin^,再利用正弦定理将边化成角，从而

cos5cosC=-sin5sinC=—cos（5+C）=--

得出sinSsinC的值；（2）由6和3计算出2,从而求

出角4，根据题设和余弦定理可以求出3c和b+c的值，从而求出的周长为3+亚.

—acsin5=--———csinB----

试题解析：（1）由题设得23smA,即23smA.

1.sm幺

-sinCsin=-----

由正弦定理得23sin工.

sinBsinC=—

故3

(2)由题设cos3cosC=)及(1)得853««。-5后3511。=-1，即cos(3+C)=-L

622

21rTT

所以3+。=三，故幺=；.

33

由题设得1儿sin,4=，一，即儿=8.

23sinJ

由余弦定理得/+兀=9,即。+。2—3儿=9,得b+c=屈.

故△.45c的周长为3+后

【考点】三角函数及其变换.

【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，

可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关

系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”

或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值“，这类问题通法思路

是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如y="sin(Gx+©)+占，从而求出范围，或利用余弦

定理以及基本不等式求范围；求具体的值宜接利用余弦定理和给定条件即可.

•7%0B

,sin(-4+C)=8sinJ—

"2017课标II,理17】&4BC的内角力、B、c所对的边分别为a/Q,已知2,

(1)求cosB；

(2)若a+c=6,2MBe的面积为2,求5。

15

cosen=—

【答案】⑴17；

⑵占=2。

【解析】

试题分析：利用三角形内角和定理可知工+0=k-3,再利用诱导公式化筒sm(5+C),利用降嘉

.nBl-cos5

公式化简22，结合sin2R+cos2B=l求出cosB；利用(1)中结论3=90°,利用

勾股定理和面积公式求出白+c、ac，从而求出3。

,2B

试题解析：⑴由题设及工+3+C=4,smB一*sin万，故sm8=4(l-cos戏

上式两边平方，整理得17cos23_32cos3+15=0,

cos5=—

解得cos8=1(舍去)，17。

$4丽=Lsin5

cos3=—sinB=—

(2)由17得17,故2

_17

又SAABC=2,则2。

由余弦定理及a+c=6得：

b2=a2+c2-laccosB

=(a+c,-2ac(l+cos5)

=36.2x4(1+马

2I17j

=4。

所以b=2o

【考点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式。

【名师点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内

角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边

转角角转边”，另外要注意。+°，℃，/+/三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢

迎。

5.【2017课标3,理17】AABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c.已知sin<+/cos4=0,

a=2后,b=2.

(1)求c：

(2)设。为BC边上一点，且AO~LAC,求△ABO的面积.

【答案】(l)c=4；

⑵由

【解析】

&.—_2_不__

试题分析：(1)由题意首先求得-3,然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得

c=4.

(2)利用题意首先求得面积与△ACO面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得ZkAB。的面积为

出.

A.__2_穴_

试题解析：(1)由已知得tanA=-j3，所以-3.

Oyir

28=4—Accos

在△A8C中，由余弦定理得3，即c2+2c-24=0.

解得：。=一6(舍去)，c=4.

(2)由题设可得ZC1D=-，所以5AD="HC-NCAD=-.

26

17F

-.£3-.W-sin-

故入婚D面积与"18面积的比值为J----------=1

-AC-.4D

2

又人纤C的面积为:X4x2sin/5XC=2造，所以AJBD的面积为6.

【考点】余弦定理解三角形：三角形的面积公式

【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、

余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，

其解是唯一的；己知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和

大边对大角定理进行判断.

3

6.【2017北京，理15】在AABC中，N4=60°,c=-a.

7

(I)求sinC的值；

(II)若。=7,求△A8C的面积.

晅2

【答案】（1）14；（II）4.

【解析】

a_c

试题分析：（I）根据正弦定理SidsinC求sinC的值；（|］）根据条件可知“=7，。=3,根据（1）

的结果求cosC,再利用sm3=sin（"+C）求解，最后利用三角形的面积'一万."113

c=L

试题解析：解：（I）在△4BC中，因为々=60°,-7,

,ccsinA3W3力

所以由正弦定理得―一3一—7亍一元.

3

c=-x7=3

（II）因为。=7,所以7

222

,?,7=2）+3-2hx3xl

由余弦定理。=匕+。-2从8s力得2,

解得匕=8或匕=-5（舍）.

£>=—2>csinj4=Ix8x3x—=

所以△月8c的面积222

【考点】1.正余弦定理：2.三角形面积；3.三角恒等变换.

【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边

的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定

理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是“变

角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差

异的依据就是三角公式

7.【2017天津，理15】在△力5c中，内角所对的边分别为a,瓦c.已知。>小，a=5,c=6,

,3

sinn=—

5.

（I）求小和sin4的值;

冗

sin（2^+-）

（H）求4的值.

772

【答案】⑴b=岳⑦26

【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系a=%,再根据余弦定理求出

cosJ4,

进而得到smR,由a=26转化为sina=2sinB,求出sinB,进而求出cos8,从而求出2B

的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

,34

sinn=-cosxsn=—

试题解析：（I）在△A超C中，因为故由5,可得5.由已知及余弦定理,

^b2=a2+c2-2accosB=13,所以3=^/^

abasin53>/13

----=----sinAA=------=-----

由正弦定理sin工sinS,得b13.

3^3

所以，8的值为历，sm工的值为13.

，25.c，c.，，12

cosA=----sin2-4=2sinJ4COS-4=—

（11）由（I）及a<c,得13,所以13,

cos2A=\-2sin2J4=--sin（2/+工）=sin2J4COS—+cos2u4sin—=

13.故44426.

考点：正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余

弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三

角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

2016年高考全景屐示

B=--BC

1.12016高考新课标3理数】在&1EC中,4,边上的高等于3，则cosR=()

3撷回亚3^0

(A)10(B)10(C)10(D)10

【答案】C

【解析】

试题分析：设BC边上的高线为心，BC=3AD,所以EC=五疗+DC”=#>AD,

AB2+AC^-BC22AD2+5AD^-9AD2_VlO

cos-4=

AB=42AD由余弦定理，知2姐2x&AD又邪AD一而故

选C.

考点：余弦定理.

【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共

条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理

求解.

2.12016高考天津理数】在“8C中，若曲声,BC=3,ZC=120',^AC=()

(A)I(B)2(C)3(D)4

【答案】A

【解析】

试题分析：由余弦定理得13=9+东少+34C=>4c=1,选A.

考点：余弦定理

【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可

以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.

2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.

3.(2016高考江苏卷】在锐角三角形力BC中，若sinR=2sinBsinC,则tanRtanBtanC的最小

值是.

【答案】8.

［解析］sin4=sin(B+C)=2singsinC=tanE+tanC=2tanBtanC,因此

tanXtan5tanC,=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC>2^2tantanStanC=>tan^tanBtanC>8

,即最小值为8.

考点：三角恒等变换，切的性质应用

【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突

破口，斜三角形工8c中恒有tan4tanBtanC=tan>l+tanB+tan。，这类同于正余弦定理，是一个

关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识

“405

ADcJCOS-4=—COSC=—

4.【2016高考新课标2理数】£33(7的内角/石，0的对边分别为。，瓦°,若5,13,

a=l,则8=.

21

【答案】13

【解析】

4A312

试题分析：因为85,4=785。=亍，且4c为三角形内角，所以sin,4=；,sinC=',

513513

sin5=sin［；r-(X+C)］=sin(X+3)=sin4cosc+cos^4sinC=—又因为——=---)

65sinAsin3

亡…、।TasinB21、、/,

所以b=-----=—•子科%P网

sinJ13

考点：三角函数和差公式，正弦定理.

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，

要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦

定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考

虑两个定理都有可能用到.

5.【2016年高考北京理数】(本小题13分)

在AABC中，。2+1=/+0。二

(1)求的大小;

(2)求0cosN+cosC的最大值.

7T

【答案】（1）4；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）根据余弦定理公式求出cosB的值，进而根据5的取值范围求B的大小；

（2）由辅助角公式对应cosA+cosC进行化简变形，进而根据』的取值范围求其最大值.

a2+c2-Z>2-J2ac质

COSnD=---------=-----=---

试题解析：（1）由余弦定理及题设得2ac2ac2,

/D_/_+/C=初

又〈开，-4；（2）由（1）知一4,

5/2cosJ4+COSC=>/2cosJ4+COS(--J4)=0COSJ4--^COSJ4+在.工

422

>/2.^2....7T.n,K5,.7T

=—cos---sinJ4=COS(J4---)0<Z-A<—Z,A=—(-

224，因为4,所以当4时，，2cosj+cosC取

得最大值L

考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.

【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从

而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆半径和面积等）提供了理

论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有：化角法，化边

法，面积法，运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思

想.

6.12016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）

AA5C的内角A,B,C的对边分别为a力,c,已知2coscosB+bcosA）=c.

（I）求C；

3.

（II）若。二6，-8c的面积为一厂，求AHBC的周长.