2026年上海市浦东新区高三二模数学试卷及答案解析

2025学年第二学期期中考试高三数学试卷考生注意：1．本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2．请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.已知全集，集合，则________．【答案】【解析】【详解】，，.2.若复数满足，则复数______.【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解：∵，∴，故答案为：.3.已知，若，则实数a的值为________．【答案】【解析】【详解】若，则，解得若，则，解得，不满足综上4.在中，若，，，则________．【答案】3【解析】【详解】由余弦定理得：，所以5.某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）．【答案】12.5%【解析】【详解】由可知，正态分布曲线对称轴为，可知，所以，可得，即成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12.5%.6.已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________．【答案】【解析】【分析】根据函数导数求出函数在某点处切线斜率即可.【详解】由，所以，所以曲线在处的切线斜率为：.7.从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有________种不同的面试方法．【答案】【解析】【分析】利用分步乘法计数原理结合组合排列分析计算即可.【详解】第一步：从3名女生中选取1名，有种选法，第二步：从4名男生中选取2名，有种选法，第三步：选取的3人依次进行面试，则有种排法，所以一共有种不同的面试方法.8.一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________．【答案】【解析】【详解】两个孩子的生肖组合有种，记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”，则，，所以.9.已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________．【答案】11【解析】【详解】令，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，设数列的前项和为，则，所以，因为单调递增，又，，所以使得不等式成立的最小正整数n的值为11.10.已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________．【答案】【解析】【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为，因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点，所以，解得，又直线经过点时，，所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，m的取值范围为11.某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米．【答案】【解析】【详解】如图建立空间直角坐标系：则，设交点，所以，因为，所以，整理得，所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以交汇点G形成的轨迹长度为.12.已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决.【详解】，中所有非空子集含有1的有2026类：单元素集合只有含有1，即1出现了次；双元素集合含有1的有，即1出现了次；三元素集合中含有1的有，即1出现了次，……有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次；1共出现，同理都出现次，的所有非空子集中，这些和的总和是.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.13.某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（）A.表示x与y之间的函数关系B.表示x与y之间的不确定关系C.反映x与y之间的真实关系D.反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合14.已知实数满足，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.15.已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（）A.、、B.、、C、、D.、、（其中为实数）16.定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（）A.存在函数为函数B.若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数C.若函数为函数，且在处取得最小值，则D.若函数为函数，且恒成立，则为周期函数三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，．（1）求证：平面PAD；（2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积．18已知，．（1）若函数是定义在上的奇函数，求常数的值；（2）若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．19.某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表：甜度偏好分数人数10252030105（1）估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差；（3）该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？20.已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．（1）若双曲线C焦距为，求该双曲线C的离心率e；（2）若，为直角三角形，求点M坐标；（3）若双曲线C一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围．21.对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记．（1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值；（2）若，，且，．求的值及函数的解析式；（3）若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立．参考答案及解析：1、【答案】【解析】【详解】，，.2.若复数满足，则复数______.【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解：∵，∴，故答案为：.3.已知，若，则实数a的值为________．【答案】【解析】【详解】若，则，解得若，则，解得，不满足综上4.在中，若，，，则________．【答案】3【解析】【详解】由余弦定理得：，所以5.某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）．【答案】12.5%【解析】【详解】由可知，正态分布曲线对称轴为，可知，所以，可得，即成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12.5%.6.已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________．【答案】【解析】【分析】根据函数导数求出函数在某点处切线斜率即可.【详解】由，所以，所以曲线在处的切线斜率为：.7.从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有________种不同的面试方法．【答案】【解析】【分析】利用分步乘法计数原理结合组合排列分析计算即可.【详解】第一步：从3名女生中选取1名，有种选法，第二步：从4名男生中选取2名，有种选法，第三步：选取的3人依次进行面试，则有种排法，所以一共有种不同的面试方法.8.一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________．【答案】【解析】【详解】两个孩子的生肖组合有种，记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”，则，，所以.9.已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________．【答案】11【解析】【详解】令，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，设数列的前项和为，则，所以，因为单调递增，又，，所以使得不等式成立的最小正整数n的值为11.10.已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________．【答案】【解析】【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为，因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点，所以，解得，又直线经过点时，，所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，m的取值范围为11.某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米．【答案】【解析】【详解】如图建立空间直角坐标系：则，设交点，所以，因为，所以，整理得，所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以交汇点G形成的轨迹长度为.12.已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决.【详解】，中所有非空子集含有1的有2026类：单元素集合只有含有1，即1出现了次；双元素集合含有1的有，即1出现了次；三元素集合中含有1的有，即1出现了次，……有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次；1共出现，同理都出现次，的所有非空子集中，这些和的总和是.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.13.某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（）A.表示x与y之间的函数关系 B.表示x与y之间的不确定关系C.反映x与y之间的真实关系 D.反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合【答案】D【解析】【详解】根据线性回归方程的概念可知，回归方程反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合.14.已知实数满足，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误；对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误；对于选项C，因为，所以，可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到，所以，选项C正确；对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误；15.已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（）A.、、B.、、C.、、D.、、（其中为实数）【答案】B【解析】【分析】根据向量共面的定义逐项分析即可.【详解】对于A，设，由与是不共面的向量，则，即方程组有解，所以向量、、共面，故A错误；对于B，设，由与是不共面的向量，则，方程组无解，所以向量、、不共面，故B正确；对于C，设，由与是不共面的向量，则，即方程组有解，所以向量、、共面，故C错误；对于D，设，由与是不共面的向量，则，当时，方程组有解为，此时向量、、共面，当时，方程组无解，此时向量、、不共面，所以向量、、不一定共面，故D错误.16.定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（）A.存在函数为函数B.若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数C.若函数为函数，且在处取得最小值，则D.若函数为函数，且恒成立，则为周期函数【答案】D【解析】【分析】利用定义计算可得A；举出反例可得B、C；利用定义计算可得，，再利用可得的值，最后利用周期性定义即可得D.【详解】对A：存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，则，整理得，则有且恒成立，由，则由可得，此时有，则，矛盾，故不存在这样的非零常数，故A错误；对B：假设，当时，，且函数为定义在上的函数，则在上是严格增函数，但，不满足在上严格递增，故B错误；对C：假设，当时，，且函数为定义在上的函数，则，当时，，即对任意整数，都有，当时，，故当时，，故满足在处取得最小值，但，故C错误；对D：由题意可得，，因为为非常值函数，所以存在使得，由恒成立，可得和对任意正整数成立，若或，则当足够大时，上述不等式至少有一个不成立，故必有，即或，若，则，则为周期函数，且周期为；若，则，故，则为周期函数，且周期为；综上可得为周期函数，故D正确.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，．（1）求证：平面PAD；（2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明；（2）将多面体拆分成直棱柱和三棱锥两部分，分别计算体积再求和.小问1详解】证明：取AD的中点O，连接PO,因为为等边三角形，且O为AD中点，所以又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，因而因为，，所以由平面，平面PAD，，所以平面.【小问2详解】连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD，所以PC在平面ABCD内的投影为OC，故是与平面所成的角，即，由题得，，因为平面PAD，，所以平面PAD，所以．因此，，取CD的中点M，连接BM、QM，则所以多面体PQABCD的体积是.18已知，．（1）若函数是定义在上的奇函数，求常数的值；（2）若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数定义进行求解即可；（2）化简，分离参数，令，求导，得到函数在上的最小值，进而求出实数a的取值范围.【小问1详解】若函数是定义在上的奇函数，则对任意恒成立，即即对恒成立．即对恒成立．因此．又，故．因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为；【小问2详解】若，则，由题意，即对任意恒成立．令，即，由，可知函数在内的两个驻点为，，比较，，，大小，可知函数在上的最小值为．因此，实数a的取值范围为.19.某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表：甜度偏好分数人数10252030105（1）估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差；（3）该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？【答案】（1）6.7（2）123，（3）【解析】【分析】（1）根据平均数的概念，求出结果即可；（2）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可；（3）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可.【小问1详解】由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7【小问2详解】用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人．故，，因此，X的分布列为123故，.【小问3详解】由题，抽到“七分糖爱好者”概率是0.4，抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，，则当，即时当，即时因此，，且，所以，当时，最大.20.已知双曲线左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．（1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；（2）若，为直角三角形，求点M的坐标；（3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可；（2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解；（3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出的范围，进而求出倾斜角的范围.【小问1详解】由题，，得故【小问2详解】因为点M在第一象限，故不可能为直角；若，将代入曲线，得符合题意，；若，设点，则，则又因为点M满足，可得，此时kDM=3DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去．综上，