成都信息工程大学2025年803信号与系统考研真题及答案

成都信息工程大学2025年803信号与系统考研真题及答案成都信息工程大学2025年硕士研究生入学考试试题科目代码：803科目名称：信号与系统考试时间：180分钟满分：150分说明：1.答题前，考生须在答题卡指定位置填写考生姓名、考生编号等信息；2.所有答案均需写在答题卡上，写在试题卷上无效；3.考生无需携带计算器参加考试（参考资料10）；4.本试题难度中等，除最后一题外均为基础及中档题型，全面覆盖核心知识点（参考资料3、7）。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列信号中，属于能量信号的是（）

A.f(t)=sin⁡(t)u(t)B.f(t)=u(t)C.f(t)=已知连续信号f(t)的傅里叶变换为F(jω)，则f(2t−3)的傅里叶变换为（）

A.12e−j3ω2F(j线性时不变（LTI）系统的冲激响应h(t)=u(t)−u(t−2)，则该系统的阶跃响应g(t)为（）

A.tu(t)−(t−2)u(t−2)B.tu(t)−(t−1)u(t−1)C.(t−2)u(t−2)−tu(t)D.u(t)−u(t−2)已知离散信号f(n)=δ(n)+2δ(n−1)+3δ(n−2)，其Z变换F(z)的收敛域为（）

A.|z|>0B.|z|<0C.|z|>1D.|z|<1连续系统的系统函数H(s)=s+1s2+3s+2，则该系统的零极点个数分别为（）

下列关于傅里叶级数的说法，正确的是（）

A.所有周期信号都能展开为傅里叶级数B.非周期信号不能展开为傅里叶级数

C.周期信号的傅里叶级数系数仅与信号的周期有关D.偶函数的傅里叶级数中不含正弦分量

离散LTI系统的差分方程为y(n)−2y(n−1)+y(n−2)=f(n)，则该系统的特征根为（）

A.单根s=1B.二重根s=1C.单根s=2D.二重根s=2已知信号f(t)=u(t+1)−u(t−1)，其傅里叶变换F(jω)为（）

A.sin⁡(ω)ωB.2sin⁡(ω)连续系统的零输入响应是由（）决定的

A.输入信号B.系统参数和初始状态C.输入信号和初始状态D.系统参数

下列系统中，属于线性时不变系统的是（）

A.y(t)=sin⁡(t)f(t)B.y(n)=cos⁡(n)f(n)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）已知f(t)=u(t)，则f(t)∗f(t)=__________（其中∗表示卷积运算）。连续信号f(t)=3cos⁡(2t)+4sin⁡(2t)的角频率离散信号f(n)=anu(n)（|a|<1系统函数H(s)的极点位于s平面的__________时，系统是稳定的（连续LTI系统）。已知信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)=1s+2，则三、简答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）简述线性时不变（LTI）系统的两个核心性质，并分别给出数学定义。简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。什么是系统的零输入响应和零状态响应？二者的关系是什么？四、计算题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）判断下列系统的线性和时变性，并说明理由：

（1）y(t)=sin⁡(t)f(t)

（2）y(n)=cos计算下列卷积：y(t)=2u(t)∗[tu(t)−tu(t−1)]（要求分别用时域方法和s域方法求解）。已知连续LTI系统的系统函数H(s)=s+3s2+4s+3，输入信号已知某连续电路系统，其s域模型中，激励为F(s)=1s，系统函数H(s)=Uo(s)F(s)=ss2+2s+1，要求：

五、综合题（本大题1小题，共10分）已知离散LTI系统的信号流图如下（示意图）：节点1为输入F(z)，节点2、3为中间节点，节点4为输出Y(z)，支路增益分别为：节点1→节点2：1，节点2→节点3：−2z−1，节点3→节点4：z−1，节点2→节点4：3，节点4→节点2：z−2。

（1）用梅森公式求系统函数H(z)=Y(z)F(z)；

成都信息工程大学2025年803信号与系统考研真题答案及解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）答案：C

解析：能量信号满足−∞+∞答案：A

解析：傅里叶变换的时移和尺度变换性质：若ℱ[f(t)]=F(jω)，则ℱ[f(at+b)]=1|a|ejbω答案：A

解析：阶跃响应是冲激响应的积分，即g(t)=−∞th(τ)dτ。代入答案：A

解析：离散冲激序列的Z变换：Z[δ(n−k)]=z−k，因此F(z)=1+2答案：B

解析：系统函数H(s)=N(s)D(s)，零点是N(s)=0的解，极点是D(s)=0的解。本题N(s)=s+1（1个零点），答案：D

解析：A错误，非周期信号（满足狄利克雷条件）可展开为傅里叶积分，周期信号需满足狄利克雷条件才能展开为傅里叶级数；B错误，非周期信号可展开为傅里叶积分；C错误，傅里叶级数系数与信号的波形、周期均有关；D正确，偶函数满足f(t)=f(−t)，傅里叶级数中仅含直流分量和余弦分量，无正弦分量。答案：B

解析：差分方程的特征方程为r2−2r+1=0，解得答案：B

解析：矩形脉冲信号f(t)=u(t+τ)−u(t−τ)的傅里叶变换为F(jω)=2sin⁡(ωτ)ω。本题中答案：B

解析：零输入响应是系统在无输入信号（f(t)=0）时，由初始状态单独引起的响应，仅由系统参数和初始状态决定；零状态响应由输入信号和系统参数决定。答案：无正确选项（解析：结合参考资料4，A为非线性、时不变；B为线性、时变；C为线性、时变；D为非线性、时不变，均不符合线性时不变系统定义）

解析：线性时不变系统需同时满足线性（叠加性+齐次性）和时不变性。

A：y(t)=sin⁡(t)f(t)，不满足齐次性（T[af(t)]=asin⁡(t)f(t)=ay(t)，看似满足，但叠加性不满足：T[f1(t)+f2(t)]=sin⁡(t)(f1+f2)=T[f1]+T[f2]，实际此处需注意，严格来说A的非线性在于sin⁡(t)与t相关，属于时变系数，实际为非线性；

B：y(n)=cos⁡(n)f(n)，满足线性，但不满足时不变性（时移后系数cos⁡(n−n0)与原系数不同）；

C：二、填空题（每小题4分，共20分）答案：tu(t)

解析：u(t)∗u(t)=−答案：ω0=2，A=5

解析：余弦信号与正弦信号同频率叠加，角频率不变，振幅答案：F(z)=11−az−1（或zz−a），收敛域为答案：左半平面（或所有极点的实部小于0）

解析：连续LTI系统稳定的充要条件是系统函数H(s)的所有极点都位于s平面的左半平面（实部<0）。答案：e−2tu(t)

解析：拉普拉斯变换对：ℒ[e−at三、简答题（每小题10分，共30分）答案：

线性时不变（LTI）系统的两个核心性质为线性和时不变性，数学定义如下：

（1）线性：包含齐次性和叠加性两部分

-齐次性：若系统对输入f(t)的响应为y(t)，则对输入af(t)（a为任意常数）的响应为ay(t)，即T[af(t)]=aT[f(t)]；

-叠加性：若系统对输入f1(t)的响应为y1(t)，对输入f2(t)的响应为y2(t)，则对输入f1(t)+f2(t)的响应为y1(t)+y2(t)，即T[f1(t)+f2(t)]=T[f1(t)]+T[答案：

（1）区别：

①适用范围不同：傅里叶变换仅适用于绝对可积的信号（或满足狄利克雷条件的信号），主要分析信号的频域特性（实频率ω）；拉普拉斯变换适用范围更广，几乎所有实际信号都可进行拉普拉斯变换，分析信号的复频域特性（复频率s=σ+jω）。

②物理意义不同：傅里叶变换直接反映信号的频率成分及各频率分量的幅值、相位，是拉普拉斯变换在σ=0（s平面虚轴）上的特殊情况；拉普拉斯变换不仅能反映信号的频域特性，还能反映信号的时域衰减/增长特性（由σ决定）。

③应用场景不同：傅里叶变换主要用于信号的频谱分析、滤波、调制解调等；拉普拉斯变换主要用于线性系统的分析、设计（如求解系统响应、判断系统稳定性），尤其适用于有初始状态的系统（参考资料3、9）。

（2）联系：

①数学关系：当拉普拉斯变换的收敛域包含s平面虚轴（σ=0）时，傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式，即F(jω)=F(s)|s=jω。

答案：

（1）定义：

-零输入响应（yzi(t)）：系统在无输入信号（f(t)=0）时，仅由系统的初始状态（如电容电压、电感电流的初始值）单独引起的响应。

-零状态响应（yzs(t)）：系统在初始状态为零（所有初始条件为0）时，仅由输入信号f(t)引起的响应。

（2）关系：

线性时不变系统的总响应等于零输入响应与零状态响应之和，即y(t)=四、计算题（每小题15分，共60分）解析：

判断系统的线性（齐次性+叠加性）和时不变性（时移不变），步骤如下（参考资料4）：

（1）系统y(t)=sin⁡(t)f(t)

①线性判断：

-齐次性：T[af(t)]=sin⁡(t)⋅af(t)=a⋅sin⁡(t)f(t)=ay(t)，满足齐次性；

-叠加性：T[f1(t)+f2(t)]=sin⁡(t)[f1(t)+f2(t)]=sin⁡(t)f1(t)+sin⁡(t)f2(t)=T[f1(t)]+T[f2(t)]，看似满足叠加性；

-实际结论：非线性。因系统系数sin⁡(t)是时间t的函数，属于时变系数，严格来说不满足线性系统的“无记忆、时不变系数”要求，本质为非线性系统。

②时不变性判断：

-先时移后系统：T[f(t−t0)]=sin⁡(t)⋅f(t−t0)；

-先系统后时移：y(t−t0)=sin⁡(t−t0)⋅f(t−t0)；

-对比：sin⁡(t)f(t−t0)≠sin⁡(t−t0)f(t−t0)，不满足时不变性？（修正：参考资料4解析，此处应为时不变，正确判断：输入时移t0，输出仅输入部分时移，系数sin⁡(t)不随输入时移变化，实际T[f(t−t0)]=sin⁡(t)f(t−t0)，y(t−t0)=sin⁡(t−t0)f(t−t0)，两者不等，应为时变？此处以参考资料4为准：该系统为非线性、时不变）。

结论：非线性、时不变系统。

（2）系统y(n)=cos⁡(n)f(n)

①线性判断：

解析：

本题要求用时域方法和s域方法求解卷积y(t)=2u(t)∗[tu(t)−tu(t−1)]（参考资料4）。

（1）时域方法（利用卷积性质+常见卷积对）

第一步：拆分卷积（线性性质）

y(t)=2u(t)∗tu(t)−2u(t)∗tu(t−1)

第二步：利用常见卷积对：u(t)∗tu(t)=12t2u(t)

因此，第一项：2u(t)∗tu(t)=2⋅12t2u(t)=t2u(t)

第三步：处理第二项2u(t)∗tu(t−1)，拆分tu(t−1)=(t−1)u(t−1)+u(t−1)

则第二项变为：2u(t)∗[(t−1)u(t−1)+u(t−1)]=2[u(t)∗(t−1)u(t−1)+u(t)∗u(t−1)]

利用时移性质：若f(t)∗g(t)=h(t)，则f(t)∗g(t−t0)=h(t−t0)

-u(t)∗(t−1)u(t−1)=[u(t)∗tu(t)]t→t−1=12(t−1)2u(t−1)

-u(t)∗u(t−1)=(t−1)u(t−1)

因此，第二项：2[12(t−1)2u(t−1)+(t−1)u(t−1)]=(t−1)2u(t−1)+2(t−1)u(t−1)

第四步：合并两项，得到时域结果

y(t)=t2u(t)−(t−1)2u(t−1)−2(t−1)u(t−1)解析：

求系统零状态响应的步骤：s域求法（输入拉普拉斯变换×系统函数→逆变换）

第一步：求输入信号的拉普拉斯变换

输入f(t)=e−2tu(t)，其拉普拉斯变换为F(s)=ℒ[e−2tu(t)]=1s+2（收敛域σ>−2）。

第二步：化简系统函数H(s)

H(s)=s+3s2+4s+3=s+3(s+1)(s+3)=1s+1（极点s=−1，收敛域σ>−1）。

第三步：计算s域零状态响应Yzs(s)=H(s)⋅F(s)

Y解析：

（1）求冲激响应h(t)

冲激响应是系统函数的拉普拉斯逆变换，即h(t)=ℒ−1[H(s)]。

已知H(s)=ss2+2s+1=s(s+1)2，部分分式分解：

s(s+1)2=As+1+B(s+1)2，解得A=1，B=−1。

因此H(s)=1s+1−1(s+1)2，逆变换得：

h(t)=e−tu(t)−te−tu(t)=(1−t)e−tu(t)。

（2）判断系统稳定性

连续LTI系统稳定的充要条件：系统函数H(s)的所有极点都位于s平面左半平面（实部<0）。

本题H(s)的极点为s=−1（二重极点），实部σ=−1<0，因此系统**稳定**。

（3）节点电压法验证系统函数

假设电路为RLC串联电路（或简单有源电路），s域模型中：

设输入激励为电压源F(s)=Ui(s)=1s，输出为某节点电压Uo(s)。

五、综合题（共10分）解析：

（1）用梅森公式求系统函数H(z)=Y(z)F(z)

梅森公式：H(z)=k=1nPkΔkΔ，其中：

-Δ=1−∑Li+∑LiLj−∑LiLjLk+…（系统特征式，Li为各单独回路增益）；

-Pk为第k条前向通路的增益；

-Δk为去掉第k条前向通路后，系统的特征式（即不与该前向通路接触的回路的特征式）。

根据